Задан ряд распределения. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

В приложениях теории вероятностей основное значение имеет количественная характеристика эксперимента. Величина, которая может быть количественно определена и которая в результате эксперимента может принимать в зависимости от случая различные значения, называется случайной величиной.

Примеры случайных величин:

1. Число выпадений четного числа очков при десяти бросаниях игральной кости.

2. Число попаданий в мишень стрелком, который производит серию выстрелов.

3. Число осколков разорвавшегося снаряда.

В каждом из приведенных примеров случайная величина может принимать лишь изолированные значения, то есть значения, которые можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел.

Такая случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями, называется дискретной.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы (ряд распределения вероятностей), аналитически и графически (многоугольник распределения вероятностей).

При осуществлении того или иного эксперимента возникает необходимость оценивать изучаемую величину «в среднем». Роль среднего значения случайной величины играет числовая характеристика, называемая математическим ожиданием, которая определяется формулой

где x 1 , x 2 ,.. , x n – значения случайной величины X , а p 1 , p 2 , ... , p n – вероятности этих значений (заметим, что p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Пример. Производится стрельба по мишени (рис. 11).

Попадание в I дает три очка, в II – два очка, в III – одно очко. Число очков, выбиваемых при одном выстреле одним стрелком, имеет закон распределения вида

Для сравнения мастерства стрелков достаточно сравнить средние значения выбиваемых очков, т.е. математические ожидания M (X ) и M (Y ):

M (X ) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M (Y ) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Второй стрелок дает в среднем несколько большее число очков, т.е. при многократной стрельбе он будет давать лучший результат.

Отметим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M (C ) = C .

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M = (X 1 + X 2 +…+ X n )= M (X 1)+ M (X 2)+…+ M (X n ).

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий cомножителей

M (X 1 X 2 … X n ) = M (X 1)M (X 2)… M (X n ).

4. Математическое отрицание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании (задача 4.6).

M (X ) = пр .

Для оценки того, каким образом случайная величина «в среднем» уклоняется от своего математического ожидания, т.е. для того чтобы охарактеризовать разброс значений случайной величины в теории вероятностей служит понятие дисперсии.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения:

D (X ) = M [(X - M (X )) 2 ].

Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания случайной величины. Из определения видно, что чем меньше дисперсия случайной величины, тем кучнее располагаются её возможные значения около математического ожидания, то есть тем лучше значения случайной величины характеризуются её математическим ожиданием.

Из определения следует, что дисперсия может быть вычислена по формуле

.

Дисперсию удобно вычислять по другой формуле:

D (X ) = M (X 2) - (M (X )) 2 .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D (C ) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX ) = C 2 D (X ).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсии слагаемых:

D (X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n )= D (X 1)+ D (X 2)+…+ D (X n )

4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

D (X ) = npq .

В теории вероятностей часто используется числовая характеристика, равная корню квадратному из дисперсии случайной величины. Эта числовая характеристика называется средним квадратным отклонением и обозначается символом

.

Она характеризует примерный размер уклонения случайной величины от её среднего значения и имеет одинаковую со случайной величиной размерность.

4.1. Стрелок проводит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3.

Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение . Число попаданий является дискретной случайной величиной X . Каждому значению x n случайной величины X отвечает определенная вероятность P n .

Закон распределения дискретной случайной величины в данном случае можно задать рядом распределения .

В данной задаче X принимает значения 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли

,

найдем вероятности возможных значений случайной величины:

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Расположив значения случайной величины X в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Заметим, что сумма

означает вероятность того, что случайная величина X примет хотя бы одно значение из числа возможных, а это событие достоверное, поэтому

.

4.2 .В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величинаX – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величиныX .

Решение. Значениями случайной величиныX являются 3, 4, 5, 6, 7. Найдем соответствующие вероятности. Значение 3 случайной величиныX может принимать в единственном случае, когда один из выбранных шаров имеет номер 1, а другой 2. Число всевозможных исходов испытания равно числу сочетаний из четырех (число возможных пар шаров) по два.

По классической формуле вероятности получим

Аналогично,

Р (Х = 4) =Р (Х = 6) =Р (Х = 7) = 1/6.

Сумма 5 может появиться в двух случаях: 1 + 4 и 2 + 3, поэтому

.

Х имеет вид:

Найти функцию распределения F (x ) случайной величиныX и построить ее график. Вычислить дляX ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение . Закон распределения случайной величины может быть задан функцией распределения

F (x ) = P (X  x ).

Функция распределения F (x ) – неубывающая, непрерывная слева функция, определенная на всей числовой оси, при этом

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Для дискретной случайной величины эта функция выражается формулой

.

Поэтому в данном случае

График функции распределения F (x ) представляет собой ступенчатую линию (рис. 12)

Математическое ожидание М (Х ) является взвешенной средней арифметической значенийх 1 , х 2 ,……х n случайной величиныХ при весахρ 1, ρ 2, …… , ρ n и называется средним значением случайной величиныХ . По формуле

М (Х ) = х 1 ρ 1 + х 2 ρ 2 + ……+ х n ρ n

М (Х ) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины от своего среднего значения и обозначаетсяD (Х ):

D (Х ) =М [(Х-М (Х )) 2 ] = М (Х 2) –[М (Х )] 2 .

Для дискретной случайной величины дисперсия имеет вид

или она может быть вычислена по формуле

Подставляя числовые данные задачи в формулу, получим:

М (Х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D (Х ) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величиныХ - числа выпадений четного суммарного числа очков на двух игральных костях.

Решение . Введем в рассмотрение случайное событие

А = {на двух костях при одном бросании выпало в сумме четное число очков}.

Используя классическое определение вероятности найдем

Р (А )= ,

где n - число всевозможных исходов испытания находим по правилу

умножения:

n = 6∙6 =36,

m - число благоприятствующих событиюА исходов - равно

m = 3∙6=18.

Таким образом, вероятность успеха в одном испытании равна

ρ = Р (А )= 1/2.

Задача решается с применением схемы испытаний Бернулли. Одним испытанием здесь будет бросание двух игральных костей один раз. Число таких испытаний n = 2. Случайная величинаХ принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Искомое биноминальное распределение случайной величины Х можно представить в виде ряда распределения:

4.5 . В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить распределение вероятностей дискретной случайной величиныХ – числа стандартных деталей среди отобранных и найти ее математическое ожидание.

Решение. Значениями случайной величиныХ являются числа 0,1,2,3. Ясно, чтоР (Х =0)=0, поскольку нестандартных деталей всего две.

Р (Х =1) =
=1/5,

Р (Х= 2) =
= 3/5,

Р (Х =3) =
= 1/5.

Закон распределения случайной величины Х представим в виде ряда распределения:

Математическое ожидание

М (Х )=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величиныХ - числа появлений событияА вn независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаρ – равно произве-дению числа испытаний на вероятность появления события в одном испыта-нии, то есть доказать, что математическое ожидание биноминального распределения

М (Х ) =n . ρ ,

а дисперсия

D (X ) =np .

Решение. Случайная величинаХ может принимать значения 0, 1, 2…,n . ВероятностьР (Х = к) находится по формуле Бернулли:

Р (Х =к)=Р n (к)=ρ к (1-ρ ) n- к

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

где q = 1- ρ .

Для математического ожидания имеем выражение:

М (Х )=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

В случае одного испытания, то есть при n = 1для случайной величиныХ 1 –числа появлений событияА - ряд распределения имеет вид:

M (X 1)= 0 ∙ q+ 1 ∙ p = p

D (X 1) = p – p 2 = p (1- p ) = pq .

Если Х к – число появлений событияА в к-ом испытании, тоР (Х к )= ρ и

Х=Х 1 +Х 2 +….+Х n .

Отсюда получаем

М (Х )=М (Х 1 )+М (Х 2)+ … +М (Х n )= nρ ,

D (X )=D (X 1)+D (X 2)+ ... +D (X n )=npq.

4.7. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величиныХ -числа партий, в каждой из которых окажется равно 4 стандартных изделия – если проверке подлежит 50 партий.

Решение . Вероятность того, что в каждой произвольно выбранной партии окажется 4 стандартных изделия, постоянна; обозначим ее черезρ .Тогда математическое ожидание случайной величиныХ равноМ (Х )= 50∙ρ.

Найдем вероятность ρ по формуле Бернулли:

ρ=Р 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М (Х )= 50∙0,32=16.

4.8 . Бросаются три игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков.

Решение. Можно найти распределение случайной величиныХ - суммы выпавших очков и затем ее математическое ожидание. Однако такой путь слишком громоздок. Проще использовать другой прием, представляя случайную величинуХ , математическое ожидание которой требуется вычислить, в виде суммы нескольких более простых случайных величин, математическое ожидание которых вычислить легче. Если случайная величинаХ i – это число очков, выпавших наi – й кости (i = 1, 2, 3), то сумма очковХ выразится в виде

Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .

Для вычисления математического ожидания исходной случайной величины останется лишь воспользоваться свойством математического ожидании

М (Х 1 + Х 2 + Х 3 ) = М (Х 1 ) + М (Х 2) + М (Х 3 ).

Очевидно, что

Р (Х i = К )= 1/6, К = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i = 1, 2, 3.

Следовательно, математическое ожидание случайной величины Х i имеет вид

М (Х i ) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М (Х ) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если:

а) вероятность отказа для всех приборов одна и та же равна р , а число испытуемых приборов равно n ;

б) вероятность отказа для i – го прибора равна p i , i = 1, 2, … , n .

Решение. Пусть случайная величина Х – число отказавших приборов, тогда

Х = Х 1 + Х 2 + … + Х n ,

X i =

Ясно, что

Р (Х i = 1)= Р i , Р (Х i = 0)= 1– Р i , i= 1, 2, … , n.

М (Х i )= 1∙Р i + 0∙(1–Р i )=Р i ,

М (Х )=М (Х 1)+М (Х 2)+ … +М (Х n )=Р 1 +Р 2 + … +Р n .

В случае «а» вероятность отказа приборов одна и та же, то есть

Р i =p , i= 1, 2, … , n .

М (Х )= np .

Этот ответ можно было получить сразу, если заметить, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n , p ).

4.10. Две игральные кости бросают одновременно два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадения четного числа очков на двух игральных костях.

Решение. Пусть

А ={выпадение четного числа на первой кости},

В = {выпадение четного числа на второй кости}.

Выпадение четного числа на обеих костях при одном бросании выразится произведением АВ. Тогда

Р (АВ ) = Р (А )∙Р (В ) =
.

Результат второго бросания двух игральных костей не зависит от первого, поэтому применима формула Бернулли при

n = 2, р = 1/4, q = 1 – р = 3/4.

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, вероятность которых найдем по формуле Бернулли:

Р (Х= 0) = Р 2 (0) = q 2 = 9/16,

Р (Х= 1) = Р 2 (1) = С , р ∙q = 6/16,

Р (Х= 2) = Р 2 (2) = С , р 2 = 1/16.

Ряд распределения случайной величины Х:

4.11. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой очень малой вероятностью отказа каждого элемента за время t . Найти среднее число отказавших за время t элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Решение. Число отказавших за время t элементов – случайная величина Х , которая распределена по закону Пуассона, поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала. Среднее число появлений события в n испытаниях равно

М (Х ) = np .

Поскольку вероятность отказа К элементов из n выражается формулой

Р n (К )
,

где  = np , то вероятность того, что не откажет ни один элемент за время t получим при К = 0:

Р n (0) = е -  .

Поэтому вероятность противоположного события – за время t откажет хотя бы один элемент – равна 1 - е -  . По условию задачи эта вероятность равна 0,98. Из уравнения

1 - е -  = 0,98,

е -  = 1 – 0,98 = 0,02,

отсюда  = -ln 0,02  4.

Итак, за время t работы устройства откажет в среднем 4 элемента.

4.12 . Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «двойка». Найти среднее число бросаний.

Решение . Введем случайную величину Х – число испытаний, которое надо произвести, пока интересующее нас событие не наступит. Вероятность того, что Х = 1 равна вероятности того, что при одном бросании кости выпадет «двойка», т.е.

Р (Х= 1) = 1/6.

Событие Х = 2 означает, что при первом испытании «двойка» не выпала, а при втором выпала. Вероятность событияХ = 2 находим по правилу умножения вероятностей независимых событий:

Р (Х= 2) = (5/6)∙(1/6)

Аналогично,

Р (Х= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р (Х= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

и т.д. Получим ряд распределения вероятностей:

Среднее число бросаний (испытаний) есть математическое ожидание

М (Х ) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + К (5/6) К -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + К (5/6) К -1 + …)

Найдем сумму ряда:

К g К -1 = (g К ) g 
.

Следовательно,

М (Х ) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Таким образом, нужно осуществить в среднем 6 бросаний игральной кости до тех пор, пока не выпадет «двойка».

4.13. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение. Число появлений события в трех испытаниях является случайной величиной Х , распределенной по биномиальному закону. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события (задача 4.6)

D (Х ) = npq .

По условию n = 3, D (Х ) = 0,63, поэтому можно р найти из уравнения

0,63 = 3∙р (1-р ),

которое имеет два решения р 1 = 0,7 и р 2 = 0,3.

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах . Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.

Примеры для популярных законов распределения вероятностей:

Калькуляторы на характеристики ДСВ

• Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ .

Решенные задачи о ДСВ

Распределения, близкие к геометрическому

Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Задача 4. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $\xi$ - число извлеченных бракованных деталей.
Составить закон распределения дискретной случайной величины $\xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.

Задачи с независимыми событиями

Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй - 0,7, третий - 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $\xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(\xi), D(\xi)$.

Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.

Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ - числа попаданий. Найти вероятность того, что $X \ge 1$.

Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.

Другие задачи и законы распределения ДСВ

Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ - разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 \lt X \le 1)$.

Задача 10. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) убедитесь, что задан ряд распределения,
Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.

Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины .

Случайной называют величину , принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X , Y , Z и т. д. или заглавными буквами латинского алфавита с правым нижним индексом , а значения, которые могут принимать случайные величины - соответствующими малыми буквами латинского алфавита x , y , z и т. д.

Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайным событием заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения есть случайное событие, характеризуемое вероятностью .

На практике встречаются два основных типа случайных величин:

1. Дискретные случайные величины;

2. Непрерывные случайные величины.

Случайной величиной называется числовая функция от случайных событий.

Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента.

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями .

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы :

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е. .

Закон распределения можно изобразить графически : по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений; полученные точки соединяют отрезками. Построенная ломаная называется многоугольником распределения .

Пример . Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.

Решение. Так как охотник, имея 4 патрона, может сделать четыре выстрела, то случайная величина X - число патронов, израсходованных охотником, может принимать значения 1, 2, 3, 4. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:

- “попадание при i - ом выстреле”, ;

- “промах при i - ом выстреле”, причем события и - попарно независимы.

Согласно условию задачи имеем:

,

По теореме умножения для независимых событий и теореме сложения для несовместных событий, находим:

(охотник попал в цель с первого выстрела);

(охотник попал в цель со второго выстрела);

(охотник попал в цель с третьего выстрела);

(охотник попал в цель с четвертого выстрела либо промахнулся все четыре раза).

Проверка: - верно.

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

Пример. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки - 0,9, второй - 0,8, третий - 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа потребуют регулировки.

Решение. Случайная величина X - число станков, которые в течение часа потребуют регулировки, может принимать значения 0,1, 2, 3. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:

- “i - ый станок в течение часа потребует регулировки”, ;

- “i - ый станок в течение часа не потребует регулировки”, .

По условию задачи имеем:

, .

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.
Закон распределения
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Рядом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию:
,
определяющую для каждого значения аргумента x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее этого x.

Математическое ожидание дискретной случайной величины
,
где - значение дискретной случайной величины; - вероятности принятия случайной величиной X значений .
Если случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:
.
Математическое ожидание числа наступлений события в n независимых испытаниях:
,

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины
Дисперсия дискретной случайной величины:
или .
Дисперсия числа наступлений события в n независимых испытаниях
,
где p - вероятность наступления события.
Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины:
.

Пример 1
Составьте закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д.с.в.) X – числа k выпадений хотя бы одной «шестерки» в n = 8 бросаниях пары игральных кубиков. Постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение s(X)). Решение: Введем обозначение: событие A – «при бросании пары игральных кубиков шестерка появилась хотя бы один раз». Для нахождения вероятности P(A) = p события A удобнее вначале найти вероятность P(Ā) = q противоположного события Ā – «при бросании пары игральных кубиков шестерка не появилась ни разу».
Поскольку вероятность непоявления «шестерки» при бросании одного кубика равна 5/6, то по теореме умножения вероятностей
P(Ā) = q = = .
Соответственно,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Испытания в задаче проходят по схеме Бернулли, поэтому д.с.в. величина X – число k выпадений хотя одной шестерки при бросании двух кубиков подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей:

где = – число сочетаний из n по k .

Проведенные для данной задачи расчеты удобно оформить в виде таблицы:
Распределение вероятностей д.с.в. X º k (n = 8; p = ; q = )

Полигон (многоугольник) распределения вероятностей дискретной случайной величины X представлен на рис.:

Рис. Полигон распределения вероятностей д.с.в. X =k .
Вертикальной линией показано математическое ожидание распределения M (X ).

Найдем числовые характеристики распределения вероятностей д.с.в. X . Мода распределения равна 2 (здесь P 8(2) = 0,2932 максимально). Математическое ожидание по определению равно:
M (X ) = = 2,4444,
где xk = k – значение, принимаемое д.с.в. X . Дисперсию D (X ) распределения найдем по формуле:
D (X ) = = 4,8097.
Среднее квадратическое отклонение (СКО):
s(X ) = = 2,1931.

Пример2
Дискретная случайная величинаX задана законом распределения

Решение. Если , то (третье свойство).
Если , то . Действительно, X может принять значение 1 с вероятностью 0,3.
Если , то . Действительно, если удовлетворяет неравенству
, то равно вероятности события , которое может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1=0,4. Если , то . Действительно, событие достоверно, следовательно, его вероятность равна единице. Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции:
Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию, вероятности выхода из строя приборов равны: тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:




Закон распределения имеет вид: