Перед тем, как найти центр тяжести простых фигур, таких которые обладают прямоугольной, круглой, шарообразной или цилиндрической, а также квадратной формой, необходимо знать, в какой точке находится центр симметрии конкретной фигуру. Поскольку в данных случаях, центр тяжести будет совпадать с центром симметрии.
Центр тяжести однородного стержня располагается в его геометрическом центре. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Центр тяжести неоднородных тел
Чтобы найти координаты центра тяжести, как и сам центр тяжести неоднородного тела, необходимо разобраться, на каком отрезке данного тела располагается точка, в которой пересекаются все силы тяжести, действующие на фигуру, если ее переворачивать. На практике для нахождения такой точки подвешивают тело на нить, постепенно меняя точки прикрепления нити к телу. В том случае, когда тело находится в равновесии, то центр тяжести тела будет лежать на линии, которая совпадает с линией нити. В противном случае сила тяжести приводит тело в движение.
Возьмите карандаш и линейку, начертите вертикальные прямые, которые визуально будут совпадать с нитевыми направлениями (нити, закрепляемые в различных точках тела). Если форма тела достаточно сложная, то проведите несколько линий, которые будут пересекаться в одной точке. Она и станет центром тяжести для тела, над которым вы производили опыт.
Центр тяжести треугольника
Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника.
Если перед вами стоит задача, касающаяся того, как найти центр тяжести тела в форме равностороннего треугольника, то необходимо из каждой вершины провести высоту с помощью прямоугольной линейки. Центр тяжести в равностороннем треугольнике будет находиться на пересечении высот, медиан и биссектрис, поскольку одни и те же отрезки одновременно являются высотами, медианами и биссектрисами.
Координаты центра тяжести треугольника
Перед тем, как найти центр тяжести треугольника и его координаты, рассмотрим подробнее саму фигуру. Это однородная треугольная пластина, с вершинами А, В, С и соответственно, координатами: для вершины А - x1 и y1; для вершины В - x2 и y2; для вершины С - x3 и y3. При нахождении координат центра тяжести мы не будем учитывать толщину треугольной пластины. На рисунке ясно видно, что центр тяжести треугольника обозначен буквой Е – для его нахождения мы провели три медианы, на пересечении которых и поставили точку Е. Она имеет свои координаты: xE и yE.
Один конец медианы, проведенной из вершины А к отрезку В, обладает координатами x 1 , y 1 , (это точка А), а вторые координаты медианы получаем, исходя из того, что точка D (второй конец медианы) стоит посередине отрезка BC. Концы данного отрезка обладают известными нам координатами: B(x 2 , y 2) и C(x 3 , y 3). Координаты точки D обозначаем xD и yD . Исходя из следующих формул:
х=(Х1+Х2)/2; у=(У1+У2)/2
Определяем координаты середины отрезка. Получим следующий результат:
хd=(Х2+Х3)/2; уd=(У2+У3)/2;
D *((Х2+Х3)/2 , (У2+У3)/2).
Мы знаем, какие координаты характерны для концов отрезка АД. Также нам известны координаты точки Е, то есть, центра тяжести треугольной пластины. Также мы знаем, что центр тяжести расположен посередине отрезка АД. Теперь, применяя формулы и известные нам данные, мы можем найти координаты центра тяжести.
Таким образом, можно найти координаты центра тяжести треугольника, вернее, координаты центра тяжести треугольной пластины, учитывая то, что ее толщина нам неизвестна. Они равны среднему арифметическому однородных координат вершин треугольной пластины.
10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта №7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника
. Поэтому справедливо отношение 
Нам известны точки 
.
По формулам деления отрезка в данном отношении
:
Таким образом, центр тяжести треугольника:
Заключительный пункт урока:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств .
Для удобства перепишем найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую 
. Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен 
и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:
Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства .
Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .
И, наконец, для прямой 
составим многочлен 
, в который подставим координаты точки : . Таким образом, получаем третье неравенство: .
Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:
Приехали.
Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно.
Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике .
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения, которая освещена в самом начале урока. А теперь можно немного расслабиться, заданий для самостоятельного решения я не придумал. Кандидатур было много, но по основным приёмам решения все они до неприличия похожи на разобранные примеры.
Приятных треугольных сновидений!
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Определение местоположения барицентра интегрированием
Барицентр подмножества X пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} можно вычислить с помощью интеграла
G = ∫ x g (x) d x ∫ g (x) d x , {\displaystyle G={\frac {\int xg(x)\;dx}{\int g(x)\;dx}},}Другая формула для вычисления координат барицентра:
G k = ∫ z S k (z) d z ∫ S k (z) d z , {\displaystyle G_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\;dz}{\int S_{k}(z)\;dz}},}где G k является k -й координатой G , а S k (z ) - мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемой уравнением x k = z . Снова знаменатель - это мера множества X .
Для плоской фигуры координатами барицентра будут
G x = ∫ x S y (x) d x A ; {\displaystyle G_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\;dx}{A}};} G y = ∫ y S x (y) d y A , {\displaystyle G_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\;dy}{A}},}где A - площадь фигуры X , S y (x ) - длина пересечения [неизвестный термин ] X с вертикальной прямой с абциссой x , S x (y ) - аналогичная величина при обмене осей.
Определение местоположения барицентра для области, ограниченной графиками непрерывных функций
Координаты барицентра (x ¯ , y ¯) {\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})} области, ограниченной графиками непрерывных функций f {\displaystyle f} и g {\displaystyle g} , таких что f (x) ≥ g (x) {\displaystyle f(x)\geq g(x)} на интервале [ a , b ] {\displaystyle } , a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b} , задаются выражениями
x ¯ = 1 A ∫ a b x [ f (x) − g (x) ] d x {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x\left\;dx} . y ¯ = 1 A ∫ a b [ f (x) + g (x) 2 ] [ f (x) − g (x) ] d x , {\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)+g(x)}{2}}\right]\left\;dx,}где A {\displaystyle A} - площадь области (вычисляемая по формуле ∫ a b [ f (x) − g (x) ] d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\;dx} ) .
Определение местоположения барицентра объекта, имеющего форму буквы L
Метод нахождения барицентра фигуры, имеющей форму буквы L.
Барицентры треугольника и тетраэдра
G = 1 a: 1 b: 1 c = b c: c a: a b = csc A: csc B: csc C {\displaystyle G={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C} = cos A + cos B ⋅ cos C: cos B + cos C ⋅ cos A: cos C + cos A ⋅ cos B {\displaystyle =\cos A+\cos B\cdot \cos C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B} = sec A + sec B ⋅ sec C: sec B + sec C ⋅ sec A: sec C + sec A ⋅ sec B . {\displaystyle =\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.}Барицентр является также физически центром масс треугольника, сделанного из однородного листового материала, а также, если вся масса сконцентрирована в вершинах и одинаково разделена между ними. Если же масса распределена равномерно вдоль периметра, то центр масс лежит в точке Шпикера (инцентре серединного треугольника), который (в общем случае) не совпадает с центроидом всего треугольника.
Площадь треугольника равна 3/2 длины любой стороны, умноженной на расстояние от центроида до стороны .
Центроид треугольника лежит на прямой Эйлера между его ортоцентром H и центром его описанной окружности O , ровно вдвое ближе ко второму, чем к первому:
G H = 2 G O . {\displaystyle GH=2GO.}Кроме того, для инцентра I и центра девяти точек N , мы имеем
G H = 4 G N , {\displaystyle GH=4GN,} G O = 2 G N , {\displaystyle GO=2GN,} I G < H G , {\displaystyle IGАналогичными свойствами обладает
