Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Пример 1 . Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.

Пример 2 . Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end{array}$

Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end{array}$

Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.

Пусть случайная величина $X$ - число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ - число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.

Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$

Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end{array}$

В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.

Определение 1 . Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Определение 2 . Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:

$$p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Пример 3 . Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$

Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$

Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.

В результате получим распределение $Z=2X+Y$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end{array}$

Случайная величина представляет собой действительную функцию, значение которой определяется результатом произвольного эксперимента. Иначе говоря, случайная величина присваивает вещественное значение каждой точке выборочного пространства. В предыдущем разделе мы определяли вероятности конечных совокупностей событий, вычисляя относительную частоту появления каждого события. Для определения плотности вероятности и функции распределения непрерывных случайных величин, определенных на бесконечных множествах событий, используется предельный переход. Важными для дальнейшего изложения будут понятия вероятности по времени и вероятности по ансамблю, которые непосредственно приводят к определению случайного процесса как выборочного пространства, состоящего из событий, являющихся функциями времени. Таким образом, случайный процесс можно представить как совокупность функций времени. В гл. 3 будет дан обзор теории случайных процессов. В этой главе ограничимся только случайными величинами.

Когда выборочное пространство для случайного эксперимента состоит из непрерывного, а значит, из бесконечного множества значений, вероятность получения одного определенного значения или элемента множества равна нулю. Однако сумма (вероятностей по бесконечному числу элементов во всем выборочном пространстве должна равняться единице. В этих случаях удобно определить функцию распределения вероятностей следующим образом:

где представляет собой вероятность того, что меньше или равен . Чтобы связать это с полученной ранее дискретной вероятностью, следует лишь отметить, что мы просто определяем событие как то, что , или, выражаясь более строго, что событие является совокупностью исходов , принадлежащих выборочному пространству , таких, что , т. е.

Если представляет собой событие

то, используя ф-лу (2.16), получим, что вероятность события

Если , то из предыдущего выражения находим

(2.19)

Предел в ф-ле (2.19) при , если он существует, называют функцией плотности вероятности :

Из определения согласно (2.18) и события согласно (2.17) следует, что

Таким образом, вероятность того, что событие больше , но меньше или равно ,равнозначению функции плотности вероятности , умноженной на . Из ур-ния (2.20) следует, что функцию распределения вероятностей можно получить интегрированием функции плотности вероятности

. (2.22)

Некоторые свойства плотностей вероятностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:

для всех (2.23в)

Для всех (2.23г)

(2.23д)

Приведем некоторые примеры часто используемых непрерывных распределений (ниже во всех случаях , ):

Равномерное:

Экспоненциальное:

Импульсное:

Релеевское:

Гауссовское(нормальное):

Здесь - дельта-функция; - единичная ступенчатая функция, начинающаяся при ; - табулированный интеграл

.

Графики приведенных выше функций даны на рис 2.1. Импульсное распределение показывает, что дискретные распределения могут быть представлены как непрерывные с плотностями в виде дельта-функций. Нормальное распределение является весьма важным, в чем мы сможем убедиться в дальнейшем.

Рис 2.1 Примеры непрерывных распределений вероятности: а)равномерное; б)экспонециальное; в) импульсное; г)релеевское; д)гауссовское

Если имеются две случайные величины и , можно определить двумерную функцию распределения вероятностей:

которая представляет собой вероятность того, что меньше или равно и меньше или равно . Чтобы связать эту функцию с двумерной дискретной функцией распределения вероятностей, следует лишь заметить, как и в одномерном случае, что мы определяем событие , как событие, при котором , ; другими словами

(2.25)

Определим теперь событие следующим образом:

тогда вероятность наступления события

где события ,, и определены как

Обе части ф-лы (2.25) можно разделить на и записать через функции распределения:

Переходя к пределу , получим

Если теперь определить предел при , получим следующий важный результат:

. (2.31)

Выражение представляет собой совместную функцию плотности вероятности двух случайных величин. Из определения события видно, что

Это выражение является другим определением плотности вероятности двух случайных величин. Вероятность того, что и лежат в прямоугольной области, образованной приращениями , равна значению функции плотности вероятности, умноженному на площадь прямоугольника, образованного приращениями.

Функцию распределения вероятности можно записать, проинтегрировав выражение (2.31):

. (2.33)

Некоторые свойства двумерных плотностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:

(2.34б)

Для всех ; (2.34в)

Для всех ; (2.34г)

(2.34д)

(2.34е)

для всех и (2.34ж)

(2.34з)

Если имеются больше чем две случайные величины, система обозначений, которой мы до сих пор пользовались, становится громоздкой. Гораздо выгоднее использовать векторную запись. Поэтому удобно определить -мерный вектор-столбец как

(2.35)

где символ означает транспонирование. Нам понадобится также приращение -мерного вектора , которое будем определять как

(2.36)

Здесь является скалярным элементом. Следует быть внимательными и отличать его от дифференциального вектора , который будем определять как

(2.37)

Для удобства будем говорить, что один вектор меньше другого, когда каждая составляющая первого меньше соответствующей составляющей второго. Таким образом, следующие записи эквивалентны:

В векторной форме:

(2.40)

(2.41)

где интеграл с векторными пределами является -мерным интегралом. Мы сможем неоднократно убедиться в том, что векторное представление случайных величин значительно проще для их понимания и операций над ними, чем эквивалентное скалярное представление.

Часто представляет интерес возможность получения распределения или плотности только одной величины по совместному распределению или плотности. Для двух случайных величин из ф-л (2.33) и (2.34д) следует

(2.43)

Таким образом,индивидуальная плотность вероятности

(2.44)

Для -мерного случая индивидуальная плотность вероятности одной величины ( -й компоненты вектора ) может быть легко выражена, если определить-мерный вектор как исходный вектор , в котором исключена -я компонента, т. е.

Так как функция плотности вероятности случайного вектора является функцией совместной плотности, то индивидуальная плотность вероятности может быть представлена в виде

(2.46)

Этот результат легко распространяется на случай, когда нужно получить совместную плотность для более чем одной случайной величины из совместной плотности для случайных величин.

Во многих (случаях для определения непрерывных случайных величин нужно знать условные функции распределения и плотности. Начнем с двух случайных скалярных величин и , а затем распространим результат на векторные случайные величины и

Определим два события и :

, (2.47)

Тогда согласно (2.10) вероятность того, что больше, чем , но меньше или равен при условии, что значение лежит в интервале от до , равна. Если положить (2.65)

Во многих случаях в теории оценивания и ее применении в связи и управлении необходимо вычислить плотность вероятности функции случайных величин. Обратим теперь внимание на эту важную задачу.

Двумерной называют случайную величину (X ; Y ), возможные значения которой есть пары чисел (x ; y ).

Случайные величины X и Y , рассматриваемые совместно, образуют систему двух случайных величин. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой ).

Общей характеристикой двумерной случайной величины является функция распределения вероятностей , которая представляет собой вероятность события (X < x , Y < y ); F (x ,y ) = P (X < x , Y < y ).

Различают дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) двумерные случайные величины.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины (т. е. пар чисел) (x i ; y i ) и их вероятностей p (x i ; y j ) (i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, m ).

Закон распределения двумерной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности, а также аналитически, например, в виде функции распределения.

Зная закон распределения двумерной дискретной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

Например, события (X = x 1 , Y = y 1), (X = x 1 , Y = y 2), …, (X = x 1 , Y = = y m ) несовместны, поэтому

Таким образом, вероятность того, что X примет значение x i , равна сумме вероятностей столбца x i . Аналогично, сложив вероятности строки y j , получим вероятность P (Y = y j ).

Пример 3.1. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения в виде следующей таблицы:

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X : P (x 1) = 0,16; P (x 2) = 0,48; P (x 3) = 0,36.

Запишем закон распределения составляющей X в форме таблицы:

Проверка: 0,60 + 0,40 = 1.

3.1. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины

Условным распределением составляющей X при Y = y j называют совокупность условных вероятностей P (x 1 y j ), P (x 2 y j ), …, P (x n y j ), вычисленных в предположении, что событие Y = y j (j имеет одно и то же значение при всех возможных значениях X ) уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение составляющей Y .

Условный закон распределения X в предположении, что событие Y = y 1 уже произошло, может быть найден по следующей формуле:

. (77)

В общем случае условные законы для составляющей X могут быть представлены в виде формуле

. (78)

Для составляющей Y условные законы определяются формулой

. (79)

Пример 3.2. Найти условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y 1 и двумерная случайная величина (Х , Y ) задана таблицей:

Решение. Используя формулу

,

где P (y 1) = 0,10 + 0,30 + 0,20 = 0,60, находим:

;

;

.

Глава 2. Случайные величины

Существует класс случайных событий, имеющих числовые значения. Например, в опыте с игральной костью возможные результаты броска характеризуются числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Принято говорить, что в подобных опытах наблюдаются случайные величины, а не случайные события. Роль случайных событий играют возможные значения случайной величины. Случайными величинами называются величины, которые в результате испытания могут принимать с определенными вероятностями те или иные заранее неизвестные возможные значения. В зависимости от того, какова мощность множества возможных значений случайной величины, различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений бесконечно. При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно записать и пронумеровать все ее возможные значения, принадлежащие даже достаточно небольшому интервалу. Эти значения образуют бесконечное множество, которое называется континуум.

Теория случайных величин изучает вероятностные явления в статике, рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты испытаний. Для описания процессов, которые отображают развивающиеся во времени, т. е. динамические случайные явления, используются методы теории случайных процессов, которые также могут быть дискретными и непрерывными.

2.1. Дискретные случайные величины

Задание дискретной случайной величины. Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить ее возможные значения, необходимо еще указать вероятности этих значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно задать таблично или аналитически.

Например, таблица, характеризующая случайную величину , генерируемую игральной костью

где – возможные значения случайной величины , а – вероятность появления данных значений. При этом .

В дальнейшем случайные величины в отличие от их возможных значений будем обозначать большими латинскими буквами .

Для иллюстрации аналитического задания распределения дискретной случайной величины воспользуемся условиями, для которых получена формула Бернулли, рассматривая в качестве число появления события в этих испытаниях. Для нахождения закона распределения требуется определить возможные значения и их вероятности. Очевидно, событие в испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, . . . , либо раз. Таким образом, возможные значения таковы: .

Вероятности этих возможных значений могут быть вычислены по формуле Бернулли , где . Эта формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения. Это распределение, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным. Название объясняется тем, что правую часть этой формулы можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях, второй – раз, последний член – событие не появится ни разу в испытаниях.

Пользуясь аналогичными рассуждениями, можно получить аналитическое выражение для распределения Пуассона , где .

Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться менее подробным описанием в виде числовых характеристик случайных величин.

К числу важнейших числовых характеристик случайных величин относят математическое ожидание .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т. е. .

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная постоянная величина.

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно (тем точнее, чем больше число испытаний) равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

а) математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной ;

б) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания ;

в) математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий ;

г) математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий . Это свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин;

д) математическое ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность p появления события в каждом испытании, т. е. математическое ожидание биномиального распределения .

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием, т. е. , но, поскольку математическое ожидание отклонения равно нулю т. е. , то целесообразно заменить отклонения их квадратами. В результате получается следующая числовая характеристика случайной величины, называемая дисперсией и определяемая по формуле:

Таким образом, дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть дискретная случайная величина задана законом распределения

И тогда по определению дисперсия равна

Однако более удобно пользоваться следующей формулой .

Свойства дисперсии:

а) дисперсия постоянной величины равна нулю ;

б) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат ;

в) дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин ;

г) дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий ;

д) дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и вероятность не появления события в одном испытании, т. е. дисперсия биномиального распределения ;

е) дисперсия распределения Пуассона ;

ж) квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X .

Свойства среднеквадратического отклонения случайной величины:

а) среднеквадратическое отклонение постоянной величины равно нулю ;

б) при умножении случайной величины на постоянную ее среднеквадратическое отклонение умножается на ту же постоянную ;

в) среднеквадратическое отклонение суммы конечного числа попарно независимых случайных величин равно корню квадратному из суммы квадратов среднеквадратических отклонений этих величин .

Многомерные дискретные случайные величины

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие случайные величины называются одномерными . Если возможные значения случайных величин определяются двумя, тремя, . . . n числами, то их называют двумерными, трехмерными, . . . n - мерными случайными величинами.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x i , y j) и их вероятностей p(x i , y j ). Закон распределения может быть задан в виде таблицы.

Так как события (X=x i ,Y=y i) при i=1,2, . . ., n и j=1,2, . . . , m образуют полную группу событий, то сумма вероятностей во всех клетках таблицы равна 1. Вероятность того, что X примет значение x i равна сумме вероятностей в i -м столбце. Аналогично вероятность того, что Y примет значение y j равна сумме вероятностей в j -й строке.

Для того чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины вводится понятие условного распределения. Условным распределением , например, составляющей X при Y=y j называется совокупность условных вероятностей , вычисленных в предположении, что событие Y=y j уже наступило.

Важнейшей характеристикой условного распределения является условное математическое ожидание. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y=y , где y – определенное возможное значение Y , называют произведение возможных значений X на их условные вероятности

.

Для описания системы двух случайных величин, кроме математического ожидания и дисперсий составляющих, используются и другие характеристики, к которым, прежде всего, относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом m xy случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Для вычисления корреляционного момента можно пользоваться формулой: .

Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен 0.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин .

Две случайные величины X и Y называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0. Две коррелированные величины так же и зависимы. Обратное не всегда имеет место, т. е. если две случайные величины X и Y зависимы, то они могут быть коррелированными и некоррелированными. Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать заключение о независимости этих величин.

2.2. Непрерывные случайные величины

Задание непрерывной случайной величины. Дискретная случайная величина задается перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ не является общим. Он по определению неприменим для непрерывных случайных величин.

В связи с этим целесообразно дать общий способ задания любых (в том числе и дискретных) типов случайных величин. С этой целью вводится понятие функции распределения.

Функцией распределения или интегральной функцией распределения называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x , для каждого значения x , т. е.

.

Эта функция обладает следующими свойствами.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т. е. , что вытекает из определения .

2. – неубывающая функция, т.е. если .

3. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е. .

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна 0, т.е. имеет смысл рассматривать вероятность попадания X не в точку, а в интервал, пусть сколь угодно малый.

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b) , то . Если возможные значения случайной величины расположены на всей оси x , то имеют место следующие предельные соотношения ; .

Функция биномиального закона распределения вероятностей , где , а x – случайная величина, принимающая целочисленные значения в диапазоне от 1 до n .

Биномиальное распределение вероятностей при переходит в распределение Пуассона. Функция пуассоновского закона распределения вероятностей , где x - случайная величина, принимающая целочисленные значения в диапазоне от 1 до n .

Последовательность событий, которые наступают в случайные, заранее неизвестные моменты времени называется потоком событий. К основным свойствам, которые характеризуют потоки событий, относятся свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности потока событий проявляется в том, что вероятность наступления событий на любом отрезке времени зависит только от числа событий и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчета при условии, что различные промежутки времени являются непересекающимися.

Свойство отсутствия последействия потока событий проявляется в том, что вероятность наступления событий на любом отрезке времени не зависит от того, наступали или не наступали события в моменты времени, которые предшествовали началу рассматриваемого временного отрезка. Таким образом, если поток событий обладает свойством отсутствия последействия, то появления какого либо числа событий в различные непересекающиеся отрезки времени считаются взаимно независимыми.

Свойство ординарности потока событий проявляется в том, что наступление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Таким образом, если поток событий обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности, называется простейшим или пуассоновским потоком. Вероятность появления k событий простейшего потока за временной отрезок t можно рассчитать по формуле Пуассона где – среднее число событий, которые наступают в единицу времени, называемое интенсивностью потока.

Непрерывную случайную величину можно задать не только с помощью интегральной функции распределения, но и с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей, называемой еще функцией плотности вероятностей. Дифференциальная функция неприменима для задания распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Функция плотности вероятности определяется как первая производная от функции распределения, т. е. .

В связи с таким определением функции плотности вероятности можно утверждать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b) , равна .

Зная функцию плотности вероятности можно найти функцию распределения .

Свойства функции плотности вероятности

1. Функция плотности вероятности неотрицательна, т. е. .

2. Интеграл от функции плотности вероятности в пределах от –µ до +µ равен 1, т. е. .

Итак, функция плотности вероятности определяет плотность распределения вероятности для каждой точки x , т. е. вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка по отношению к Dx ) произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала Dx , т. е. .

При решении задач, которые выдвигает практика, сталкиваются с различными распределениями непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение. Распределение называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, функция плотности вероятности имеет постоянное значение, т. е. аналитически это можно записать

2. Нормальное или гауссово распределение. Нормальным или гауссовым распределением называется распределение непрерывной случайной величины, которое описывается функцией плотности вероятности

.

Данная функция задается двумя параметрами a и s . Параметр a в этом случае понимается как математическое ожидание, а параметр s – как среднеквадратическое отклонение нормального распределения.

График этой функции называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Ее свойства:

а) данная функция определена на всей оси x ;

б) нормальная кривая расположена над осью x , так как при всех значениях x функция принимает положительные значения;

в) предел функции при неограниченном возрастании x равен нулю, т. е. ось x служит горизонтальной асимптотой графика;

г) функция достигает своего максимума, равного , при x=a ;

д) график функции симметричен относительно прямой x=a ;

Изменение параметра a , т. е. математического ожидания, не меняет формы нормальной кривой, а приводит к ее сдвигу вдоль оси абсцисс. При возрастании a сдвиг кривой происходит вправо, при убывании – влево.

При возрастании параметра s максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси абсцисс. При убывании параметра s нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси ординат. Площадь фигуры, ограниченной нормальной кривой и осью абсцисс, при любых значениях параметров a и s равна единице. Если нормальное распределение задано математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением, равным единице, то нормальную кривую называют нормированной кривой.

Если непрерывная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения. Это утверждение известно под названием правила трех сигм.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то по определению вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна . Для использования эту формулу удобнее преобразовать путем введения новой переменной , что обеспечивает возможность сведения ее к известной табличной функции Лапласа и получения более удобного выражения:

Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Распространим определения числовых характеристик дискретной случайной величины на непрерывную случайную величину.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу (a, b), определяется как

.

Если возможные значения принадлежат всей оси, то .

В частности, математическое ожидание равномерного распределения , а нормального .

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата ее отклонения или .

В частности дисперсия равномерного распределения , а нормального .

Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется как и для дискретной .

Многомерные непрерывные случайные величины

По аналогии с одномерным случаем функцией распределения (X,Y) называют функцию W(x,y) , определяющую для каждой пары чисел x и y вероятность того, что X примет значение, меньшее x , и при этом Y примет значение, меньшее y , т. е.

Функция плотности вероятности двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) определяется как и, следовательно, .

Функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Dx и Dy к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составляющих . Аналогично и по отношению к функции плотности вероятности .

Так же, как и для двумерных дискретных случайных величин для двумерной непрерывной случайной величины определяется корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Сохраняются те же отношения между понятиями независимости и некоррелированности. Можно сделать существенное дополнение, касающееся нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины. Для этого случая понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Обобщая сказанное о непрерывных случайных величинах можно заключить:

1. Основными характеристиками непрерывных случайных величин являются функция распределения и функция плотности вероятности.

2. Числовыми параметрами, описывающими непрерывную случайную величину, служат математическое ожидание и дисперсия.

3. Статистические связи между отдельными составляющими многомерной случайной величины описываются корреляционным моментом.

4. Некоррелированные гауссовы величины статистически независимы.

Контрольные вопросы к лекции 17

17-1. Какие события называются достоверными?

17-2. Какие события называются невозможными?

17-3. Какие события называются случайными?

17-4. Какие события называются несовместимыми?

17-5. Какие события называются единственно возможными?

17-6. Что называется полной группой событий?

17-7. Какие события называются равновозможными?

17-8. Какие события называются противоположными?

17-9. Что называется суммой событий?

17-10. Что называется произведением событий?

17-11. Что называется вероятностью события?

17-12. Чему равна вероятность суммы совместимых событий?

17-13. Чему равна вероятность суммы несовместимых событий?

17-14. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

17-15. Что называется условной вероятностью?

17-16. Какие события называются независимыми?

17-17. Чему равна вероятность произведения двух случайных зависимых событий?

17-18. Чему равна вероятность произведения двух случайных независимых событий?

17-19. Чему равна вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий , образующих полную группу?

17-20. Для чего служит формула Байеса?

17-21. Для чего служит формула Бернулли?

17-22. Для чего служит локальная теорема Лапласа?

17-23. Для чего служит интегральная теорема Лапласа?

17-24. Для чего служит формула Пуассона?

17-25. Какая случайная величина называется дискретной?

17-26. Какая случайная величина называется непрерывной?

17-27. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

17-28. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случайной величины?

17-29. Какой закон распределения дискретной случайной величины называется биномиальным?

17-30. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

17-31. В чем состоит вероятностный смысл математического ожидания?

17-32. Чему равно математическое ожидание постоянной величины?

17-33. Чему равно математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную величину?

17-34. Чему равно математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин?

17-35. Чему равно математическое ожидание суммы нескольких случайных величин?

17-36. Чему равно математическое ожидание биномиального распределения?

17-37. Что называется дисперсией дискретной случайной величины?

17-38. Чему равна дисперсия постоянной величины?

17-39. Чему равна дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину?

17-40. Чему равна дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин?

17-41. Чему равна дисперсия разности двух взаимно независимых случайных величин?

17-42. Чему равна дисперсия биномиального распределения?

17-43. Чему равна дисперсия распределения Пуассона?

17-44. Как называется квадратный корень из дисперсии случайной величины?

17-45. Чему равно среднеквадратическое отклонение постоянной величины?

17-46. Какие дискретные случайные величины называются многомерными?

17-47. Что называется законом распределения дискретной двумерной случайной величины?

17-48. Что называется условным распределением двумерной случайной величины?

17-49. Что называется условным математическим ожиданием двумерной случайной величины?

17-50. Что называется корреляционным моментом системы двух случайных величин?

17-51. Чему равен корреляционный момент двух независимых случайных величин?

17-52. Что называется коэффициентом корреляции системы двух случайных величин?

17-53. Что называется функцией распределения непрерывной случайной величины?

17-54. Перечислите свойства функции распределения непрерывной случайной величины?

17-55. Что называют потоком событий?

17-56. В чем состоит свойство стационарности потока событий?

17-57. В чем состоит свойство отсутствия последействия потока событий?

17-58. В чем состоит свойство ординарности потока событий?

17-59. Какой поток событий называется пуассоновским?

17-60. Что называется интенсивностью пуассоновского потока событий?

17-61. Что называется функцией плотности вероятности?

17-62. Перечислите свойства функции плотности вероятности.

17-63. Какое распределение называется равномерным?

17-64. Какое распределение называется нормальным?

17-65. Перечислите свойства нормальной кривой.

17-66. Как сказывается на виде нормальной кривой изменение величины математического ожидания?

17-67. Как сказывается на виде нормальной кривой изменение величины среднеквадратического отклонения нормального распределения?

17-68. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины?

17-69. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины с равномерным законом распределения?

17-70. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения?

17-71. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины?

17-72. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины с равномерным законом распределения?

17-73. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения?

17-74. Как, используя геометрическую интерпретацию, можно рассматривать функцию плотности вероятности двумерной непрерывной случайной величины?

17-75. Чему должна быть равна функция распределения системы (X,Y) для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми?