Комбинаторика лекции. Принципы комбинаторики Принцип сложения

Лекция 7-8 - комбинаторика.doc

Лекции 7-8. Комбинаторика

История

Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике.

Начав с анализа головоломок и азартных игр (го, кости, магические квадраты и др.), комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

• 
  для числа перестановок из n элементов,
• 
  для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями,
• 
  для числа размещений с повторениями и без повторений.

Научно-техническая революция, в частности внедрение ЭВМ во все области жизни, вызвала подлинный расцвет дискретной математики. Ее методы должны были стать достоянием не только математиков, но и научно-технических работников - программистов, инженеров, вычислителей, экономистов и других, обеспечивающих успешное функционирование, а также дальнейшую разработку и совершенствование многочисленных систем управления и сложных вычислительных устройств. И комбинаторика, будучи важной составной частью дискретной математики, одним из ее краеугольных камней, также испытала подлинный подъем.
^

Некоторые задачи комбинаторики

В некоторых случаях такую конфигурацию удается найти сразу. Например, если требуется расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки, то после недолгих размышлений мы вспоминаем фигуру пятиконечной звезды.

Конечно, если задача возникла из практики, то в большинстве случаев можно быть уверенным в существовании решения. Гораздо хуже в этом отношении положение шахматиста, рассчитывающего спасительную комбинацию, или специалиста по шифрам, придумывающего новый код с заранее заданными свойствами. Они не знают заранее, существует ли то, что они ищут, не являются ли их труды поисками черной кошки в темной комнате, где кошки и в помине не было. Таким образом, возникает вторая проблема комбинаторики.

^ 2. Доказать существование или отсутствие конфигурации с заданными свойствами.

Во многих случаях, однако, бывает недостаточно найти одну конфигурацию с заданными свойствами, а требуется описать все такие конфигурации и найти их число. Например, можно потребовать найти не одно, а все возможные расположения 10 точек на 5 отрезках, при которых на каждом отрезке лежат по 4 точки. Можно доказать, что кроме пятиконечной звезды есть еще пять расположений с таким свойством.

3. Найти общее число конфигураций с заданными свойствами.

4. Описать все способы решения данной комбинаторной задачи, дать алгоритм их перечисления.

5. Из всех решений данной комбинаторной задачи выбрать оптимальное по тем или иным параметрам.

Одной из классических оптимизационных задач является «задача о коммивояжере», в которой требуется наметить путь бродячего торговца, объезжающего заданные η городов, причем он должен по одному разу побывать в каждом городе и проделать весь путь за наименьшее время. Несмотря на усилия многих специалистов, до сих пор нет достаточно общего и удовлетворительного решения этой задачи.
^

Структура и методы

Теория конфигураций является традиционным и наиболее разработанным разделом комбинаторики. Теория конфигураций рассматривает задачи выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами.

Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.

^ Правило суммы: Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m + k способами.

Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A | число элементов множества A , через A B - объединение множеств A и B , через A xB - декартово произведение множеств A и B . Тогда для непересекающихся множеств A и B выполняется равенство: | A B | = | A | + | B | .

Пример: В корзине находится 5 яблок и 7 груш. Сколькими способами можно взять из корзины 1 фрукт (1 яблоко или 1 грушу)? 5+7=12
Подобное правило выполняется тогда, когда множества не пересекается. Если же множества пересекаются, то используются принципы включения-исключения . Формула для двух множеств имеет следующий вид:

^ |AB| = |A| + |B| - |AB|

В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы.

Пример: В группе учатся несколько студентов, каждый из которых имеет, по крайней мере, одну специализацию. На кафедре истории древнего мира и средних веков проходят специализацию 7 человек, на кафедре отечественной истории - 5 человек. Имеют две специализации 4 человека. Сколько студентов учится в группе.

|А|=7; |В|=5; |AB|=4; следовательно, конечная мощность множества |AB|=7+5-4=8.
Формула для двух множеств имеет следующий вид:

^ |ABС| = |A| + |B| + |С| - |AB| - |AС| - |ВС| + |ABС|

Пример: В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык: 12 человек знают английский, 10 - французский, 8 - немецкий, 6 знают английский и французский, 4 - немецкий и английский, 2 - французский и немецкий, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только французский? Только немецкий? Сколько человек знает ровно 1 язык?

Введем следующие множества:

А – множество сотрудников, знающих английский язык;

В – множество сотрудников, знающих французский язык;

С – множество сотрудников, знающих немецкий язык.

^ |А|=12; |В|=10; |С|=8; |AB|=6; |AС|=4; |ВС|=2; |ABС|=1

Тогда конечная мощность множества |ABС| = 12+10+8-6-4-2+1=19.
В классе учатся 50 школьников, в том числе 25 мальчиков. Учатся на хорошо и отлично 30 школьников, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, среди которых 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и отлично. Учатся на хорошо и отлично и в то же время занимаются спортом 15 мальчиков. Обозначим через м принадлежность к мужскому полу, через у - хорошую успеваемость и через с - увлечение спортом. Подсчитаем, сколько девочек не занимаются спортом и получают время от времени тройки (а быть может, и двойки), т. е. найдем, чему равно |неМнеУнеС|.

По условию задачи имеем

^ |U|=50; |М|=25; |У|=30; |С|=28; |МУ|=16; |МС|=18; |СУ|=17; |МУС|=15
При такой постановке задачи, когда из известного множества, элементы которого обладают какими-либо свойствами, нужно найти мощность неизвестного подмножества, которые этими свойствами не обладают, используется следующая модификация формулы включения-исключения :

|неAнеBнеС| = |U |-|A|-|B|-|С|+|AB|+|AС|+|ВС|-|ABС|

Ответ задачи:

Конечная мощность множества |неМнеУнеС| = 50-25-30-28+16+18+17-15=3

^ Правило произведения: Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A , B ) можно выбрать m*k способами.

На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так:

|A хB| = | A | | B | .

Пример: В магазине продаются розы, лилии, гвоздики четырех цветов: красного, белого, розового, чайного. Сколько различных цветов по виду и цвету продается в магазине?
Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x 1 ,x 2 ,…,x n ) произвольной конечной длины n .

Пример: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза?

Шаг 1 - выбор первой цифры - 5-ю способами, т.к. 0 первым быть не может;

Шаг 2 - выбор второй цифры - 5-ю способами, т.к. цифры не повторяются, а одну мы уже выбрали;

Шаг 3 - выбор третьей цифры - 4-мя способами;

Шаг 4 - выбор четвертой цифры - 3-мя способами.

Следовательно, по правилу произведения, 5*5*4*3=300 способами можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 четырехзначные числа, если ни одна из цифр не повторяется более одного раза.
Проверка:

У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен? Хватит ли этих наборов на всех англичан (57 млн чел.) или непременно найдутся англичане с одинаковыми именами?

Ребенок может получить либо 1, либо 2, либо 3 имени. Следовательно всего вариантов: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26 820 600

^

Размещения, сочетания, перестановки

Классической задачей на размещение с повторениями является задача «секретный замок ». Для запирания сейфов и автоматических камер хранения багажа применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово» или тайный набор цифр. Это слово набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы или цифры.

Пусть число букв на каждом диске равно 12, а число дисков равно 5. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающим его наудачу?
Диски представляют собой вакантные места, в каждое из которых будет размещен один из предлагаемых видов элементов, т.е. одна из двенадцати букв, причем одна и та же буква может повторяться на нескольких дисках.

Подобные конфигурации принято обозначать

Так как по условию буква на каждом диске может быть выбрана 12 способами, а дисков 5, то по правилу умножения мы можем заключить, что максимальное число комбинаций будет А 5 12 = 12*12*12*12*12*12 или 12 5 = 248 832. Значит, неудачных попыток может быть 248 831. Считая по 6 секунд на одну попытку, получаем, что для открытия сейфа понадобится более 400 часов непрерывной работы. Впрочем, обычно сейфы делают так, чтобы после первой же неудачной попытки раздавался сигнал тревоги.
Опираясь на этот пример, мы можем записать формулу:

Проверка:

1. Единицей цифровой информации в двоичной системе является байт – это «слово», состоящее из 8 бит (каждый бит – это двоичный разряд, состоящий из 0 или 1). Почему кодовая таблица для шрифтов содержит именно 256 знаков?

Количество мест для заполнения (т.е. k) по условию у на 8, видов элементов для заполнения мест (т.е. n) всего 2. Следовательно, А 8 2 = 2 8 = 256
2. Азбука Морзе предполагает кодирование символами «.» и «-». При этом самые часто встречаемые буквы обозначаются одним символом (например, Е – «.»), а менее всего встречаемые - пятью символами (например, Э – «..–..»). Сколько букв, цифр, знаков препинания закодировано одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью символами? Почему именно пять символов стало максимальной длиной для кодирования?

А 1 2 = 2 1 =2

А 2 2 = 2 2 =4

А 3 2 = 2 3 =8

А 4 2 = 2 4 =16

А 5 2 = 2 5 =32

По правилу сложения 2+4+8+16+32=62 символа можно закодировать с помощью подобных комбинаций, что достаточно для букв, цифр и знаков препинания.

^

Размещения без повторений

Классической задачей на размещение с повторениями является задача «первенство по футболу».

В первенстве страны по футболу участвовали 16 команд. Перед началом первенства был объявлен конкурс знатоков, в котором требовалось предсказать распределение медалей. Сколько различных ответов можно дать на этот вопрос?

Эта задача решается на основе правила произведения. Комплект золотых медалей может получить любая из 16 команд. Иными словами, здесь у нас 16 возможностей. Но если золотые медали уже завоеваны какой-то командой, занявшей 1 место, то остается лишь 15 претендентов на второе место и серебряные медали. Повторения здесь не может быть - одна и та же команда не может завоевать и золотые, и серебряные медали. Значит, после вручения чемпиону золотых медалей остается 15 возможностей получения серебряных медалей. Точно так же, если уже вручены и золотые, и серебряные медали, то на третье место и бронзовые медали претендует лишь одна из оставшихся 14 команд. По правилу произведения получаем, что медали могут быть распределены 16*15*14 = 3 360 способами.
Во многих комбинаторных задачах, которые рассматривают комбинации без повторений, встречается подобные произведения числа. Допустим, что условие предполагает некоторое число nN. Обозначим произведение всех натуральных чисел от 1 до n как n! (читается, как «эн-факториал»). 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24; удобно считать, что 0!=1.

Число размещений из n элементов по k может быть записано в виде:

Приведенную выше задачу можно вписать в эту формулу:

А 3 16 = 16! / (16-3)! = 16! / 13! =

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16

/ 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13 = после сокращения =

14*15*16 = 3360.

Проверка:

1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост!

В этом случае надо найти число размещений (без повторений) из 25 элементов по 4. Поэтому ответ дается формулой А 4 25 = 25! / (25-4)! = 25! / 21! = 22*23*24*25.
2. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Четверо судей должны независимо друг от друга пронумеровать их в порядке, отражающем их выступление в соревновании. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев победитель соревнований будет определен?

Четыре судьи могут выбрать победителя 10 4 =10000 способами. Трех различных кандидатов они назовут в А 4 10 = 5040 случаях. Поэтому совпадение хотя бы у двух судей будет в 4960 случаях.

^

Перестановки без повторений

Число перестановок из n элементов обозначают через Ρ n . Формула для P n сразу получается из формулы для числа размещений без повторений.

Р n = A n n = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Классической задачей на размещение с повторениями является задача «Чайник за рулем!».

Сколько аварийных ситуаций создаст начинающий водитель, если нарушит правильную последовательность следующих операций.

1. 
   Сесть в кресло водителя.
2. 
   Пристегнуть ремень.
3. 
   Завести двигатель.
4. 
   Убедиться в отсутствии препятствия.
5. 
   Указать направление собственного движения.
6. 
   Пропустить все транспортные средства, для которых твой транспорт может стать препятствием.
7. 
   Вырулить на полосу движения.

1. На званый вечер приглашены 5 мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?

Разделение мест на «мужские» и «женские» можно провести двумя способами: Р 2 =2!=2. Мужчин можно рассадить 5! способами, также как и женщин 5! способами. Следовательно, таблички расставляются 2*5!*5! способами = 2*5! 2 способами = 28800 способами.
2. Сколько нечетных и сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру надо использовать один раз?

На последнем месте может стоять либо цифра 3, либо 9, а остальные цифры можно переставлять P 3 = 3! способами. Всего получаем 12 нечетных чисел. Точно так же получаем, что количество четных чисел равно 12.

^

Перестановки с повторениями

Если некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок т.к. некоторые перестановки совпадут друг с другом.

Например, в слове из 4-х неповторяющихся букв число перестановок = 4! = 24. В слове же «мама» имеется два элемента двух различных типов, т.е. 2 элемента буквы «м» и 2 элемента буквы «а». Здесь будет всего 6 перестановок: «мама», «амам», «маам», «амма», «аамм», «ммаа».
Сокращение количества перестановок происходит из-за того, что меняя повторяющиеся типы элементов, мы получаем один и тот же вариант.

Сколько перестановок можно сделать в слове «математика»?

Здесь у нас две буквы «м», три буквы «а», две буквы «т», по одной буквы «е», «и», «к», а всего 10 букв. Значит, по формуле число перестановок равно

Р (2,3,2,1,1,1) = 10! / 2!*3!*2!*1!*1!*1! = 3628800/2*6*2*1*1*1 = 3628800/24 = 151200
Проверка:

1. У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Р(2, 3, 4) = 1260.

2. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы слова: а) «парабола»; в) «ингредиент»?

А) Р(3, 1, 1, 1, 1, 1) = 8! / 3!*1!*1!*1!*1!*1! = 40320/6 = 6720;

Б) Р(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) = 10! / 2!*2!* 2!*1!*1!*1!*1! = 3628800/8 = 453600

3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Р(2, 2, 2, 1, 1) = 5040

4. На первые две линии шахматной доски произвольным образом ставятся белые и черные фигуры (по два коня, два слона, две ладьи, ферзь и король каждого цвета). Сколькими способами можно это сделать? Сколькими способами можно расставить те же фигуры по всей доске? А если расставляются и все пешки (по 8 пешек каждого цвета)?

Р(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). На всей доске добавляется 48 пустых полей, поэтому ответ Р(48, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). С пешками ответ Р(32, 8, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1).

^

Сочетания без повторений

Число сочетаний, которые можно составить из n элементов по k, обозначают через С k n или .

В классической задаче на размещение без повторений «первенство по футболу» нас интересовало, кто конкретно займет 1-ое, 2-ое и 3-е места. Но если нас будут интересовать только группа призеров и неважно будет, кто конкретно получил золото, серебро и бронзу (иными словами, из 16-тиэлементного множества мы должны составить все возможные 3-хэлементные множества), то вариантов распределения будет в 6 раз т.е. в 3! раз меньше. 3360 / 3! = 3360/6 = 560

или

* Подобные коэффициенты еще называют биноминальными коэффициентами.
Классической задачей на сочетания без повторений является задача «Прощай, высшая лига!»

В первенстве страны по футболу участвуют 16 команд, а по итогам первенства высшую лигу покидают команды, занявшие последние два места. Каково будет число различных «печальных» исходов футбольного первенства?

Для любой из двух команд не важно, какое место оно займет предпоследнее или последнее, - все равно придется перейти во второй эшелон. Поэтому из 16-тиэлементного множества, мы должны составить все возможные 2-хэлементные подмножества.

Следовательно, С 2 16 = 16! / 14! * 2! = 120
Проверка:

А) Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти различных красок? Б) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов? В) А если один из цветов должен быть красным? Г) А если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различимы)?

Так как порядок красок не играет роли, то С 3 5 = 5! / 2! * 3! = 10 способов.

Здесь порядок красок уже важен, поэтому имеем А 3 5 = 5! / 2! = 60 способов.

Если одна полоса красная, то имеем 3 * А 2 4 = 3 * 4! / 2! = 36 способов.

Если цвета могут повторяться, то, осуществляя выбор сверху вниз, имеем 5 * 4 * 4 = 80 способов.

^

Сочетания c повторениями

Такие комбинации называют сочетаниями с повторениями из n элементов по k, а их число обозначают Č k n .

Классической задачей на сочетания без повторений является задача «Булочная-кондитерская».

В кондитерском магазине продавались пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Č 7 4 = (7+(4-1))! / 7!*(4-1)! = 10! / 7! * 3!= С 7 10
Проверка:

В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

1. 1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Курс лекций Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Экономический факультет 1
2. 2. Лекция 4 Комбинаторика 2
3. 3. Комбинаторика 3 В этой лекции мы узнаем, как подсчитывать элементы конечных множеств, удовлетворяющих определенным свойствам. Мы познакомимся с типичными ситуациями, в каждой из которых можно для упрощения расчетов использовать определенную свою формулу. Мы познакомимся также с главной областью приложения комбинаторики - расчетом вероятностей, полная теория которых изучается на втором курсе.
4. 4. Основная задача комбинаторики 4 С элементами конечных множеств можно производить различные действия: упорядочивать их, объединять в группы, отбирать подмножества по дополнительным признакам и свойствам, и т.д. При этом возникают новые, более сложные (комбинированные) множества, элементы которых тоже нужно уметь пересчитывать. . Иногда комбинаторику определяют также как науку о подсчете числа подмножеств, удовлетворяющих определенным свойствам. Предмет комбинаторики: подсчет числа способов выполнить определенные действия.
5. 5. Основные принципы комбинаторики. 5 Большинство задач комбинаторики можно решить, используя один из двух простых принципов, интуитивно очевидных, легко проверяемых на примерах, и используемых в качестве аксиом. Практически гораздо чаще применяется принцип умножения, поскольку очень часто сложные действия приходится разлагать на последовательность простых. Принцип сложения применим к ситуациям, когда есть выбор между двумя альтернативными действиями (когда два действия исключают друг друга). Принцип умножения, напротив, применяется к действиям, которые выполняются совместно (последовательно или одновременно)
6. 6. Принцип сложения 6 Принцип сложения: если действие 1 можно выполнить n способами, а действие 2 можно выполнить m способами, то сложное действие, состоящее в выполнении одного из действий 1 или 2 (но не обоих), можно выполнить n+m способами. Пример: как провести вечер: куда пойти? В кино В гости «Она» «Помпеи 3D» Миша Маша Леша Всего 2 + 3 = 5 способов провести вечер.
7. 7. Принцип умножения 7 Принцип умножения: если действие A можно выполнить n способами, а действие B можно выполнить m способами, то сложное действие, состоящее в выполнении обоих действий A и B (одновременно или последовательно) можно выполнить nm способами. В кино!!! (но с кем?) Наташа Таня Оля «Академия вампиров» «В спорте только девушки» Всего: 2*3=6 способов сходить в кино.
8. 8. Вероятность 8 Вероятность - мера уверенности в том, что некоторое событие произойдет (измеряется числом от 0 до 1). В простейшем случае вероятность вычисляется комбинаторно. Практически, вычисление всегда начинают со знаменателя, разбираются с тем, что считать действием, какие действия считать различными, вычисляют общее количество таких действий, и только после этого переходят к числителю. Разбивают сложный благоприятный исход на простейшие или стандартные, и используют принципы комбинаторики. Определение вероятности для простейшего случая равновероятных исходов – отношение числа благоприятных действий (или их исходов) к общему числу действий (их исходов): n m p 
9. 9. 9 Один из студентов каждую минуту задумывает одну из цифр (от 0 до 9), и записывает ее, а другой, находящийся в другом месте, пытается ее «принять телепатически», и также записывает (часы синхронизированы). В предположении, что телепатии не существует, какова вероятность, что задуманная цифра будет угадана правильно? Какова вероятность, что три задуманные подряд цифры будут угаданы правильно? Телепатия. Потусторонняя задача…
10. 10. Применение принципа умножения 10 ПРИМЕР: камера хранения. Для того, чтобы открыть камеру хранения, используется комбинация из 4 цифр (от 0 до 9), набираемая на 4 колесиках. а) Найти вероятность наугад открыть камеру хранения. РЕШЕНИЕ: Устанавливаем цифры на каждом из колесиков по очереди; каждый раз у нас есть 10 вариантов (цифры от 0 до 9), по принципу умножения они перемножаются: 10101010 = 10000 вариантов. Открывает дверцу из них только один, так что вероятность наудачу открыть ее равна 1/10000 = 0,0001. Довольно безнадежное занятие. Даже в простейших случаях удобно раскладывать сложные действия на простейшие, например, представляя себе, что они выполняются поочередно.
11. 11. Ценность информации 11 В результате использования дополнительной информации в сообщении перебор сократился вдвое, отсюда можно в принципе подсчитать, сколько стоит сообщенная информация, если ее можно было бы купить. Продолжение: б) Найти вероятность наугад открыть камеру хранения, если дополнительно стало известно, что все цифры на правильном номере разные. РЕШЕНИЕ: Теперь на втором колесике нужно не повторить цифру, набранную на первом, так что число вариантов сокращается до 9, далее уже две цифры становятся запрещенными, так что всего вариантов остается 8, а на последнем – уже 7 вариантов: 10987 = 5040 вариантов. Открывает дверцу по-прежнему только один, откуда вероятность открыть дверцу становится 1/5040  0,0002.
12. 12. Задачка на дом 12 1. N человек становятся случайным образом в очередь на концерт известной группы. Какова вероятность того, что два определенных человека (назовем их A и B) будут стоять рядом (и будут иметь шанс как бы случайно познакомиться). 2. N человек приглашены в гости и располагаются за круглым столом. Какова вероятность того, что те же A и B случайно окажутся на соседних местах. А и B сидели …и стояли.
13. 13. Задачка на дом 13 В ночной электричке, состоящей из 8 вагонов, едут 6 человек. При посадке каждый человек выбирает свой вагон наугад и далее в другой вагон не переходит. Найти вероятность того, что: 1. все едут в разных вагонах 2. не менее двух человек оказываются в одном вагоне. 3. все набьются в один вагон и будут дрожать вместе. Последняя электричка
14. 14. Стандартные действия комбинаторики 14 Основных правил для решения комбинаторных задач в принципе достаточно. Но практически их используют только в нестандартных задачах. Большинство же решаемых в комбинаторике задач являются типовыми, стандартными. Для них удобнее прямо использовать готовые формулы, каждая из которых ассоциируется с определенным стандартным действием. Стандартные действия комбинаторики: Перестановки Размещения Выборки Разбиения (на группы)
15. 15. Перестановки 15 Две перестановки отличаются друг от друга только порядком элеметов, все элементы у них общие. Первый элемент можно поставить на любое из n мест, следующий – на любое из (n-1) мест, и так далее. Последний элемент занимает единственное оставшееся место. Это приводит к формуле n!=n(n-1)(n-2)...1 (n-факториал). ПРИМЕР: Число перестановок 5 книг на полке равно 5!.
16. 16. Размещения 16 Два размещения отличаются друг от друга составом и порядком элементов. k nA – число размещений k элементов по n местам. Для первого элемента есть n мест, далее– (n-1) мест, и так далее. Для последнего k-го элемента остается (n–k+1) мест. Это приводит к формуле)1)...(2)(1( knnnnAk n . ("недоделанный факториал"). По сути это перестановка k элементов на n местах k
17. 17. Задачка на дом 17 Студентка садится в лифт вместе с другими 6 студентами (до этого момента они не были знакомы). Лифт идет на любой из 7 этажей (не считая нижнего). Выйдя из лифта на своем этаже, девушка заметила, что вместе с ней вышел юноша. Следует ли ей рассматривать это как нечто большее, чем случайность? А может это… .
18. 18. Задачка на дом 18 Будем считать, что день рождения наугад выбранного человека может прийтись на любой день из 365 дней в году. Какова вероятность того, что в группе из 23 человек у двух или более человек день рождения придется на один и тот же день? Гулянка по крупному.
19. 19. 19 Один человек придумал, как ему кажется, способ наверняка выиграть в рулетку. Он рассуждает так: шарик может остановиться на любом из 36 чисел: 1, 2, …36 (для простоты будем игнорировать 0). Если я буду ставить на определенное число 36 раз, я наверняка выиграю хотя бы раз. Прав ли он? Какова на самом деле вероятность хотя бы одного выигрыша? Найдите способ оценить ее приближенно без калькулятора). Утешительный приз Задачка на дом
20. 20. Выбор 20 Две выборки отличаются друг от друга только составом элементов, их порядок безразличен (поэтому в знаменателе появляется факториал числа элементов). Число способов выбора k элементов из имеющихся n элементов ввиду стандартности и широкой распространенности задачи выбора носит специальное название – число сочетаний из n элементов по k. ПРИМЕР: Число способов распределить 5 флаеров на дискотеку в компании из 7 человек равно 21 12345 345675 7    C . Число выборок, обозначаемое k nC , равно!)1)...(2)(1(k knnnn Ck n  
21. 21. Вывод формулы для числа сочетаний 21 Для получения формулы для числа выборок сводим задачу к уже изученному случаю (размещение с учетом порядка). Таким образом, мы исходим из числа размещений, но которое теперь (поскольку порядок k элементов безразличен) требуется разделить на число перестановок k элементов: !)1)...(2)(1(! k knnnn k A C k nk n   . Обратите внимание, что в числителе всего k сомножителей, столько же, сколько и в знаменателе.
22. 22. Свойство симметрии сочетаний 22 Выбранные и оставшиеся с точки зрения разбиения на группы равноправны, поэтому число способов выбрать k элементов равно числу способов оставить невыбранными n-k элементов kn n k n CC   ПРИМЕР: В задаче о распределении флаеров получаем гораздо более удобную формулу 21 12 672 7 5 7     CC .
23. 23. Вероятность для учебы 23 Каждый студент получает на экзамене 3 вопроса, случайно выбранных из 25 вопросов программы. Студент получит «5», если ответит правильно на все вопросы, «4» – только на два, «3» – только на один, и «2» - ни на один. Каковы вероятности получения пятерки, четверки, тройки и двойки? Экзаменационная ловушка.
24. 24. Математика риска 24 Лет двадцать назад в России была популярна лотерея «Спортлото», где нужно было, купив билет, зачеркнуть 6 названий видов спорта из 45. В еженедельном тираже объявлялись 6 выигрышных видов. Призовой фонд делился между угадавшими. Какова вероятность угадать три вида спорта? Все шесть? Счастливый билетик
25. 25. Выбор как разбиение на две группы 25 Можно придать формуле для сочетаний удобный для запоминания симметричный вид. Умножим числитель и знаменатель на (n-k)!, дополняющий числитель до полного факториала.)!(! ! 123)...(! 123)...()1)...(2)(1(knk n knk knknnnn     Итак,)!(! ! knk n Ck n   Симметрия поученной формулы позволяет рассматривать выбор как ситуацию разбиения на две группы (выбранные – оставшиеся) Итак, число способов),(knkPn  разбить множество, состоящее из n элементов, на две группы, первая из которых содержит k элементов, а вторая – n-k элементов, равно)!(! !),(knk n knkPn  
26. 26. Сложная выборка из двух типов элементов 26 Сложная выборка – это выборка из неоднородной совокупности, которая включает элементы двух или более типов. Чтобы составить сложную выборку, нужно сначала выбрать m элементов из M, обладающих нужным свойством, а затем отдельно выбрать n-m элементов из N-M не обладающих нужным свойством: mn MN m M CC   Вероятность такого факта равна n N mn MN m M C CC p   Пусть совокупность содержит N элементов, из которых только M обладают некоторым свойством (а значит N-M им не обладают).
27. 27. Приложение сложной выборки 27 Практически удобно представлять себе, что действия по формированию составляющих частей сложной выборки производятся отдельно, например, различными людьми В курсе теории вероятностей эта формула получит гордое имя гипергеометрического распределения. ПРИМЕР: Покупка телевизора на Митинском рынке. В ларьке имеется 10 телевизоров, из которых только 6 работают. За день продано 7 телевизоров. Найти вероятность того, что из них 4 работают. Рассчитываем по формуле сложной выборки 2 1 123 8910 4 21 56 7 10 3 4 4 6        C CC p
28. 28. Сложная выборка. Общий случай. 28 Рассмотрим теперь случай k различных типов элементов. Пусть совокупность содержит n элементов, из которых только n1 обладают свойством 1, n2 обладают свойством 2, …, nk обладают свойством k. Действуя по аналогии с случаем двух групп, и набирая в выборке элементы разных типов по отдельности, получаем k k n nnn n nnn n nn n n CCCC 11 3 21 2 1 1 ......  Прямым подсчетом можно убедиться, что это равно!!...! ! 21 knnn n 
29. 29. Разбиения на группы 29 Два разбиения отличаются друг от друга составом элементов групп, порядок элементов в группах безразличен, порядок групп существенен. Для вывода формулы для числа разбиений на группы можно пойти и другим путем: обобщить на случай k групп симметричную формулу для сочетаний. Количество способов)...,(21 kn nnnP , которыми можно разбить множество из n предметов на k различимых групп, содержащих соответственно 1n , 2n , …, kn предметов, равно!!...! ! 21 knnn n  ПРИМЕР: руководитель отдела, состоящего из 10 сотрудников, составляет график дежурств по пяти дням недели (каждый день должны дежурить два сотрудника, каждый сотрудник дежурит один день). У нас пять групп. По стандартной формуле числа разбиений получаем 10!/(2!2!2!2!2!)=1134000.
30. 30. Задачка на дом 30 На карточках складной азбуки написаны буквы: две «М», три «А», две «Т», и по одной «Е», «И» и «К». Маленький ребенок играет с карточками, прикладывая их друг к другу. Какова вероятность того, что случайно с первого раза он получит слово «МАТЕМАТИКА»? . Юный математический гений
31. 31. Задачка на дом 31 Найти вероятность того, что при вытаскивании трех карт из колоды из 52 карт получатся тройка, семерка и туз. Бедный Германн.
32. 32. Основные формулы комбинаторики. 32 Подведем итог, соберем вместе полученные результаты. Перестановки различаются только порядком элементов. Число перестановок n элементов равно n!=n(n-1)(n-2)...1 Размещения различаются составом и порядком элементов. Число размещений k элементов по n местам равно)1)...(2)(1( knnnnAk n . Выборки отличаются друг от друга составом элементов, порядок безразличен. Число выборок по k элементов из n элементов равно!)1)...(2)(1(k knnnn Ck n   Число разбиений множества из n предметов на k групп, содержащих 1n , 2n , …, kn элементов, равно k k n nnn n nn n n k kn CCC nnn n nnnP 11 2 1 1 ... 21 21 ... !!...! !),...,(  
33. 33. Конец лекции

Лекция 9: Комбинаторика-2.

Практически вся эта лекция будет посвящена разнообразным свойствам особых чисел, называемых попросту "цэшками", а по-научному числами сочетаний. Эти числа, обозначаемые стандартно Сnk , уже появлялись в первой лекции "Комбинаторика". Напомним их определение основную формулу:
Сnk - это число способов выбрать k различных (т. е. без повторений) предметов из n различных (0<=k<=n), без учета порядка выбора. Они могут быть вычислены по следующим формулам:
Сnk=Ank/k!
Cnk=(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/k!
Cnk=n!/(k!*(n-k)!)
Доказательства всех этих формул и определение чисел Ank вы можете прочитать в лекции "Комбинаторика".

Из формул видно, что: Cn0=1, Cn1=n, Cn2=n*(n-1)/2=(n2-n)/2, Cn3=n*(n-1)*(n-2)/6 ... Cnn-1=n, Cnn=1.

Свойство 1. Cnk=Cnn-k (при всех n>=0 и всех k от 0 до n; обычно говорят кратко - "при всех n и k").
Доказательство: Их у этого свойства будет два: первое - из формулы, второе - комбинаторное рассуждение.
1.) Cnk=n!/(k!*(n-k)!), а Cnn-k=n!/((n-k)!*(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!*k!) - то же самое, что и Cnk, ч. т.д.
2.) Когда мы выбираем k предметов из n, то n-k предметов мы оставляем. Если мы, наоборот, выбранные k предметов оставим, а оставленные n-k - выберем, то получим способ выбора n-k предметов из n. Заметим, что мы получили взаимно-однозначное соответствие способов выбора k и n-k предметов из n. Значит, тех и других способов поровну. Но одних а Cnk, а других а Cnn-k, поэтому они равны, ч. т.д.

Свойство 2. Cn+1k+1=Cnk+Cnk+1, "при всех n и k".
Доказательство: Их опять будет два, различных по тому же принципу.
1.) Cnk=n!/(k!*(n-k)!), Cnk+1=n!/((k+1)!*(n-k-1)!), а Cn+1k+1=(n+1)!/((k+1)!*(n-k)!). Теперь приведем первые два равенства к общему знаменателю и сложит: Cnk+Cnk+1 = n!*(k+1)/((k+1)!*(n-k)!)+n!*(n-k)/((k+1)!*(n-k)!) = n!*(k+1+n-k)/((k+1)!*(n-k)!) = (n+1)!/((k+1)!*(n-k)!) = Cn+1k+1, ч. т.д.
2.) Cn+1k+1 - это кол-во способов выбрать k+1 предметов из n+1. Посчитаем его, зафискировав один предмет (назовем его "крапленым"). Если мы не берем крапленый предмет, то нам надо выбрать k+1 предмет из n оставшихся, а если мы его берем, то надо выбрать из n оставшихся еще k предметов. Первое можно сделать Cnk+1 способами, второе - Cnk способами. Всего как раз Cnk+Cnk+1, ч. т.д.

(!) Мы только что познакомились со специфическим комбинаторным способом доказательства равенств. Он заключается в том, чтобы посчитать одно и то же количество двумя способами и получить при этом формулы, стоящие в разных частях доказываемого равенства. Раз мы считали одно и то же, то эти формулы равны (см., напр. док-во 2 св-ва 2). Иногда мы считаем два разных количества, а потом замечаем, что они одинаковы, приводя взаимно-однозначное соответствие между объектами, посчитанными в первый и во второй раз (см., напр. док-во 2 св-ва 1) - соответствие способов выбрать k и n-k предметов.

Примеры комбинаторных задач с "цэшками":

Задача 1. Сколькими способами можно из семи банок с краской разных цветов выбрать четыре?
Решение: Число способов выбора - это C74. Давайте его посчитаем: C74=C73 по св-ву 1. C73 = 7*6*5/3! = 7*6*5/6 = 7*5 = 35.

Задача 2. У одного меломана есть 6 дисков известной поп-группы, у другого 8. Сколькими способами они могут обменяться тремя дисками?
Решение: Каждый меломан должен выбрать из своих дисков три, которые он будет менять. Первый может сделать это C63 способами, а второй C83 способами. Так как выбор независим, то все вариантов C63*C83. Посчитаем: C63 = 6*5*4/3! = 6*5*4/6 = 5*4 = 20. C83 = 8*7*6/3! = 8*7*6/6 = 8*7 = 56. Ответ: 20*56=1120.

Задача 3. В кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Сколько есть способов послать на конкурс команду из 4-х человек, если в ней обязательно должна быть хоть одна девочка?
Решение: В команду входит либо одна девочка, либо обе. В первом случае эту девочку можно выбрать C21 способами, а также C73 способами выбрать в команду еще трех мальчиков. Во втором случае в команду надо выбрать еще 2-х мальчиков C72 разными способами. Всего C21*C73+C72 способов. Посчитаем: C21=2, C73=35 (уже считали в зад.1), C72=7*6/2!=42/2=21. Ответ: 2*35+21=91.

Задача 4. Сколькими способами можно разбить 10 человек на 2 команды по 5 человек в каждой? А 15 человек на 3 команды по 5 человек в каждой?
Решение: Число способов выбрать одну команду (5 человек) - C105. Тогда ясен и состав второй команды - другие 5 человек. Но: каждый вариант выбора мы посчитали дважды , один раз считая первой одну команду, другой раз - другую. Поэтому в ответе будет C105/2 (желающие могут посчитать сами, что это будет 126).
Для трех команд давайте считать, что мы на время зафискировали порядок их выбора: первую, вторую и третью команды. Тогда число способов выбрать первую команду - C155, вторую (при выбранной первой) - C105, а третью автоматически образуют оставшиеся 5 человек. Сколько мы насчитали лишнего? Ясно, что способы выбора одних и тех же трех команд в разном порядке мы посчитали как разные. А одни и те же 3 команды можно поставить в разном порядке 3!=6 способами (см. лекцию "Комбинаторика"). Поэтому мы насчитали в 6 раз больше, чем нужно. Ответ: C155*C105/6 (это будет, на самом деле, 126126).
(!) Обратите внимание: мы сделали здесь примерно то же, что и в док-ве формулы Сnk=Ank/k! в лекции "Комбинаторика": представили, что мы выбираем объекты не просто так, а в определенном порядке. То, что в исходной задаче было одним способом выбора, теперь может быть посчитано как разные способы много раз. А именно: факториал кол-ва объектов, к которым применена эта процедура, т. к. именно столькими способами можно эти объекты переставить. На этот факториал и надо будет поделить полученный ответ.
Вопрос на понимание: А почему из 15 человек можно выбрать 2 команды по 5 ровно C155*C105/2 способами?

"Цэшки", треугольник Паскаля и Бином Ньютона:
В предыдущих примерах мы вычисляли числа Cnk непосредственно по формуле, делая много умножений и делений. Оказывается, есть метод вычислять сразу много разных "цэшек", используя только сложение. Особенно важно это при программной реализации, поскольку компьютер складывает числа гораздо быстрее, чем умножает и тем более делит. Он основан на доказанном выше "свойстве 2": Cn+1k+1=Cnk+Cnk+1.

Давайте построим из чисел два бесконечных треугольника. В первом из них (см. рис. внизу слева) будем ставить единицы в самом верху и по краям каждом следующей строки, а каждое из остальных чисел будет равно сумме двух стоящих над ним слева и справа (этот треугольник называется треугольником Паскаля ). Во втором (см. рис. внизу справа) будем последовательно выписывать значения Cnk, отводя по одной строке для каждого значения n и располагая в ней "цэшки" по возрастанию k. На самом деле эти треугольники одинаковы . Равенство первых нескольких строчек, можно заметить, а дальше надо уже доказывать.

Утверждение. Если строчки треугольника Паскаля и позиции в них нумеровать, начиная с нуля, то на k-м месте в n-й строке будет стоять значение Cnk (основное свойство треугольника Паскаля).
Доказательство: Индукция по n (см. лекцию "Индукция", если вы еще не знакомы с этим методом).
База: n=0 - действительно, C00=1 - как раз то, что стоит на верхушке треугольника Паскаля.
Переход: от n к n+1. Пусть в n-й строчке все числа уже равны значениям "цэшек" из n по соответствующим k. Рассмотрим n+1-ю строчку. На ее краях (нулевое и n+1-е места) стоят две единицы - и значения Cn+10 и Cn+1n+1 как раз равны 1. Далее, при всех k от 1 до n число, стоящее на k-м месте в n+1-й строке, равно сумме чисел, стоящих в n-й строке на k-1-м и k-м местах соответственно (т. е. как раз двух стоящих над ним - по принципу построения треугольника Паскаля). По предположению индукции, они равны Cnk-1 и Cnk, а их сумма тогда будет Cnk-1+Cnk, что как раз равно Cn+1k (по свойству 2 "цэшек"), ч. т.д.

Для справки мы приводим здесь первые 11 строчек (с нулевой по 10-ю) треугольника Паскаля - их можно посчитать и вручную. На компьютере, с помощью простой программы, можно вычислить значительно больше "цэшек", и более быстрого алгоритма, чем треугольник Паскаля, пока не существует.

Такие, казалось бы, чисто комбинаторные вещи, как числа Cnk и треугольник Паскаля, неожиданно встречаются и в алгебре. Выпишем известные формулы сокращенного умножения:

Коэффициенты в этих формулах (и это лучше видно, когда выписаны еще нулевая и первая степень) - это числа из треугольника Паскаля, то есть "цэшки". На самом деле, такая закономерность будет продолжаться и дальше, и называется она бином Ньютона . Точнее: (a+b)n=an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+...+Cnn-1a1bn-1+bn.
Можно доказать эту формулу по индукции, как и основное свойство треугольника Паскаля. Но это будет упражнением для желающих попрактиковаться в индукции. Приведем более простое объяснение:
(a+b)n=(a+b)(a+b)...(a+b) (n скобок). Раскрывая скобки, получаем в отдельных слагаемых произведения n букв, каждая из которых - a или b, т. е. an-kbk при каком-то k от 0 до n. Докажем, что для каждого такого k число таких слагаемых - ровно Cnk, откуда, приведя подобные, и получаем формулу бинома. Но это правда: an-kbk получается путем взятия a из k скобок и b из n-k оставшихся; разные такие слагаемые получаются путем разного выбора этих самых k скобок, а k скобок из n можно выбрать как раз Cnk способами, ч. т.д.
(!) Именно из-за бинома Ньютона числа Cnk часто называют биномиальными коэффициентами .

Более сложные свойства "цэшек":
Прежде, чем изучать этот параграф, следует внимательно прочесть и понять предыдущий, так как приводимые здесь доказательства тесно используют связьCnk с треугольником Паскаля и биномом Ньютона.

Утверждение 1. Сумма Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn-1+Cnn (т. е. чисел в n-й строке треугольника Паскаля) равна 2n.
Доказательство №1: (комбинаторное). Поскольку Cnk - число способов выбрать k предметов из n, то сумма всех таких чисел при фиксированном n и разных k (т. е. сумма из условия) - число способов выбрать несколько предметов (возможно, 0, 1 или все) из n. Почему же несколько предметов из n можно выбрать именно 2n способами? Мы можем выбрать первый предмет или не выбрать - 2 случая. В каждом из этих случаев мы можем выбрать или не выбрать второй предмет - имеет по 2 подслучая, т. е. 22=4 варианта. В каждом из них образуется по 2 подслучая, смотря, выбран ли третий предмет - всего 23=8 вариантов и т. д. В конце, после n ветвления на подслучаи, получаем 2n вариантов, ч. т.д.
Доказательство №2: (индукция с использованием свойства Cn+1k+1=Cnk+Cnk+1).
База: n=0 и Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn-1+Cnn=C00=1=20, ч. т.д.
Переход: (от n к n+1). Cn+10+Cn+11+Cn+12+...+Cn+1n+Cn+1n+1 = Cn+10+Cn0+Cn1+Cn1+Cn2+...+Cnn-1+Cnn+Cn+1n+1 по указанному свойству. Заметим, что Cn+10=1=Cn0 и Cn+1n+1=1=Cnn, откуда это выражение равно 2Cn0+2Cn1+2Cn2+...+2Cnn-1+2Cnn = 2*(Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn-1+Cnn). Это, по предположению индукции, равно 2*2n=2n+1, ч. т.д.
Доказательство №3: (бином Ньютона). Заметим, что 2n=(1+1)n и раскроем по формуле бинома Ньютона (при a=b=1). Получим 1+Cn1+Cn2+...+Cnn-1+1 - с учетом того, что Cn0=Cnn=1, это как раз сумма из условия, ч. т.д.
(!) Обратите внимания: три разных рассуждения, использующие совершенно разный взгляд на природу "цэшек", приводят к одному и тому же результату. На самом деле, тот или иной взгляд может оказаться более удобным в зависимости от конкретной задачи и, конечно, конкретного решающего.

Утверждение 2. Сумма Cn0-Cn1+Cn2-...+(-1)n-1Cnn-1+(-1)nCnn равна 0.
Доказательство №1: (комбинаторное). Заметим, что сумма всех слагаемых со знаком "+" - это число способов выбрать четное число предметов из n, а со знаком "-" - соответственно, нечетное. Докажем, что тех и других способов поровну, например, поставив их во взаимно-однозначное соответствие. Объединим способы выбора предметов в пары так: в одном способе первый предмет выбран, а в другом не выбран, но остальные предметы в обоих способах выбираются одинаково. Ясно, что в двух способах из пары кол-ва выбранных предметов различаются на 1, поэтому в каком-то из способов выбрано четное число предметов, а в другом - нечетное. Поскольку мы разбили на пары все способы, то тех и других поровну, ч. т.д.
Упражнение: Придумать еще два доказательства, по индукции и через бином Ньютона.
(!) Заметим, что четное (и нечетное тоже) число предметов из n можно выбрать 2n-1 способами: число способов выбрать четное и нечетное число предметов одинаковы, а в сумме они дают 2n, значит, оба по 2n-1.

Утверждение 3. Сумма (Cn0)2+(Cn1)2+...+ (Cnn)2 равна C2nn.
Замечание: Это редкостное свойство, напротив, ни по индукции, ни через бином не доказывается:-(
План доказательства: Вспомнив про "свойство 1", сделаем в сумме замену: Cn0*Cnn+Cn1*Cnn-1+...+Cnn*Cn0. Возьмем такой объект: 2n шариков, n белых и n черных. Число способов выбрать из них какие-то n шариков - конечно, C2nn. А если мы сгруппируем эти способы по количеству белых и черных шариков среди выбранных, то получим как раз написанную выше сумму (упражнение: убедиться в этом).

Теория "шаров и перегородок":
Этот параграф следует прочесть особо внимательно. Изложенный в нем метод, на первый взгляд, непрост, но очень изящен и имеет многочисленные применения в олимпиадных задачах.

Задача 5. Есть k ящиков и n>=k однаковых шаров. Сколькими способами можно разложить шары по ящикам так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
Решение: Давайте определять раскладку так: выложим шары в ряд и поставим между ними k-1 перегородку. То, что слева от первой перегородки, положим в первый ящик, между первой и второй - во второй... то, что справа от последней - в последний, k-й ящик. Ящик будет пустым, только если две перегородки стоят рядом не разделенные шарами, либо перегородка стоит с краю, левее или правее всех шаров. Так давайте это запретим! Пусть на каждое из n-1 мест между n шарами можно поставить не более одной из k-1 перегородок. То есть, из n-1 мест надо будет выбрать k-1, куда мы ставим перегородки. Отсюда получаем ответ: Cn-1k-1 .

Задача 6. А сколько способов разложить шары, если могут быть пустые ящики?
Решение: Если определять раскладку так же, ставя между шарами k-1 перегородку, то ограничений уже не будет: шары и перегородки можно ставить в произвольном порядке. Давайте считать, что у нас расставлено в ряд n+k-1 объектов: n из них шары, а остальные - перегородки. Тогда раскладка будет определяться тем, на каких местах какие объекты стоят. Из n+k-1 мест можно выбрать n мест для шаров Cn+k-1n способами, или: k-1 место для перегородок Cn+k-1k-1 способами. Эти числа равны и оба являются ответом.

Выбор с повторениями, без учета порядка (с помощью новой теории).
Найдем, наконец, то, что мы не нашли в первой лекции по комбинаторике (но проанонсировали ответ Cn+k-1k): число способов выбрать k предметов из n с повторениями без учета порядка.
Общая формулировка задачи: есть предметы n различных сортов. Сколько способов выбрать k предметов, если учитывается только число предметов того или иного сорта?
Давайте считать, что k предметов - это "шары", а n сортов - "ящики", по которым мы их раскладываем. Тогда получаем ситуацию, аналогичную задаче 6, только n и k надо поменять местами. В ответе будет Cn+k-1k или, что то же самое, Cn+k-1n-1 .

Задача 7. Сколько способов переплести 12 одинаковых книг в красные, зеленые или синие переплеты?
Решение: Опять нас выручает теория "шаров и перегородок": пусть 12 книг - это "шары", а 3 цвета переплетов - "ящики", по которым мы их раскладываем. Приходим к задаче 6 при n=12, k=3. В ответе будет C142=C1412.

Задача 8. Сколько способов разложить 7 белых и 2 черных шара по 9 различным ящикам?
Решение: Давайте посчитаем отдельно число раскладки белых и черных шаров. Для белых получаем C158=C157 (опять задача 6: n=7, k=9), а для черных C108=C102 (та же задача 6 при n=2, k=9). Так как одна раскладка от другой не зависит, то число вариантов надо перемножить. Ответ: C157*C102.

Задача 9. Общество из n человек выбирает председателя из своего состава. Сколько есть разных распределений голосов за различных кандидатов?
Решение: Пусть n голосов - это "шары", а n кандидатов - "ящики". Получаем ту же всенародно любимую:-) задачу 6 (на самом деле, задача 5 тоже нередко применяется), при k=n. А ответ тогда C2n-1n.

Выборкой объема из множества называется всякая последовательность из элементов множества. Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному). Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением, при этом выборка называется упорядоченной, в противном случае – неупорядоченной.

Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить 5*7*10 =350 Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.

Пример. В столовой предлагают два различных первых блюда а1 и а2, три различных вторых блюда b1, b2, b3 и два вида десерта с1 и с2. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая? Решение. Пусть А – множество первых блюд, В – множество вторых блюд, а С – множество третьих блюд. По условию известно, что

Пример. "Команда космического корабля" Рассмотрим задачу о формировании команды космического корабля. Известно, что возникнет вопрос психологической совместимости. Предположим, надо составить команду из 3-х человек: командира, инженера и врача. На место командира есть четыре кандидата: a1, a2, a3, a4, на место инженера три - b1, b2, b3, на место врача три – c1, c2, c3. Проведенная проверка показала, что a1 совместим с b1, b2, c2,c3; a2 совместим с b1, b2,c1,c2,c3; a3 совместим с b1 и b2, c1, c3; a4 совместим с b1, b2, b3, c2 ; b1 не совместим с c3 ; b2 не совместим с c1 ; b3 не совместим с c2.

Расположение n различных элементов в определенном порядке называется перестановкой без повторений из n элементов. Например, на множестве из трех элементов {a,b,c} возможны следующие перестановки: abc, acb, bca, bac, cab, cba. Число различных перестановок без повторений из элементов обозначается P n и равно n!, т.е.

Таблица вариантов КБСКСБ БСКБКС СБКСКБ Дерево вариантов Правило умножения 1 полоса 3 способа 2 полоса 2 способа 3 полоса 1 способ = 6 Ответ: 6 способов Подсчет перестановок

Сочетанием без повторений из n элементов по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. Число сочетаний без повторений из элементов по равно: Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить бригаду из трех человек для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются, то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений: Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами.

Задача. У одного меломана есть 6 дисков известной поп-группы, у другого 8. Сколькими способами они могут обменяться тремя дисками? Решение: Каждый меломан должен выбрать из своих дисков три, которые он будет менять. Первый может сделать это C63 способами, а второй C83 способами. Так как выбор независим, то все вариантов C63*C83. Посчитаем: C 6 3 = 6*5*4/3! = 6*5*4/6 = 5*4 = 20. C 8 3 = 8*7*6/3! = 8*7*6/6 = 8*7 = 56. Ответ: 20*56=1120.

Рассмотрим выборку с повторениями Пусть имеется выборка из n элементов, причем k элементов из них - одинаковые. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно: - число перестановок с k повторениями на множестве из n элементов Сочетание с повторениями из элементов по - неупорядоченная выборка элементов с возвращением из множества, содержащего элементов: - число различных сочетаний с повторениями из n элементов по k Размещения с повторениями из элементов по - расположение различных шаров по различным ячейкам - число различных размещений с повторениями

Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА? Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых: буква К повторяется 2 раза; буква О повторяется 3 раза; буква Л повторяется 2 раза буква А повторяется 1 раз. Таким образом,

Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида? Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900. Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает комбинаций. Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

ТЕМА: Основные понятия комбинаторики.

Ответьте на вопросы письменно: (20-25 мин)

Что называют факториалом? (примеры вычисления)

Комбинаторика-это…

Что такое соединения? виды соединений?

Решить задачу 1 и задачу 2 методом подбора!

Часто в математике нужно вычислить произведение натуральных чисел по порядку, начиная с 1. Например, 1*2*3*4*5*6*7 и т.д. Чтобы запись была короче используют знак «!»

Произведением всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом числа n и записывается n!(читается как эн факториал)

n!=1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n−2) ⋅ (n−1) ⋅ n

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? Посчитайте в тетради!

2!= … 3!=… 4!=… 5!=… 6!=…

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями .

Различают три вида соединений: размещения , перестановки и сочетания .

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными , а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой .

Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

1) Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из m элементов по n обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

2) Перестановки.

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле:

3) Сочетания.

Определение.

Сочетаниями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

а) судья хоккейного матча и его помощник;

б) «Шесть человек останутся убирать класс!»

в) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Задача 2. Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Задача 4. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Домашнее задание Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики», «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».

Проверь себя!

1 .Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________

б) Соединения из m элементов по n , отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________

в) Соединения из m элементов по n , отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________

2 .Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?

4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?