Формула для вычисления суммы углов. Правильный многоугольник

Тип урока: урок практикум, комбинированный урок.

Цели урока:

1. Вывести формулу, выражающую сумму углов выпуклого многоугольника

2. Развитие логического мышления и внимания

3. Воспитание культуры умственного труда

Оборудование: таблица «Сумма углов выпуклого многоугольника», рабочая тетрадь по геометрии, набор моделей выпуклых многоугольников.

Используемые технологии: элементы технологии критического мышления, здоровьесберегающие технологии, технология проблемного обучения.

Ход урока:

I . Эмоциональное начало урока:

Здравствуйте, ребята. Здравствуйте, гости. Ребята, поднимите на меня глаза. Я волнуюсь, а вы? Какое у вас настроение? Давайте поддержим друг друга, улыбнемся друг другу, и я уверена – мы вместе преодолеем все трудности, мы это сможем.

Как вы думаете, о чем сегодня пойдет речь на уроке? Затрудняетесь? Мы не будем пока формулировать тему нашего урока, вернемся к ней позже, в ходе работы.

II . Актуализация знаний:

Математический диктант (фронтально) с последующей проверкой на обороте доски. На обороте доски работает ученик.

Цель этого задания: повторить все необходимые сведения для дальнейшей работы.

Вид проверки: взаимо- или самопроверка, выбирают сами учащиеся.

Учитель по выбору учащихся проверяет 2-3 работы. Оценка ставится по количеству правильных ответов.

Диктант:

1 Многоугольник с n вершинами называется… (n -угольником).

2. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется… (диагональю многоугольника).

3. Если многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины, то он называется… (выпуклым).

4. Две вершины четырехугольника, не являющиеся соседними, называются… (противоположными).

5. Чему равна сумма градусных мер всех углов треуглоьника?.. (180°).

Итоги: понятие n -угольника, его диагоналей, выпуклого многоугольника, его противоположных вершин, суммы градусных мер всех углов треугольника мы применим на следующем этапе нашего урока, выполняя лабораторную работу.

III . Изучение нового материала:

Лабораторная работа (в парах).

Цель работы: вывести экспериментально формулу, выражающую сумму углов выпуклого многоугольника.

Указание к работе:

1. Постройте три выпуклых многоугольника.

2. Из одной вершины проведите диагонали.

3. Сравните число сторон многоугольника с числом получившихся треугольников.

4. Выразите сумму углов каждого многоугольника через сумму углов треугольника.

Результаты занесите в таблицу (несколько учащихся записывают на доске свои результаты)

Можно ли сейчас сформулировать тему урока?

- Тема: «Сумма углов выпуклого многоугольника»

5. Сформулируйте гипотезу: «Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n -2) ٠ 180°»

Подтвердим эту гипотезу, прочитав вывод формулы на странице 99 учебника. Запишем формулу в тетрадь. Учащиеся оценивают результаты своей лабораторной работы по пятибалльной системе.

IV . Здоровьесберегающая пауза.

Цель: предупредить переутомляемость, сохранить здоровье учащихся, связав упражнения с элементами, входящими в тему урока (с углами различных видов).

Дети сидят за партой. Предложить им сесть под углом 90°.

Ребята, встаньте. Руками изобразите развернутый угол. Поднимая правую руку, покажите прямой угол. Сделайте то же самое, поднимая левую руку. Затем поочередно изобразите тупой, а затем и острый углы. Садитесь.

V . Закрепление изученного материала.

Цель: научить учащихся решать прямую и обратную задачи, применяя формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

Решение задач

1. Работа в рабочих тетрадях. (Один из учащихся вслух читает задачу и ее решение, заполняя пропуски, остальные внимательно следят за его работой. Если ученик допускает при этом ошибку, то класс исправляет ее.)

Задача №4. Используя формулу (n -2)·180°, найдите сумму углов выпуклого:

а) одиннадцатиугольника

б) двадцатидвухугольника

Ответ: а) 1620°, б) 3600°

2. Решить письменно №365 (в). Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 120°.

Один из учащихся вызывается к доске для решения задачи, остальные работают в тетрадях.

Решение: сумму углов выпуклого n -угольника равна 180° ٠ ( n -2). Следовательно, 180° ٠ ( n -2)=120° ٠ n

Отсюда: 180° ٠ n -360°=120° ٠ n , 60° ٠ n =360°, n =6.

Ответ: 6 сторон.

Наводящие вопросы:

Чему равна сумма углов выпуклого n -угольника?

Как другим способом можно вычислить сумму углов выпуклого n -угольника, если каждый из его n углов равен 120°?

Как найти число сторон такого многоугольника?

VI . Самостоятельная работа

Цель: проверить уровень усвоения темы

Задание 1.

Используя формулу, найдите сумму углов выпуклого n угольника

1 вариант 2 вариант

n =12. Ответ: 1800° n =32. Ответ: 5400 °

Задание 2.

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:

1 вариант 2 вариант

90°. Ответ: Четыре 60° Ответ: Три

Несколько учащихся от каждого варианта записывают свои ответы на обороте доски, учитель проверяет, остальные учащиеся осуществляют само- или взаимопроверку по выбору.

Домашнее задание:

Цель: Закрепить умения и навыки учащихся решать задачи с применением формулы суммы углов выпуклого многоугольника.

1. Пункт 40 на стр. 99, вопрос 3 на стр. 114;

2. Решить задачи №364 (в), 365 (г).

VII . Итог урока:

1. Составление синквейна.

2. Выставление оценок (среднее арифметическое: диктант, л/р, с/р).

3. Комментирование домашнего задания.

4. Сдача тетрадей учениками.

Синквейн

Многоугльники

Выпуклые, n -угольные

Строим, разбиваем, вычисляем

Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n -2)·180°

Формула

В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Как доказать эту формулу?

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:

Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.

Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .

Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.

1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:

Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .

2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:

Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен :

Тогда сумма всех внешних углов равна . То есть она равна .

То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.

Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.

Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!

Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил , Сергей Валерьевич

Треугольник, квадрат, шестиугольник - эти фигуры известны практически всем. Но вот о том, что такое правильный многоугольник, знает далеко не каждый. А ведь это все те же Правильным многоугольником называют тот, что имеет равные между собой углы и стороны. Таких фигур очень много, но все они имеют одинаковые свойства, и к ним применимы одни и те же формулы.

Свойства правильных многоугольников

Любой правильный многоугольник, будь то квадрат или октагон, может быть вписан в окружность. Это основное свойство часто используется при построении фигуры. Кроме того, окружность можно и вписать в многоугольник. При этом количество точек соприкосновения будет равняться количеству его сторон. Немаловажно, что окружность, вписанная в правильный многоугольник, будет иметь с ним общий центр. Эти геометрические фигуры подчинены одним теоремам. Любая сторона правильного n-угольника связана с радиусом описанной около него окружности R. Поэтому ее можно вычислить, используя следующую формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через можно найти не только стороны, но и периметр многоугольника.

Как найти число сторон правильного многоугольника

Любой состоит из некоторого числа равных друг другу отрезков, которые, соединяясь, образуют замкнутую линию. При этом все углы образовавшейся фигуры имеют одинаковое значение. Многоугольники делятся на простые и сложные. К первой группе относятся треугольник и квадрат. Сложные многоугольники имеют большее число сторон. К ним также относят звездчатые фигуры. У сложных правильных многоугольников стороны находят путем вписывания их в окружность. Приведем доказательство. Начертите правильный многоугольник с произвольным числом сторон n. Опишите вокруг него окружность. Задайте радиус R. Теперь представьте, что дан некоторый n-угольник. Если точки его углов лежат на окружности и равны друг другу, то стороны можно найти по формуле: a = 2R ∙ sinα: 2.

Нахождение числа сторон вписанного правильного треугольника

Равносторонний треугольник - это правильный многоугольник. Формулы к нему применяются те же, что и к квадрату, и n-угольнику. Треугольник будет считаться правильным, если у него одинаковые по длине стороны. При этом углы равны 60⁰. Построим треугольник с заданной длиной сторон а. Зная его медиану и высоту, можно найти значение его сторон. Для этого будем использовать способ нахождения через формулу а = х: cosα, где х - медиана или высота. Так как все стороны треугольника равны, то получаем а = в = с. Тогда верным будет следующее утверждение а = в = с = х: cosα. Аналогично можно найти значение сторон в равнобедренном треугольнике, но х будет заданная высота. При этом проецироваться она должна строго на основание фигуры. Итак, зная высоту х, найдем сторону а равнобедренного треугольника по формуле а = в = х: cosα. После нахождения значения а можно вычислить длину основания с. Применим теорему Пифагора. Будем искать значение половины основания c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тогда c = 2xtgα. Вот таким несложным способом можно найти число сторон любого вписанного многоугольника.

Вычисление сторон квадрата, вписанного в окружность

Как и любой другой вписанный правильный многоугольник, квадрат имеет равные стороны и углы. К нему применяются те же формулы, что и к треугольнику. Вычислить стороны квадрата можно через значение диагонали. Рассмотрим этот способ более детально. Известно, что диагональ делит угол пополам. Изначально его значение было 90 градусов. Таким образом, после деления образуются два Их углы при основании будут равны 45 градусов. Соответственно каждая сторона квадрата будет равна, то есть: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, где е - это диагональ квадрата, или основание образовавшегося после деления прямоугольного треугольника. Это не единственный способ нахождения сторон квадрата. Впишем эту фигуру в окружность. Зная радиус этой окружности R, найдем сторону квадрата. Будем вычислять ее следующим образом a4 = R√2. Радиусы правильных многоугольников вычисляют по формуле R = а: 2tg (360 o: 2n), где а - длина стороны.

Как вычислить периметр n-угольника

Периметром n-угольника называют сумму всех его сторон. Вычислить его несложно. Для этого необходимо знать значения всех сторон. Для некоторых видов многоугольников существуют специальные формулы. Они позволяют найти периметр намного быстрее. Известно, что любой правильный многоугольник имеет равные стороны. Поэтому для того, чтобы вычислить его периметр, достаточно знать хотя бы одну из них. Формула будет зависеть от количества сторон фигуры. В общем, она выглядит так: Р = an, где а - значение стороны, а n - количество углов. Например, чтобы найти периметр правильного восьмиугольника со стороной 3 см, необходимо умножить ее на 8, то есть Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестиугольника со стороной 5 см вычисляем так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. И так для каждого многоугольника.

Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба

В зависимости от того, сколько сторон имеет правильный многоугольник, вычисляется его периметр. Это намного облегчает поставленную задачу. Ведь в отличие от прочих фигур, в этом случае не нужно искать все его стороны, достаточно одной. По этому же принципу находим периметр у четырехугольников, то есть у квадрата и ромба. Несмотря на то что это разные фигуры, формула для них одна Р = 4а, где а - сторона. Приведем пример. Если сторона ромба или квадрата равна 6 см, то находим периметр следующим образом: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У параллелограмма равны только противоположные стороны. Поэтому его периметр находят, используя другой способ. Итак, нам необходимо знать длину а и ширину в фигуры. Затем применяем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Параллелограмм, у которого равны все стороны и углы между ними, называется ромб.

Нахождение периметра равностороннего и прямоугольного треугольника

Периметр правильного можно найти по формуле Р = 3а, где а - длина стороны. Если она неизвестна, ее можно найти через медиану. В прямоугольном треугольнике равное значение имеют только две стороны. Основание можно найти через теорему Пифагора. После того как станут известны значения всех трех сторон, вычисляем периметр. Его можно найти, применяя формулу Р = а + в + с, где а и в - равные стороны, а с - основание. Напомним, что в равнобедренном треугольнике а = в = а, значит, а + в = 2а, тогда Р = 2а + с. Например, сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, найдем его основание и периметр. Вычисляем значение гипотенузы по теореме Пифагора с = √а 2 + в 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Вычислим теперь периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Как найти углы правильного многоугольника

Правильный многоугольник встречается в нашей жизни каждый день, например, обычный квадрат, треугольник, восьмиугольник. Казалось бы, нет ничего проще, чем построить эту фигуру самостоятельно. Но это просто только на первый взгляд. Для того чтобы построить любой n-угольник, необходимо знать значение его углов. Но как же их найти? Еще ученые древности пытались построить правильные многоугольники. Они догадались вписать их в окружности. А потом на ней отмечали необходимые точки, соединяли их прямыми линиями. Для простых фигур проблема построения была решена. Формулы и теоремы были получены. Например, Эвклид в своем знаменитом труде «Начало» занимался решением задач для 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. Он нашел способы их построения и нахождения углов. Рассмотрим, как это сделать для 15-угольника. Сначала необходимо рассчитать сумму его внутренних углов. Необходимо использовать формулу S = 180⁰(n-2). Итак, нам дан 15-угольник, значит, число n равно 15. Подставляем известные нам данные в формулу и получаем S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Мы нашли сумму всех внутренних углов 15-угольника. Теперь необходимо получить значение каждого из них. Всего углов 15. Делаем вычисление 2340⁰: 15 = 156⁰. Значит, каждый внутренний угол равен 156⁰, теперь при помощи линейки и циркуля можно построить правильный 15-угольник. Но как быть с более сложными n-угольниками? Много веков ученые бились над решением этой проблемы. Оно было найдено только лишь в 18-м веке Карлом Фридрихом Гауссом. Он смог построить 65537-угольник. С этих пор проблема официально считается полностью решенной.

Расчет углов n-угольников в радианах

Конечно, есть несколько способов нахождения углов многоугольников. Чаще всего их вычисляют в градусах. Но можно выразить их и в радианах. Как это сделать? Необходимо действовать следующим образом. Сначала выясняем число сторон правильного многоугольника, затем вычитаем из него 2. Значит, мы получаем значение: n - 2. Умножьте найденную разность на число п («пи» = 3,14). Теперь остается только разделить полученное произведение на число углов в n-угольнике. Рассмотрим данные вычисления на примере все того же пятнадцатиугольника. Итак, число n равно 15. Применим формулу S = п(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Это, конечно же, не единственный способ рассчитать угол в радианах. Можно просто разделить размер угла в градусах на число 57,3. Ведь именно столько градусов эквивалентно одному радиану.

Расчет значения углов в градах

Помимо градусов и радиан, значение углов правильного многоугольника можно попробовать найти в градах. Делается это следующим образом. Из общего количества углов вычитаем 2, делим полученную разность на число сторон правильного многоугольника. Найденный результат умножаем на 200. К слову сказать, такая единица измерения углов, как грады, практически не используется.

Расчет внешних углов n-угольников

У любого правильного многоугольника, кроме внутреннего, можно вычислить еще и внешний угол. Его значение находят так же, как и для остальных фигур. Итак, чтобы найти внешний угол правильного многоугольника, необходимо знать значение внутреннего. Далее, нам известно, что сумма этих двух углов всегда равна 180 градусам. Поэтому вычисления делаем следующим образом: 180⁰ минус значение внутреннего угла. Находим разность. Она и будет равняться значению смежного с ним угла. Например, внутренний угол квадрата равен 90 градусов, значит, внешний будет составлять 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Как мы видим, найти его несложно. Внешний угол может принимать значение от +180⁰ до, соответственно, -180⁰.