Геометрическая фигура имеющая центр симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии

Определение симметрии;

• Определение симметрии;

• Центральная симметрия;

• Осевая симметрия;

• Симметрия относительно плоскости;

• Симметрия вращения;

• Зеркальная симметрия;

• Симметрия подобия;

• Симметрия растений;

• Симметрия животных;

• Симметрия в архитектуре;

• Человек – существо симметричное?

• Симметрия слов и чисел;

СИММЕ́ТРИЯ

• СИММЕ́ТРИЯ - соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

• (Толковый словарь Ожегова)

• Итак, геометрический объект считается симметричными, если с ним можно сделать что-то такое, после чего он останется неизменным.

О О О называется центром симметрии фигуры .

• Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры .

окружность и параллелограмм центр окружности ). График нечётной функции

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм . Центром симметрии окружности является центр окружности , а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей . Любая прямая также обладает центральной симметрией (любая точка прямой является её центром симметрии ). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

• Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник .

а а a называется осью симметрии фигуры .

• Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры .

У неразвернутого угла одна ось симметрии биссектриса угла одну ось симметрии три оси симметрии по две оси симметрии , а квадрат- четыре оси симметрии относительно оси ординат .

У неразвернутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла . Равнобедренный треугольник имеет также одну ось симметрии , а равносторонний треугольник- три оси симметрии . Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии , а квадрат- четыре оси симметрии . У окружности их бесконечно много. График чётной функции при построении симметричен относительно оси ординат .

• Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм , отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник .

Точки А и А1 а а АА1 и перпендикулярна а считается симметричной самой себе

Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости а (плоскость симметрии), если плоскость а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости а считается симметричной самой себе . Две фигуры называются симметричными относительно плоскости (или зеркально-симметричными относительно), если они состоят из попарно симметричных точек. Это значит, что для каждой точки одной фигуры симметричная ей (относительно) точка лежит в другой фигуре.

Тело (или фигура) обладает симметрией вращения , если при повороте на угол 360º/n, где n целое число полностью совмещается

• Тело (или фигура) обладает симметрией вращения , если при повороте на угол 360º/n, где n целое число , около некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением.

• Радиальная симметрия – форма симметрии, сохраняющаяся при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром тяжести объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей симметрии. Подобными объектами могут быть круг, шар, цилиндр или конус .

Зеркальная симметрия связывает любой

Зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале . Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело). Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.

Симметрия подобия матрешки .

• Симметрия подобия представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними . Простейшим примером такой симметрии являются матрешки .

• Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии. Например, поворотной и зеркальной симметрией обладают некоторые буквы: Ж , Н , М , О , А .

• Существует много других видов симметрий, имеющих абстрактный характер. Например:

• Перестановочная симметрия , которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит;

• Калибровочные симметрии связаны с изменением масштаба . В неживой природе симметрия прежде всего возникает в таком явлении природы, как кристаллы , из которых состоят практически все твердые тела. Именно она и определяет их свойства. Самый очевидный пример красоты и совершенства кристаллов - это известная всем снежинка .

С симметрией мы встречаемся везде: в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы также подчиняются принципам симметрии.

осью симметрии .

• Многие цветы обладают интересным свойством: их можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии .

• Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений.

• Билатеральной симметрией обладают также органы растений, например, стебли многих кактусов. В ботанике часто встречаются радиально симметрично построенные цветы.

разделяющей линии.

• Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.

• Основными типами симметрии являются радиальная (лучевая) – ей обладают иглокожие, кишечнополостные, медузы и др.; или билатеральная (двусторонняя) - можно сказать, что каждое животное (будь то насекомое, рыба или птица) состоит из двух половин – правой и левой.

• Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников. Любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

• Симметрия сооружения связывается с организацией его функций. Проекция плоскости симметрии - ось здания - определяет обычно размещение главного входа и начало основных потоков движения.

• Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре , расположенной по другую сторону оси, и благодаря этому она может рассматриваться лишь как часть целого.

• Наиболее распространена в архитектуре зеркальная симметрия . Ей подчинены постройки Древнего Египта и храмы античной Греции, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры.

акценты

• Для лучшего отражения симметрии на сооружениях ставятся акценты - особо значимые элементы (купола, шпили, шатры, парадные входы и лестницы, балконы и эркеры).

• Для оформления убранства архитектуры применяют орнамент – ритмично повторяющийся рисунок, основанный на симметричной композиции его элементов и выражаемый линией, цветом или рельефом. Исторически сложилось несколько типов орнаментов на основе двух источников – природных форм и геометрических фигур.

• Но архитектор – прежде всего художник. И потому даже самые «классические» стили чаще использовали дисимметрию – нюансное отклонение от чистой симметрии или асимметрию – нарочито несимметричное построение.

• Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы. Но сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале.

правая его половина грубые черты , присущие мужскому полу. Левая половина

Многочисленные измерения параметров лица у мужчин и женщин показали, что правая его половина по сравнению с левой, имеет более выраженные поперечные размеры, что придает лицу более грубые черты , присущие мужскому полу. Левая половина лица имеет более выраженные продольные размеры, что придает ему плавность линий и женственность . Этот факт объясняет преимущественное желание лиц женского пола позировать перед художниками левой стороной лица, а лиц мужского пола - правой.

Палиндром

• Палиндром (от гр. Palindromos – бегущий обратно) – это некоторый объект, в котором задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу. Например, фраза или текст.

• Прямой текст палиндрома, читающийся в соответствии с нормальным направлением чтения в данной письменности (обычно слева направо), называется прямоходом , обратный – ракоходом или реверсом (справа налево). Некоторые числа также обладают симметрией.

Гомотетия и подобие. Гомотетия - преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М", лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ":ОМ= λ одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОМ": ОМ считают положительным, если М" и М лежат по одну сторону от О, отрицательным - по разные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии. При Х< 0 гомотетию называют обратной. При λ = - 1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей подобную (рис. 5.17).

Верно и обратное утверждение. Гомотетия может быть определена как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку - центр гомотетии. Гомотетию применяют для увеличения изображений (проекционный фонарь, кино).

Центральная и зеркальная симметрии. Симметрия (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры. Так, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, преобразующая-

ся в себя при зеркальном отражении, симметрична относительно прямой - оси АВ. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов - точка М преобразуется в М".

Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, где n > 2 целое число, переводят ее в себя, то фигура Ф обладает симметрией n-го порядка относительно точки О - центра симметрии. Пример таких фигур - правильные многоугольники, например звездчатый (рис. 5.19), обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь - так называемая циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной симметрии является центральная симметрия (инверсия). В этом случае относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, т. е. точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точка О является центром симметрии. Точки М и М" куба

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

В какой бы из них мы ни заглянули, везде встретится слово «соразмерность». У Даля можно увидеть еще и такое толкование, как равномерие и равнообразие. Другими словами, симметричное - значит одинаковое. Здесь же говорится о том, что она скучна, интереснее смотрится то, в чем ее нет.

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

Этот термин используется в ситуациях, когда две половины предмета не являются полностью совпадающими. Чаще всего они совсем не похожи.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

• центральная, то есть выполненная относительно одной точки;
• осевая, которая наблюдается около прямой;
• зеркальная, она основывается на отражениях;
• симметрия переноса.

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

«Точка симметрии» - Симметрия в архитектуре. Примеры симметрии плоских фигур. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Точка C называется центром симметрии. Симметрия в науке и технике.

«Построение геометрических фигур» - Воспитательный аспект. Контроль и коррекция усвоения. Изучение теории, на которой основан метод. В стереометрии – не строгие построения. Стереометрические построения. Алгебраический метод. Метод преобразований (подобия, симметрии, параллельного переноса и т.п.). Например: прямая; биссектриса угла; серединный перпендикуляр.

«Фигура человека» - Форму и движения тела человека во многом определяет скелет. Ярмарка с театральным представлением. Как вы думаете, найдется ли работа для художника в цирке? Скелет играет роль каркаса в строении фигуры. Главное Тело(живот, грудь) Не обращали внимания Голова, лицо, руки. А. Матис. Пропорции. Древняя Греция.

«Симметрия относительно прямой» - Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Прямая а – ось симметрии. Симметрия относительно прямой. Булавин Павел, 9В класс. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Центральная симметрия. Равнобедренная трапеция. Прямоугольник.

«Площади фигур геометрия» - Теорема Пифагора. Площади различных фигур. Решите ребус. Фигуры имеющие равные площади называются равновеликими. Единицы измерения площадей. Площадь треугольника. Прямоугольник, треугольник, параллелограмм. Квадратный сантиметр. Фигуры равной площади. Равные фигуры б). Квадратный миллиметр. в). чему будет равна площадь фигуры составленной из фигур А и Г.

«Предел функции в точке» - , То в таком случае. При стремлении. Предел функции в точке. Непрерывна в точке. Равен значению функции в. Но при вычислении предела функции при. Равен значению. Выражение. Стремлении. Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки. Составлено из. Решение. Непрерывна на промежутках. На промежутке.

СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

По словам известного немецкого математика Г. Вейля (1885-1955), "симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство".
Прекрасные образы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектуры, живописи, скульптуры и т. д.
Понятие симметрии фигур на плоскости рассматривалось в курсе планиметрии. В частности, определялись понятия центральной и осевой симметрии. Для пространственных фигур понятие симметрии определяется аналогичным образом.
Рассмотрим сначала центральную симметрию.
симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии , если O является серединой отрезка AA". Точка O считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей (относительно данной точки O) точка A" называется центральной симметрией . Точка O при этом называется центром симметрии .
Две фигуры Ф и Ф" называются центрально симметричными , если существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую.
Фигура Ф называется центрально симметричной , если она центрально симметрична сама себе.
Например, параллелепипед центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар и сфера центрально симметричны относительно своих центров.
Из правильных многогранников центрально симметричными являются куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр не является центрально симметричной фигурой.
Рассмотрим некоторые свойства центральной симметрии.
Свойство 1. Если O 1 , O 2 – центры симметрии фигуры Ф, то точка O 3 , симметричная O 1 относительно O 2 также является центром симметрии этой фигуры.
Доказательство. Пусть A – точка пространства, A 2 – точка, симметричная ей, относительно O 2 , A 1 – точка, симметричная A 2 относительно O 1 и A 3 – точка симметричная A 1 относительно O 2 (рис. 1).

Тогда треугольники O 2 O 1 A 1 и O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 и O 2 O 3 A равны. Следовательно, A и A 3 симметричны относительно O 3 . Таким образом, симметрия относительно O 3 является композицией симметрий относительно O 2 , O 1 и O 2 . Следовательно, при этой симметрии фигура Ф переходит сама в себя, т.е. O 3 является центром симметрии фигуры Ф.

Следствие. Любая фигура или не имеет центра симметрии, или имеет один центр симметрии, или имеет бесконечно много центров симметрии

Действительно, если O 1 , O 2 – центры симметрии фигуры Ф, то точка O 3 , симметричная O 1 относительно O 2 также является центром симметрии этой фигуры. Аналогично, точка O 4 симметричная O 2 относительно O 3 также является центром симметрии фигуры Ф и т. д. Таким образом, в этом случае фигура Ф имеет бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим теперь понятие осевой симметрии .
Точки A и A" пространства называются симметричными относительно прямой a , называемой осью симметрии , если прямая a проходит через середину отрезка AA" и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой a считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей точка A" (относительно данной прямой a ), называется осевой симметрией . Прямая a при этом называется осью симметрии .
Две фигуры называются симметричными относительно прямой a , если преобразование симметрии относительно этой прямой переводит одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно прямой a , если она симметрична сама себе.
Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно прямой, проходящей через центры противоположных граней. Прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси, шар и сфера симметричны относительно любых прямых, проходящих через их центры и т. д.
Куб имеет три оси симметрии, проходящих через центры противоположных граней и шесть осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Октаэдр имеет три оси симметрии, проходящих через противоположные вершины и шесть осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Свойство 3. Если a 1 , a 2 – оси симметрии фигуры Ф, то прямая a 3 , симметричная a 1 относительно a 2 также является осью симметрии этой фигуры.

Доказательство аналогично доказательству Свойства 1.

Свойство 4. Если две пересекающиеся перпендикулярные прямые в пространстве являются осями симметрии данной фигуры Ф, то и прямая, проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости этих прямых также будет осью симметрии фигуры Ф.
Доказательство. Рассмотрим оси координат Ox , Oy , Oz . Симметрия относительно оси Ox x , y , z ) в точку фигуры Ф с координатами (x, –y, –z ). Аналогично, симметрия относительно оси Oy переводит точку фигуры Ф с координатами (x , –y , –z ) в точку фигуры Ф с координатами (–x, –y, z ) . Таким образом, композиция этих симметрий переводит точку фигуры Ф с координатами (x, y, z ) в точку фигуры Ф с координатами (–x, –y, z ). Следовательно, ось Oz является осью симметрии фигуры Ф.

Следствие. Любая фигура в пространстве не может иметь четное (ненулевое) число осей симметрии.
Действительно, зафиксируем какую-нибудь ось симметрии a . Если b – ось симметрии, не пересекает a или пересекает ее не под прямым углом, то для нее найдется еще одна ось симметрии b’ , симметричная относительно a . Если же ось симметрии b пересекает a под прямым углом, то для нее найдется еще одна ось симметрии b’ , проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости прямых a и b . Следовательно, кроме оси симметрии a возможно или четное или бесконечное число осей симметрии. Таким образом, общее четное (ненулевое) число осей симметрии невозможно.
Помимо осей симметрии, определенных выше, рассматриваются также оси симметрии n -го порядка , n 2 .
Прямая a называется осью симметрии n -го порядка фигуры Ф, если при повороте фигуры Ф вокруг прямой a на угол фигура Ф совмещается сама с собой.

Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии.
Например, в правильной n -угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n -го порядка.
Выясним, какие оси симметрии имеют правильные многогранники.
Куб имеет три оси симметрии 4-го порядка, проходящих через центры противоположных граней, четыре оси симметрии 3-го порядка, проходящих через противоположные вершины и шесть осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Тетраэдр имеет три оси симметрии второго порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Икосаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через противоположные вершины; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящих через центры противоположных граней и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Додекаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через центры противоположных граней; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящих через противоположные вершины и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Рассмотрим понятие зеркальной симметрии .
Точки A и A" в пространстве называются симметричными относительно плоскости , или, по-другому, зеркально симметричными , если эта плоскость проходит через середину отрезка AA" и перпендикулярна к нему. Каждая точка плоскости считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей точка A" (относительно данной плоскости ), называется зеркальной симметрией . Плоскость при этом называется плоскостью симметрии .
Две фигуры называются зеркально симметричными относительно плоскости , если преобразование симметрии относительно этой плоскости переводит одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется зеркально симметричной , если она зеркально симметрична сама себе.
Например, прямоугольный параллелепипед зеркально симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из пар противоположных граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.
Среди правильных многогранников куб и октаэдр имеют по девять плоскостей симметрии. Тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии. Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать плоскостей симметрии, проходящих через пары противоположных ребер.
Свойство 5. Композиция двух зеркальных симметрий относительно параллельных плоскостей является параллельным переносом на вектор, перпендикулярный этим плоскостям и равный по величине удвоенному расстоянию между этими плоскостями.
Следствие. Параллельный перенос можно представить как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 6. Композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей, пересекающихся по прямой является поворотом вокруг этой прямой на угол равный удвоенному двугранному углу между этими плоскостями. В частности, осевая симметрия является композицией двух зеркальных симметрий относительно перпендикулярных плоскостей.
Следствие. Поворот можно представить как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 7. Центральная симметрия может быть представлена в виде композиции трех зеркальных симметрий.
Докажем это свойство с помощью координатного метода. Пусть точка A в пространстве имеет координаты (x, y, z ). Зеркальная симметрия относительно координатной плоскости меняет знак соответствующей координаты. Например, зеркальная симметрия относительно плоскости Oxy переводит точку с координатами (x, y, z ) в точку с координатами (x, y, –z ). Композиция трех зеркальных симметрий относительно координатных плоскостей переводит точку с координатами (x, y, z ) в точку с координатами (–x, –y, –z ), которая является центрально симметричной исходной точке A.
Движения, переводящие фигуру Ф саму в себя, образуют группу относительно композиции. Она называется группой симметрий фигуры Ф.
Найдем порядок группы симметрий куба.
Ясно, что любое движение, переводящее куб в себя, оставляет центр куба на месте, переводит центры граней в центры граней, середины ребер в середины ребер и вершины в вершины.
Таким образом, для задания движения куба достаточно определить, куда переходит центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра.
Рассмотрим разбиение куба на тетраэдры, вершинами каждого из которых являются центр куба, центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра. Таких тетраэдров 48. Поскольку движение полностью определяется тем, в какой из тетраэдров переводится данный тетраэдр, то порядок группы симметрий куба будет равен 48.
Аналогичным образом находятся порядки групп симметрий тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра.
Найдем группу симметрий единичной окружности S 1 . Эта группа обозначается O(2). Она является бесконечной топологической группой. Представим единичную окружность как группу комплексных чисел по модулю равных единице. Имеет место естественный эпиморфизм p:O(2) --> S 1 , сопоставляющий элементу u группы O(2) элемент u(1) в S 1 . Ядром этого отображения является группа Z 2 , порожденная симметрией единичной окружности относительно оси Ox. Следовательно, O(2)/Z 2S 1 . Более того, если не учитывать групповую структуру, то имеет место гомеоморфизм O(2) и прямого произведения S 1 и Z 2 .
Аналогично, группа симметрий двумерной сферы S 2 обозначается O(3), и для нее имеет место изоморфизм O(3)/O(2) S 2 .
Группы симметрий n-мерных сфер играют важную роль в современных разделах топологии: теории многообразий, теории расслоенных пространств и др.
Одним из самых ярких проявлений симметрии в природе являются кристаллы. Свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности, симметричным расположением атомов в кристаллической решетке. Внешние формы кристаллов являются следствием их внутренней симметрии.
Первые, еще смутные предположения о том, что атомы в кристаллах расположены правильным, закономерным, симметричным строем, высказывались в трудах различных естествоиспытателей уже в те времена, когда само понятие атома было неясным и не было никаких экспериментальных доказательств атомного строения вещества. Симметричная внешняя форма кристаллов невольно наводила на мысль о том, что внутреннее строение кристаллов должно быть симметричным и закономерным. Законы симметрии внешней формы кристаллов были полностью установлены в середине XIX века, а к концу этого века были четко и точно выведены законы симметрии, которым подчинены атомные постройки в кристаллах.
Основоположником математической теории строения кристаллов является выдающийся российский математик и кристаллограф - Евграф Степанович Федоров (1853-1919). Математика, химия, геология, минералогия, петрография, горное дело - в каждую из этих областей внес Е.С.Федоров немалый вклад. В 1890 году он строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллических структурах, иначе говоря, симметрии расположения частиц внутри кристаллов. Оказалось, что число таких законов ограничено. Федоров показал, что имеется 230 пространственных групп симметрии, которые впоследствии, в честь ученого, были названы федоровскими. Это был исполинский труд, предпринятый за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, за 27 лет до того, как с их помощью доказали существование самой кристаллической решетки. Существование 230 федоровских групп является одним из важнейших геометрических законов современной структурной кристаллографии. "Гигантский научный подвиг Е.С. Федорова, сумевшего подвести под единую геометрическую схему весь природный "хаос" бесчисленных кристаллообразований, и сейчас вызывает восхищение. Это открытие сродни открытию периодической таблицы Д.И. Менделеева."Царство кристаллов" является незыблемым памятником и конечной вершиной классической федоровской кристаллографии", - сказал академик А.В. Шубников.

Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.
2. Вейль Г. Симметрия. – М.: Наука, 1968.
3. Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М.: Мир, 1971.
4. Гарднер М. Этот правый, левый мир. – М.: Мир, 1967.
5. Гильде В. Зеркальный мир. – М.: Мир, 1982.
6. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. – М.: Наука, 1978.
7. Парамонова И.М. Симметрия в математике. – М.: МЦНМО, 2000.
8. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.: Гос изд. технико-теоретич. литературы, 1949.
9. Сонин А.С. Постижение совершенства (симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия). – М.: Знание, 1987.
10. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.
11. Узоры симметрии. – М.: Мир, 1980.
12. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. – 2-е изд. – Л.; 1985.
13. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – М.: Наука, 1972.