Взаимодействие расположение прямой и окружности. Урок "взаимное расположение прямой и окружности"

Дидактическая цель: формирование новых знаний.

Цели урока.

Обучающие:

• сформировать математические понятия: касательная к окружности, взаимное расположение прямой и окружности, добиться понимания и воспроизведения учащимися данных понятий через выполнение практической работы исследовательского характера.

Здоровьесберегающие:

• создание благоприятного психологического климата на уроке;

Развивающие:

• развивать у учащихся познавательный интерес, умение объяснять, обобщать полученные результаты, сравнивать, сопоставлять, делать выводы.

Воспитательные:

• воспитание средствами математики культуры личности.

Формы обучения:

• по содержанию – беседа, практическая работа;
• по организации деятельности – индивидуальная, фронтальная.

План урока

Оборудование:

• компьютер, экран, проектор;
• раздаточный материал.

Образовательные ресурсы:

1. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; / Г.В.Дорофеев, М., Просвещение, 2009 г.

2. Маркова В.И. Особенности преподавания геометрии в условиях реализации государственного образовательного стандарта: методические рекомендации, Киров, 2010 г.

3. Атанасян Л.С. Учебник “Геометрия 7-9”.

Ход урока

1. Организационный момент. Актуализация знаний.

Учитель сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”.

Чему равен диаметр окружности, если радиус равен 2,4 см?

Чему равен радиус, если диаметр равен 6,8 см?

2. Целеполагание.

Учащиеся ставят свои цели на урок, учитель обобщает их и ставит цели урока.

Составляется программа деятельности на уроке.

3. Ознакомление с новым материалом.

1) Работа с моделями: “Покажите на моделях, как могут располагаться прямая и окружность на плоскости”.

Сколько они имеют общих точек?

2) Выполнение практической работы исследовательского характера.

Цель. Установить свойство взаимного расположения прямой и окружности.

Оборудование: окружность, нарисованная на листе бумаги и палочка в качестве прямой, линейка.

1. На рисунке (на листе бумаги) установить взаимное расположение окружности и прямой.
2. Измерьте радиус окружности R и расстояние от центра окружности до прямой d.
3. Результаты исследования запишите в таблицу.

4. Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности в зависимости от соотношения R и d.

Вывод: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, прямая касается окружности и имеет одну общую т очку с окружностью. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, окружность и прямая не имеют общих точек. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность и имеет с ней две общих точки.

5. Первичное осмысление, закрепление через решение задач.

1) Задания учебника: №498, № 499.

2) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:

• 1. R=16cм, d=12см
• 2. R=5см, d=4,2см
• 3. R=7,2дм, d=3,7дм
• 4. R=8 см, d=1,2дм
• 5. R=5 см, d=50мм

а) прямая и окружность не имеют общих точек;

б) прямая является касательной к окружности;

в) прямая пересекает окружность.

• d-расстояние от центра окружности до прямой, R- радиус окружности.

3) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 10,3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 4,15 см; 2 дм; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.

4) Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.

6. Рефлексия

Чему научились на уроке?

Какую закономерность установили?

Выполнить на карточках следующее задание:

Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью.

Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.

Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.

Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие точки.

7. Подведение итогов. Постановка домашнего задания:

1) проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний;

2) учебник: № 500;

3) заполнить таблицу (на карточках).

Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух концах диаметра, лежащего на. этой примой.

Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е, расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 1). Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) dр от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины, которых равны (рис. 1)По теореме Пифагора ОА=,

0 B= Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.

Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С. Тогда медиана-OD равнобедренного треугольника ОАС . проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольника, поэтому О D p . Отрезки OD и ОН не совпадают

так как середина D отрезка АС не впадает с точкой Н - серединой отрезка, AB. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра: ОН и OD - к прямой р, что невозможно. Итак если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности(d < р), то прямая и окружность име ют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

2) d= r. В этом случае ОН= r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является обшей точкой прямой и окружности (рис. 1, б). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р. Отличной от точки Н, ОМ>ОН= r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно , точка М не лежит на окружности. Итак, если рас стояние от центра окружности до прямой равно радиусу то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3) d> r В этом случае -ОН> r поэтому . для любой точки М прямой р 0МОН.> r(рис. 1,а) Следовательно точка М не лежит на окружности. Итак, .если расстояние от центра окруж ности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 2 прямая р - касательная к окружности с центром О, А - точка касания.

Докажем теорему о свойстве касательной.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть р - касательная к окружности с центром О. А - точка касания (см. рис. 2). Докажем. что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.

Предположим, что это не так. Тогда радиус: ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА , то расстояния от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию; прямая р - касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказала.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром О , проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 3). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касатель ных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 3. По теореме о свойство касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Рис. 2 Рис. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Проведя через точку касания диаметр МЕ , будем иметь: ; поэтому

Рис. 1 Рис. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197">

Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра.

Теоремы. В одном круге или в равных кругах :

1) если дуги, равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;

2) если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру .

1) Пусть дуга АВ равна дуге CD (рис. 1), требуется доказать, что хорды АВ и CD равны, а также равны и перпендикуляры ОЕ и OF, опущенные из центра на хорды.

Повернем сектор OAJB вокруг центра О в направлении, указанном стрелкой на столько, чтобы радиус ОБ совпал с ОС. Тогда дуга ВА. пойдет по дуге CD и вследствие их равенства эти дуги совместятся. Значит, хорда AS совместится с хордой CD и перпендикуляр ОЕ совпадет с OF (из одной точки можно опустить на прямую только один перпендикуляр), т. е. AB= CD и OE= OF.

2) Пусть дуга АВ (рис. 2) меньше дуги CD, и притом обе дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда АВ меньше хорды CD, а перпендикуляр ОЕ больше перпендикуляра OF . Отложим на дуге CD дугу СК, равную АВ, и проведем вспомогательную хорду СК , которая, по доказанному, равна хорде АВ и одинаково с ней удалена от центра. У треугольников COD и СОК две стороны одного равны двум сторонам другого (как радиусы), а углы, заключенные между этими сторонами, не равны; в этом случае, как мы знаем, против большего из углов, т. е. lCOD, должна лежать большая сторона, значит, CD> CK, и потому CD> AB.

Для доказательства того, что OE> OF, проведем OLXCK и примем во внимание, что, по доказанному, OE= OL; следовательно, нам достаточно сравнить OF с OL. В прямоугольном треугольнике 0 FM (покрытом на рисунке штрихами) гипотенуза ОМ больше катета OF; но OL> OM; значит, и подавно OL> OF. и потому OE> OF.

Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верной и для равных кругов, потому что такие круги один от другого отличаются только положением.

Обратные теоремы. Так как в предыдущем параграфе рассмотрены всевозможные взаимно исключающие случаи относительно сравнительной величины двух дуг одного радиуса, причем получились взаимно исключающие выводы относительно сравнительной величины хорд и расстояний их от центра, то обратные предложения должны быть верны, в. именно:

В одном круге или е равных кругах:

1) равные хорды одинакова удалены от центра и стягивают равные дуги;

2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;

4) из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.

Эти предложения легко доказываются от противного. Например, для доказательства первого из них рассуждаем так: если бы данные хорды стягивали неравные дуги, то, согласно прямой теореме, они были бы не равны, что противоречит условию; значит, равные хорды должны стягивать равные дуги; а если дуги равны, то, согласно прямой теореме, стягивающие их хорды одинаково удалены от центра.

Теорема. Диаметр есть наибольшая из хорд .

Если соединим с центром О концы какой-нибудь хорды, не проходящей через центр, например хорды АВ (рис. 3) то получим треугольник АОВ, в котором одна сторона есть эта хорда, а две другие - радиусы, Но в треугольнике каждая сторона менее суммы двух других сторон; следовательно, хорда АВ менее суммы двух радиусов; тогда как всякий диаметр CD равен сумме двух радиусов. Значит, диаметр больше всякой хорды, не проходящей через центр. Но так как диаметр есть тоже хорда, то можно сказать, что диаметр есть наибольшая из хорд.

Рис. 1 Рис. 2

Теорема касательных.

Как уже было сказано, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеют одинаковую длину. Эту длину называют касательным расстоянием от точки до окружности.

Без теоремы о касательных не обходиться решение не одной задачи о вписанных окружностях, иными словами, об окружностях, касающихся сторон многоугольника.

Касательные расстояния в треугольнике.

Найдем длины отрезков, на которые стороны треугольника АВС разбиваются точками касания с вписанной в него окружностью (рис. 1,а), например касательное расстояние tа от точки А до окружности. Сложим стороны b и c , а затем из суммы вычтем сторону а . Учитывая равенство касательных, проведенных из одной вершины, получим 2tа . Итак,

ta=(b+ c- a)/ 2=p- a ,

где p=(a+ b+ c)/ 2 – полупериметр данного треугольника. Длина отрезков сторон, прилегающим к вершинам В и С , равны соответственно p- b и p- c.

Аналогично, для вневписанной окружности треугольника, касающейся (снаружи) стороны а (рис. 1,б), касательные расстояния от В и С равны соответственно p- c и p- b , а от вершины А - просто p .

Заметим, что эти формулы можно использовать и «в обратную сторону».

Пусть в угол ВАС вписана окружность, причем касательное расстояние от вершины угла до окружности равно p или p- a , где p – полупериметр треугольника АВС , а а=ВС . Тогда окружность касается прямой ВС (соответственно снаружи или внутри треугольника).

В самом деле, пусть, например, касательное расстояние равно p- a . Тогда наши окружности касаются сторон угла в тех же самых точках, что и вписанная окружность треугольника АВС , а значит, совпадает с ней. Следовательно, она касается прямой ВС .

Описанный четырехугольник. Из теоремы о равенстве касательных сразу получается (рис. 2,а), что

если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

AD+ BC= AB+ CD

Отметим, что описанный четырехугольник обязательно выпуклый. Верно и обратное:

Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Докажем это для четырехугольника, отличного от параллелограмма. Пусть какие-то две противоположные стороны четырехугольника, например AB и DC, при продолжении пересекутся в точке Е (рис. 2,б). Впишем окружность в треугольник ADE . Ее касательное расстояние te до точки E выражается формулой

te= ½ (AE+ ED- AD).

Но по условию суммы противоположных сторон четырехугольника равны, а значит, AD+ BC= AB+ CD , или AD= AB+ CD- BC . Подставив это значение в выражение для te , получим

te =½ ((AE- AB)+(ED- CD)+ BC)= ½ (BE+ EC+ BC),

а это – полупериметр треугольника BCE . Из доказанного выше условия касания следует, что наша окружность касается BC .

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Две касательные, проведённые к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром, что следует из равенства прямоугольных треугольников АОВ и АОВ1

Пусть на плоскости даны окружность и некоторая прямая. Опустим на эту прямую перпендикуляр из центра окружности С; обозначим через основание этого перпендикуляра. Точка может занимать относительно окружности три возможных положения: а) лежать вне окружности, б) на окружности, в) внутри окружности. В зависимости от этого и прямая будет занимать относительно окружности одно из трех возможных различных положений, описываемых ниже.

а) Пусть основание перпендикуляра опущенного из центра С окружности на прямую а, лежит вне окружности (рис. 197). Тогда прямая не пересекает окружности, все ее точки лежат во внешней области. Действительно, в указанном случае по условию удалена от центра на расстояние, большее радиуса). Тем более для любой точки М прямой а имеем т. е. каждая точка данной прямой лежит вне круга.

б) Пусть основание перпендикуляра попадет на окружность (рис. 198). Тогда прямая а имеет с окружностью ровно одну общую точку . Действительно, если М - любая другая точка прямой, то (наклонные длиннее перпендикуляра) и точка М лежит во внешней области. Такая прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности в этой точке. Покажем, что и обратно, если прямая имеет с окружностью единственную общую точку, то радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен к данной прямой. Действительно, опустим из центра перпендикуляр на данную прямую. Если бы его основание лежало внутри окружности, то прямая имела бы с ней, как показано в в), две общие точки. Если бы оно лежало вне окружности, то в силу а) прямая не имела бы с окружностью общих точек.

Поэтому остается допустить, что перпендикуляр попадает в общую точку прямой и окружности - в точку их касания. Доказана важная

Теорема. Прямая, проходящая через точку окружности, тогда и только тогда касается окружности, когда она перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.

Заметим, что определение касательной к окружности, данное здесь, не переносится на другие кривые. Более общее определение касательной прямой к кривой линии связано с понятиями теории пределов и рассматривается подробно в курсе высшей математики. Здесь мы дадим о нем только общее понятие. Пусть даны окружность и на ней точка А (рис. 199).

Возьмем еще точку А на окружности и соединим обе точки прямой АА. Пусть точка А двигаясь по окружности, занимаетпоследовательно ряд новых положений приближаясь все больше к точке А. Прямая АА, вращаясь вокруг А, принимает ряд положений: при этом по мере сближения движущейся точки с точкой А прямая стремится к совпадению с касательной АТ. Поэтому можно говорить о касательной как о предельном положении секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно с ней сближающуюся. В такой форме определение касательной применимо к кривым весьма общего вида (рис. 200).

в) Пусть, наконец, точка лежит внутри окружности (рис. 201). Тогда . Будем рассматривать наклонные, проведенные к прямой а из центра С окружности, с основаниями удаляющимися от точки в любом из двух возможных направлений. Длина наклонной будет монотонно возрастать по мере удаления ее основания от точки это возрастание длины наклонной происходит постепенно («непрерывно») от значений, близких к до значений, сколь угодно больших, поэтому кажется ясным, что при некотором положении оснований наклонных длина их будет точно равна соответствующие точки К и L прямой будут лежать на окружности.