Дополнение доказательства о параллельности прямой и плоскости. На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна .

Дано: М ₵ а

Доказать: 1) Существует α: а ∈ α , М ∈ b ∈ α

2) α - единственная

Доказательство:

1) На прямой, а выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р , Q, M , которые не лежат на одной прямой.

2) По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит прямую а и точку М , существует.

3) Теперь докажем, что α единственная. Предположим, что существует плоскость β, которая проходит и через точку М, и через прямую а, но тогда эта плоскость через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M , не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость.

4) Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью α . Следовательно 1) На прямой, а выберем точки P и Q . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой. Следовательно α – единственная.

Теорема доказана.

1)На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M

2)Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует.

3)Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует плоскость β, такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую а и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость β совпадает с плоскостью α.

4)Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Теорема доказана.

Теорема о параллельности прямых

Теорема:

Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой.

Дано: прямая а, M ₵ а

Доказать: Существует единственная прямая b ∥ а, М ∈ b

Доказательство:
1) Через прямую а и точку М, не лежащей на ней, можно провести единственную плоскость (1 следствие). В плоскости α можно провести прямую b, параллельную а, проходящую через М.
2) Докажем, что она единственная. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку М и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда β проходит через М и прямую а. Но через прямую а и точку М проходит плоскость α.
3) Значит, α и β совпадают. Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельно заданной прямой.
Теорема доказана.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой

1.Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости. плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости: а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

2.Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника.

Натуральная величина (н.в.) отрезка АВ прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника АВК. В этом треугольнике катет АК параллелен плоскости проекций π1 и равен горизонтальной проекции отрезка A"B". Катет BK равен разности расстояний точек A и B от плоскости π1.

В общем случае для определения натуральной величины отрезка прямой необходимо построить гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим катетом - отрезок, равный по величине алгебраической разности координат Z (Y) крайних точек отрезка.

Из прямоугольного треугольника находят угол α - угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций.

Для определения угла наклона прямой к фронтальной плоскости проекций необходимо выполнить аналогичные построения на фронтальной проекции отрезка.

3.Главные линии плоскости (горизонталь, фронталь).

Горизонталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.

Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости.

Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекцияф параллельна оси х.

4.Взаимное положение прямых в пространстве. Определение видимости по конкурирующим точкам. Две прямые в пространстве могут иметь различное расположение: А)пересекаться (лежать в одной плоскости). Частный случай пересечения – под прямым углом;Б)могут быть параллельными (лежать в одной плоскости);В)совпадать – частный случай параллельности;Г)скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не пересекаться).

Точки, у которых проекции на П1 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П1, а точки, у которых проекции на П2 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П2.

Точки К и L конкурирующие по отношению к плоскости П1, так как на плоскости П1 точки К и L проецируются в одну точку: К1 = L1.

Точка К выше точки L, т.к. К2 выше точки L2, потому К1 на П1 видима.

Начальная геометрия изучает понятия и соотношение объектов. Без четкого обоснования нельзя ориентироваться в прикладной области. Признак параллельности прямой и плоскости – первый шаг в геометрию пространства. Овладение начальными категориями позволит приблизиться к увлекательному миру точности, логики, ясности.

Вконтакте

Соотношение объектов: возможные варианты

Стереометрия – инструмент познания мира. Она рассматривает отношение объектов друг к другу, учит вычислять расстояния без линейки. Успешная практика требует овладеть основными понятиями.

Имеется поверхность а и линия l. Есть три случая соотношения объектов. Их определяют точки пересечения. Легко запомнить:

0 точек — параллельны;
1 точка — взаимно пересекаются;
бесконечно много — прямая лежит в плоскости.

Легко описать признак параллельности объектов. На поверхности а существует линия с || l, то l || а.

Простое заявление требует доказательства. Пусть поверхность проведена через линии: l || c. В Ω а = с. Пусть l имеет с а общую точку. Она должна лежать на с. Это противоречит условию: l || c. Тогда l параллельна плоскости a. Начальное положение верно.

Важно ! В пространстве существует хотя бы одна линия || плоской поверхности. Это созвучно утверждению начальной геометрии (планиметрии).

Простая мысль: а принадлежит больше одной точки l, значит прямая l целиком принадлежит а.

a || l только в случае отсутствия единственной точки пересечения.

Это логичное определение параллельности прямой и плоскости.

Легко найти практическое применение положения. Как доказать, что одна прямая параллельна плоскости?

Достаточно использовать исследованный признак.

Что полезно знать

Для грамотного решения задач требуется изучить дополнительные расположения предметов. Основа — признак параллельности прямой и плоскости. Его применение облегчит понимание других элементов. Геометрия пространства рассматривает частные случаи.

Пересечения в стереометрии

Объекты прежние: плоская поверхность а, линии с, l. Как они соседствуют? С || l. L пересекает а. Легко понять: с обязательно пересечет а. Эта мысль — лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Поле деятельности расширяется. К исследуемым объектам добавляется поверхность в. Ей принадлежит l. В исходных объектах ничего не меняется: l || а. Опять получается просто: в случае пересечения плоскостей общая линия d || l. Сразу вытекает понятие: какие две плоскости называются пересекающимися. Те, которые имеют общую прямую.

Какие теоремы требуется изучить

Главные понятия отношения предметов приводят к описанию основных утверждений. Они требуют развернутого доказательства. Первая: теоремы о параллельности одной прямой и плоскости. Рассматриваются разные случаи.

Объекты: поверхности P, Q, R, прямые АB, CD. Условие: P||Q, R их пересекает. Естественно, АB||CD.

Предметы исследования: линии AB, CD, A1B1, C1D1. AB пересекается с CD в одной плоскости, A1B1 — с C1D1 в другой. AB||A1B1, CD||C1D1. Вывод: поверхности, включающие пересекающиеся попарно параллельные линии, ||.

Возникает новое понятие. Скрещивающиеся прямые сами не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Это C1D1 и АВ, А1В1 и CD. Это явление широко применяется в практической стереометрии.

Естественное заявление: через одну из скрещивающихся линий реально проходит единственная параллельная указанной плоскость.

Дальше легко прийти к теореме о следе. Это третье из утверждений о параллельности прямой и поверхности. Есть прямая l. Она || а. l принадлежит в. В Ω а = d. Единственно возможный вариант: d || l.

Важно! Прямая и плоскость называются || при отсутствии общих объектов — точек.

Свойства параллельности и их доказательства

Легко прийти к понятию расположения плоских поверхностей:

пустое множество общих точек (называются параллельными);
пересекаются по прямой.

В стереометрии находят применение свойства параллельности. Любая пространственная картинка имеет поверхности и линии. Для успешного решения задач требуется изучить основные теоремы:

Исследуемые объекты: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Вывод: l ||m. Предположение требует доказательства. Расположение l и m одно из двух: пересекаются или параллельны. Но во втором случае поверхности не имеют общих точек. Тогда l || m. Утверждение доказано. Следует запомнить: если прямая лежит в плоскости, то они имеют более одной точки пересечения.

Имеются поверхность а, точка А не принадлежит а. Тогда существует только одна поверхность b || a, проходящая через А. Доказать положение просто. Пусть l Ω m; l, m принадлежат а. Через каждую из них и А строится плоскость. Она пересекает а. В ней существует линия, проходящая через А и || а. В точке А они являются пересекающимися. Они образуют единственную поверхность b || a.

Существуют скрещивающиеся прямые l и m. Тогда имеются || поверхности а и b, которым принадлежат l и m. Логично поступить так: на l и m выбрать произвольные точки. Провести m1 || m, l1 || l. Пересекающиеся линия попарно || => a || b. Положение доказано.

Знание свойств параллельности одной прямой и плоскости позволит умело применять их на практике. Простые и логичные доказательства помогут ориентироваться в увлекательном мире стереометрии.

Плоскости: оценка параллельности

Описать понятие просто. Вопрос: что значит, одна прямая и плоскость параллельны, решен. Исследование начальных категорий геометрии пространства привело к более сложному утверждению.

При решении прикладных задач применяется признак параллельности. Простое описание: пусть l Ω m, l1 Ω m1, l, m принадлежат а, l1, m1 – b. При этом l || l1, m || m1. Тогда a || b.

Без применения математических символов: плоскости называются параллельными, если проведены через пересекающиеся попарно параллельные прямые.

Стереометрия рассматривает свойства параллельных плоскостей . Их описывают теоремы:

Исследуемые объекты: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Тогда l || m. Очевидно доказательство. и Прямые лежат в одной плоскости, если они || или пересекаются. Следует применить утверждение о параллельности прямой и поверхности. Тогда становится очевидно: пересекаться l и m не могут. Остается единственное – l || m.