Линейчатой называют поверхность, которая образуется движением прямой линии (образующей) в пространстве. В зависимости от закона движения образующей прямой выделяют три вида линейчатых поверхностей.

1.5.4.1. Линейчатые поверхности с тремя направляющими образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим a , b и c (кривым или прямым), которые единственным образом определяют движение образующей l (рис. 1.55). Так, выбрав на направляющей a любую точку А , можно будет провести через эту точку бесконечное множество прямолинейных образующих конической поверхности с вершиной в точке А и пересекающих направляющую c . Из рис. 1.55 видно, что через точку А , взятую на направляющей a ,проходит одна и только одна прямолинейная образующая, пересекающая две другие направляющие b и c .

Описанным способом через точки, принадлежащие направляющей a ,можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность.

Так как положение прямолинейных образующих однозначно определяется формой и положением в пространстве направляющих a , b и c , то определитель линейчатой поверхности рассматриваемого вида записывается как:

Ф(a,b,c) – линейчатая поверхность.

Примером линейчатой поверхности с тремя направляющими является однополосный гиперболоид, у которого направляющими служат три произвольно скрещивающиеся прямые a , b и c (рис. 1.56).

Часто линейчатые поверхности задаются меньшим числом направляющих. В этих случаях отсутствие недостающих направляющих дополняют условиями, обеспечивающими заданный характер движения образующей.

1.5.4.2. Для получения линейчатых поверхностей с двумя направляющими задается дополнительное условие сохранения параллельности образующей какой-либо плоскости, называемой плоскостью параллелизма, или сохранения заданного угла наклона образующей относительно какой-либо плоскости или оси вращения (у геликоидов). Такие поверхности называются поверхностями с плоскостью параллелизма. К ним относятся:

- цилиндроид l по двум криволинейным направляющим a и b, Σ (рис. 1.57)

– цилиндроид.

На комплексном чертеже (рис. 1.5)7 с использованием каркаса поверхности построена точка А , которая принадлежит цилиндроиду. Точка А построена по принципу принадлежности линии с , которая в свою очередь принадлежит поверхности цилиндроида Ф :

Обычно для удобства построения образующих линейчатых поверхностей за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций, тогда образующие будут соответствующими линиями уровня;

- коноид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является кривой линией a , а другая – прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ . Определитель поверхности имеет вид:

– коноид.

Если у коноида прямолинейная направляющая b перпендикулярна плоскости параллелизма, то коноид называется прямым . На рис. 1.58 показан прямой коноид с плоскость параллелизма П 1 , у которого образующие являются горизонталями;

- косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей l по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим a и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ . Определитель поверхности имеет вид:

– косая плоскость.

Если направляющие a и b будут не скрещивающиеся прямые, а пересекающиеся или параллельные, то косая плоскость выродится в обыкновенную плоскость, которой принадлежат направляющие a и b .

На рис. 1.59 изображена косая плоскость, направляющими которой служат прямые a и b, а плоскость параллелизма – горизонтальная плоскость проекций П 1 , следовательно, образующие косой плоскости являются горизонталями.

Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме прямолинейных образующих и направляющих, также гиперболу и параболу, эту поверхность еще называют гиперболическим параболоидом . Параболой является горизонтальный очерк косой плоскости, приведенной на рис. 1.59.

1.5.4.3. Различают три разновидности линейчатых поверхностей с одной направляющей:

- коническая поверхность общего видаобразуется движением прямолинейной образующей l по некоторой кривой линии m (направляющей) и имеющей неподвижную точку S (вершину) (рис. 1.60). Определитель поверхности имеет вид:

Ф(m,S) – коническая поверхность;

- цилиндрическая поверхность образуется в результате движения прямолинейной образующей l по некоторой кривой линии m (направляющей) и имеющей постоянное направление s (рис. 1.61). Определитель поверхности имеет вид:

Ф(m,s) – цилиндрическая поверхность.

Если направляющей является ломаная линия, то получаются частные случаи конической и цилиндрической поверхностей – пирамидальная и призматическая поверхности ;

- торс образуется движением прямолинейной образующей l , касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m , называемой ребром возврата . Ребро возврата является направляющей торса, который полностью определяет поверхность (рис. 1.62). В связи с этим определитель поверхности содержит только один элемент:

Ф(m) – торс .

Коническую и цилиндрическую поверхности можно рассматривать как частные случаи поверхности торса, когда ее ребро возврата вырождается в точку (конечную или бесконечно удаленную).

Линейчатые поверхности с одной направляющей относятся к числу развертывающихся поверхностей. Все другие линейчатые кривые поверхности относятся к числу неразвертывающихся , их так же называют косыми .

ВВЕДЕНИЕ

Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Удивительные по форме и прочности поверхности встречаются в природе. Давайте обратим внимание на крыло и туловище птицы, они имеют отработанные природой формы поверхностей, совокупность которых имеет прекрасные аэродинамические характеристики.

Корпуса самолётов, морских судов, автомобилей, оболочки надземных и подземных сооружений - это всё комплексы поверхностей различных весьма сложных законов образования. Исследуя линейчатые поверхности, можно выявить, что они имеют широкое применение в технике, инженерном деле, в большинстве случаев используются при проектировании зданий, промышленных и государственных архитектурных сооружений, дорожных магистралей.

Актуальность обусловлена востребованностью линейчатых винтовых поверхностей в современной архитектуре и технике, а также поиск новых форм винтовых линейчатых поверхностей, применимых для строительства, сочетающих в себе качества, такие как красота, надежность и технологичность.

Объект исследования - образование и конструирование сложных криволинейных поверхностей.

Предмет исследования - формирование составных линейчатых оболочек в архитектуре зданий и сооружений.

Целью данной работы является исследование линейчатых поверхностей, изучение возможностей их использования в архитектуре зданий и сооружений.

В ходе исследований ставятся задачи:

1. Проанализировать теоретические основы линейчатых поверхностей.

2. Сконструировать составную линейчатую поверхность, применимую в архитектуре зданий и сооружений.

3. Выполнить макет разработанной конструкции.

Методы, применяемые при проведении исследования:

Теоретические:

Монографический - аналитическое обобщение и систематизация информации по литературным и другим источникам;

Анализ - разбор информации на каждом этапе выполнения работы;

Синтез - сбор и обобщение информации.

Праксиологические:

Графический - геометрическое моделирование и выполнение графической документации;

Метод макетирования.

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности.

Линейчатые поверхности разделяются на два вида:

1. развертывающиеся поверхности;

2. не развертывающиеся, или косые поверхности.

НЕ РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Не развертывающиеся линейчатые поверхности в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон ее перемещения. Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана). Поверхности с направляющей плоскостью называются косыми цилиндроидами, если обе направляющие являются кривыми линиями; косыми коноидами - если одна из направляющих - прямая линия; дважды косой плоскостью, если направляющие - скрещивающиеся прямые (см Приложение А, рис 1). Поверхности с плоскостью параллелизма соответственно называются прямыми цилиндроидами, прямыми коноидами и косой плоскостью.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по одной или более направляющим. Возьмем в пространстве три кривые линии l .

Пусть прямая движется так, что в любом своем положении она пересекает все три кривые l 1 l 2 , l 3 , тогда при своем движении они описывают линейчатую поверхность (рис. 53).

Выберем на направляющей l 1 точку А. Через нее мы сможем провести бесчисленное множество прямолинейных образующих, пересекающих направляющую l 3 . Этим самым определяется коническая поверхность с вершиной в точке А. В какой - то момент образующие пересекут линию l 2 - это точка В, в которой коническая поверхность пересечет линию l 2 . В зависимости от вида направляющих получаются различные поверхности.

Поверхности с одной направляющей:

1. Коническая - образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой линии m и имеющей неподвижную точку S (рис. 54).

2. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой l (образующей) по некоторой кривой т параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S∆(т,1|| S) (рис. 55).

3. Торсовая поверхность образуется движением прямой l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой т , называемой ребром возврата ∆ (т,l ) (рис.56).

4. Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Если направляющая т ломаная, а все образующие l пересекаются в одной точке, такая поверхность называется пирамидальной (рис. 57); если все образующие параллельны - поверхность называется призматической (рис. 58).

Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами.

(m ), общей точкой пересечения образующих ребер и граней называется пирамидой (рис.59).

Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m) (основанием) и взаимно параллельными ребрами - призма (рис.60).

Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой (рис.61).

Вопросы для самопроверки.

1. Как классифицируются кривые линии?

2. Какие точки кривой относят к характерным?

3. Укажите основные способы задания поверхностей.

4. Что называют каркасом поверхности?

5. Что называют определителем поверхности?

6. Как классифицируются поверхности?

7. Как образуются коническая и цилиндрическая поверхности?

8. Как образуются пирамидальная и призматическая поверхности?

Лекция 8. Поверхности.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)

У этих поверхностей все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой соответственно плоскостью параллелизма.

1. Цилиндроид (l, m, n; П 2), (l // П 2) - поверхность, образованная движением прямой образующей l по двум криволинейным направляющим m и n; все образующие параллельны плоскости параллелизма П 2 (рис. 62).

2. Коноид - поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых прямая, другая - кривая линия (рис.63). Все образующие параллельны некоторой плоскости П 1 ; )

4.Косая плоскость (гиперболический параболоид -гипар) - поверхность образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим - скрещивающимися прямыми; образующие параллельны некоторой плоскости (П 1 ) (рис.64).

∆(m, n, П 1 , l) (m ● n; l // П 1)

Поверхности вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной прямой оси. Образующая может иметь любой вид. При вращении каждая точка образующей совершает движение по окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения (оси поверхности) и с центром на этой оси.

Окружности, по которым перемещаются все точки образующей, называются параллелями; наибольшую параллель называют экватором, наименьшую – горловиной (рис.65).

Если ось поверхности вертикальна, то все параллели проецируются на горизонтальной проекции без искажения и наоборот. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по линиям, называемым меридианами.

Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным и проецируется на эту плоскость проекций очерком поверхности.

Поверхности, образованные вращением прямой линии - рис. 66, а, б, в.

1. Цилиндр вращения: образующая и ось - параллельные прямые ∆ (i, l|| i).

2. Конус вращения: образующая и ось - пересекающиеся в точке S прямые ∆ (i, l∩ i).

3. Однополостный гиперболоид вращения: образующая и ось – скрещивающиеся прямые ∆ (i , l ● i ).

Поверхности, образованные вращением окружности (рис. 67 а, б):

1. Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из диаметров.

2. Тор образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

Если ось вращения не пересекает (образующую) окружность, получается поверхность открытого тора, если пересекает – закрытого или самопересекающегося.

Поверхности, образованные вращением дуги окружности (рис. 68 а, б):

1. Выпуклый тор.

2. Вогнутый тор.

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (рис. 69, а, б, в, г):

1. Эллипсоид вращения.

2. Параболоид вращения

3. Гиперболоид вращения однополостный – образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси:

4. Гиперболоид вращения двуполостной - образуется вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии, которые могут однозначно задать закон перемещения направляющей. Выделим на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии a, b и c и примем их за направляющие (рис. 7.17).

Рис. 7.17. Линейчатая поверхность в общем случае

Изучение группы линейчатых неразвертывающихся поверхностей можно начать с цилиндроидов - поверхностей с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана), поверхностей, образуемых движением прямой, скользящей по двум кривым направляющим, не лежащим в одной плоскости, и остающейся все время параллельной, так называемой, плоскости параллелизма (рис.7.18).

Рис. 7.18. Пример цилиндроида: а - в пространстве; б - на комплексном чертеже

Следующей поверхностью в этой группе является коноид, который представляет собой линейчатую неразвертывающуюся поверхность, которая образуется движением прямой, скользящей по двум направляющим, не лежащим в одной плоскости, и остающейся все время параллельной, так называемой, плоскости параллелизма.

Приэтом нужно знать, что одна из этих направляющих является прямой линией (рис. 7.19).

Рис. 7.19. Пример коноида: а - на комплексном чертеже; б - в пространстве

Если же обе направляющие цилиндроида заменить прямыми линиями (скрещивающимися), то образуется линейчатая неразвертывающаяся поверхность с плоскостью параллелизма - косая плоскость, или линейчатый параболоид, или гиперболический параболоид (рис. 7.20).

Своё название (гиперболический параболоид) линейчатая поверхность получила из-за того, что при пересечении ее соответствующими плоскостями в сечении можно получить параболы и гиперболы

Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).

В первом случае (рис. 7.20, а) поверхность однозначно задается двумя направляющими прямолинейными скрещивающимися линиями d, n и направляющей плоскостью γ, которая заменяет третью направляющую линию. Образующая прямая скользит по двум направляющим и всё время остаётся параллельной плоскости параллелизма γ.

Если плоскости параллелизма перпендикулярны друг другу γ ⊥ π1 , то гиперболический параболоид называется прямым.

На рис. 7.20, б изображён комплексный чертёж косой плоскости. По своему виду эта поверхность напоминает седло.

Рис. 7.20. Параболоид гиперболический:
а - в пространстве; б - на комплексном чертеже

Поверхности с направляющей плоскостью называются косыми цилиндроидами, если обе направляющие являются кривыми линиями; косыми коноидами - если одна из направляющих - прямая линия; дважды косой плоскостью, если направляющие - скрещивающиеся прямые.

Дважды косой цилиндроид, как линейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две пространственные кривые и одна прямая показан на рис. 7.21.

На рис. 7.22. показан дважды косой коноид, образованный перемещением образующей прямой (красная) по трем направляющим, из которых две прямые. Показано построение одной образующей, как результата пересечения вспомогательной плоскости, проходящей через одну из прямолинейных направляющих, с двумя другими направляющими.

Рис. 7.21. Дважды косой цилиндроид

Рис. 7.22. Дважды косой
коноид

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Понятие о линейчатой поверхности

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии . Выделим на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии a , b и c и примем их за направляющие. Покажем, что движение прямолинейной образующей l определится единственным образом (рис.11.1).

Возьмём на направляющей a некоторую точку K и проведём через неё пучок прямых, пересекающих направляющую с . Эти прямые образуют коническую поверхность с вершиной в точке K . Направляющая b будет пересекаться с конической поверхностью в некоторой точке N . Построенная точка N и точка K определят прямую l , пересекающую направляющую c в точке M . Таким образом, каждой точке К направляющей a будет соответствовать единственная образующая. Перемещая точку К вдоль направляющей a , можно получить другие положения образующей прямой, т.е. построить каркас линейчатой поверхности.

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с тремя направляющими подразделяются на:

косой цилиндр с тремя направляющими – все три направляющие кривые линии;

конусоид – две направляющие кривые линии, а третья – прямая;

однополостный гиперболоид – все направляющие прямые линии.

Для построения точки на линейчатой поверхности необходимо воспользоваться вспомогательной линией, в качестве которой используют прямолинейную образующую или произвольную кривую линию.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трёх направляющих существуют и другие способы, которые путём наложения дополнительных ограничений определяют закон движения прямолинейной образующей.