Основные пути построения науки аксиоматический экспериментальный. Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

12.9. Аксиоматический метод Для древних греков объекты математики имели реальное существование в «мире идей». Некоторые свойства этих объектов представлялись умственному взору совершенно неоспоримыми и объявлялись аксиомами, другие - неочевидные - следовало

(греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются...

(греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные (“принципы”) и требующие доказательства (“доказываемые”). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат “Начала” Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие “аксиома”. Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как “полуаксиоматический”) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики “во всех мирах”; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

В.Л. Абушенко

Аксиоматический Метод

Один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без...

Один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. 20 в - как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др, включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)

Аксиоматический Метод

Способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты,...

Способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.

Аксиоматический Метод

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные...

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. – особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др. А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря “Началам” Евклида, появившимся около 330 – 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его “аксиомах и постулатах” все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. “Скрытые” допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.

A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Гёделя теорема).

Сущность аксиоматического метода

Евклид

П.Дирак

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.

Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.

К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.

Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .

Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.

Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .

Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.

Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».

Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».

Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:

1) перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);

2) формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;

3) предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;

4) предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.

1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория

Исторический обзор обоснования геометрии. Геометрия, прежде чем стать аксиоматической теорией, прошла долгий путь эмпирического развития.

Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока (Египет, Китай, Индия) в связи с развитием земледелия, ограниченностью плодородных земель и др. В этих странах геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор отдельных «рецептов-правил» для решения конкретных задач. Уже во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, объем усеченной пирамиды, площадь круга, а вавилоняне знали теорему Пифагора. Заметим, что доказательств не было, а указывались правила для вычислений.

Греческий период развития геометрии начался в VII-VI вв. до н.э. под влиянием египтян. Отцом греческой математики считается знаменитый философ Фалес (640-548 гг. до н.э.). Фалесу, точнее, его математической школе принадлежат доказательства свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. В дальнейшем геометром Древней Греции были получены результаты, охватывающие почти все содержание современного школьного курса геометрии.

Философская школа Пифагора (570-471 гг. до н.э.) открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование пяти типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит (470-370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (410-356 гг. до н.э.) создал геометрическую теорию пропорций (т.е. теорию пропорциональных чисел).

Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед (289-212 гг. до н.э.) открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и других фигур. Он же нашел приближенное значение числа π.

Особая заслуга древнегреческих ученых состоит в том, что они первыми поставили задачу строгого построения геометрических знаний и решили ее в первом приближении. Проблему поставил Платон (428-348 гг. до н.э.). Аристотелю (384-322 гг. до н.э.) – крупнейшему философу, основателю формальной логики – принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе лишь правил логики. Эту задачу пытались решить многие греческие ученые (Гиппократ, Федий).

Евклид (330-275 гг. до н. э.) – крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (в Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное на таком научном уровне, что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «Начала» состоят из 13 книг (глав):

I-VI – планиметрия;

VII-IХ – арифметика в геометрическом изложении;

X – несоизмеримые отрезки;

ХI-ХII – стереометрия.

В «Начала» были включены не все сведения, известные в геометрии. Например, в эти книги не вошли: теория конических сечений, кривые высших порядков.

Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Например, в книге I даны 23 определения. Приведем определения первых четырех понятий:

1 Точка есть то, что не имеет частей.

2 Линия есть длина без ширины.

3 Границы линии суть точки.

Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты и аксиомы. Постулатов у него пять, а аксиом – семь. Вот некоторые из них:

IV И чтобы все прямые углы были равны.

V И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

I Равные порознь третьему равны между собой.

II И если к равным прибавить равные, то получим равные.

VII И совмещающиеся равны.

Евклид не указал, в чем заключается различие между постулатами и аксиомами. До сих пор нет окончательного решения этого вопроса.

Евклид излагает теорию геометрии так, как требовали греческие ученые, особенно Аристотель, т.е. теоремы расположены так, что каждая следующая доказывается только на основе предыдущих. Иначе говоря, Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. В этом и заключается историческая заслуга Евклида перед наукой.

«Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. Эти книги переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий.

Недостатки системы Евклида. С точки зрения современной математики изложение «Начал» следует признать несовершенным. Назовем основные недостатки этой системы:

1) многие понятия включают такие, которые в свою очередь должны быть определены (например, в определениях 1-4 главы 1 используются понятия ширины, длины, границы, которые также должны быть определены);

2) список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. Например, в этом списке нет аксиом порядка, без которых нельзя доказать многие теоремы геометрии; заметим, что на это обстоятельство обратил внимание Гаусс. В указанном списке отсутствуют также определения понятия движения (совмещения) и свойств движения, т.е. аксиом движения. В списке не хватает также аксиомы Архимеда (одной из двух аксиом непрерывности), которая играет важную роль в теории измерений длин отрезков, площадей фигур и объектов тел. Заметим, что на это обратил внимание современник Евклида Архимед;

3) постулат IV явно лишний, его можно доказать как теорему. Особо отметим пятый постулат. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказаны без ссылок на пятый постулат. Попытка минимизировать список аксиом и постулатов, в частности доказать постулат V как теорему, проводилась со времен самого Евклида. Прокл (V в. н. э.), Омар Хайям (1048-1123 гг.), Валлис (XVII в.), Саккери и Ламберт (XVIII в.), Лежандр (1752-1833 гг.) также пытались доказать постулат V как теорему. Их доказательства были ошибочными, но они привели к положительным результатам – к рождению еще двух геометрий (Римана и Лобачевского).

Неевклидовы геометрические системы. Н.Лобачевский (1792-1856 гг.), который открыл новую геометрию – геометрию Лобачевского, также начал с попытки доказательства постулата V.

Николай Иванович развил свою систему до объема «Начал» в надежде получить противоречие. Не получил, но сделал в 1826 г. правильный вывод: существует геометрия, отличная от геометрии Евклида.

На первый взгляд этот вывод кажется недостаточно обоснованным: может быть, развивая его дальше, можно прийти к противоречию. Но этот же вопрос относится и к геометрии Евклида. Иначе говоря, обе геометрии равноправны перед вопросом о логической непротиворечивости. Дальнейшие исследования показали, что из непротиворечивости одной следует непротиворечивость другой геометрии, т.е. имеет место равноправие логических систем.

Лобачевский был первым, но не единственным, кто сделал вывод о существовании другой геометрии. Гаусс (1777-1855 гг.) высказал эту идею еще в 1816 г. в частных письмах, но в официальных публикациях заявление не сделал.

Три года спустя после публикации результатов Лобачевского (в 1829 г.), т.е. в 1832 г., вышла работа венгра Я. Бойяи (1802-1860 гг.), который в 1823 г. пришел к выводу о существовании другой геометрии, но опубликовал позже и в менее развитом, чем у Лобачевского, виде. Поэтому справедливо, что эта геометрия носит имя Лобачевского.

Общему признанию геометрии Лобачевского в значительной степени способствовали работы геометров после Лобачевского. В 1868 г. итальянский математик Э.Бельтрами (1825-1900 гг.) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны (так называемая псевдосфера) имеет место геометрия Лобачевского. Уязвимым местом доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, основанного на интерпретации Бельтрами, было то, что, как показал Д.Гильберт (1862-1943 гг.), в евклидовом пространстве не существует полной поверхности постоянной отрицательной кривизны без особенностей. Поэтому на поверхности постоянной отрицательной кривизны можно интерпретировать только часть плоской геометрии Лобачевского. Этот недостаток был устранен А.Пуанкаре (1854-1912 гг.) и Ф.Клейном (1849-1925 гг.).

Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было вместе с тем и доказательством независимости пятого постулата от остальных. Действительно, в случае зависимости геометрия Лобачевского была бы противоречивой, так как она содержала бы два взаимно исключающих утверждения.

Дальнейшие исследования евклидовой геометрии показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899 г. Гильберт.

Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп:

Аксиомы связи (принадлежности);

Аксиомы порядка;

Аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения);

Аксиомы непрерывности;

Аксиома параллельности.

Эти аксиомы (всего их 20) относятся к объектам трех родов: точек, прямых, плоскостей, а также к трем отношениям между ними: «принадлежит», «лежит между», «конгруэнтен». Конкретный смысл точек, прямых, плоскостей и отношений не указан. Они косвенно определены через аксиомы. Благодаря этому построенная на основе аксиом Гильберта геометрия допускает различные конкретные реализации.

Геометрическая система, построенная на перечисленных аксиомах, называется евклидовой геометрией, так как совпадает с геометрией, изложенной Евклидом в «Началах».

Геометрические системы, отличные от евклидовой, называются неевклидовыми геометриями. Согласно общей теории относительности, в пространстве ни та, ни другая не являются абсолютно точными, однако в малых масштабах (земные масштабы являются также достаточно «малыми») они вполне пригодны для описания пространства. Причиной того, что на практике применяются евклидовы формулы, является их простота.

Гильберт всесторонне исследовал свою систему аксиом, показал, что она непротиворечива, если не противоречива арифметика (т.е. на самом деле доказана содержательная или так называемая внешняя непротиворечивость). Он завершил многовековые исследования геометров по обоснованию геометрии. Эта работа была высоко оценена и в 1903 г. отмечена премией имени Лобачевского.

В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиомами Гильберта: учебники по геометрии построены на различных модификациях этой системы аксиом.

В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая А.Эйнштейном и другими учеными в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.

способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.

Отличное определение

Неполное определение ↓

Аксиоматический метод

от греч. axioma – принятое положение) – способ построения научной теории, в качестве ее основы априори принимающий положения, из которых все остальные утверждения теории выводятся логическим путем. Полная аксиоматизация теорий невозможна (К.Гедель, 1931).

Отличное определение

Неполное определение ↓

Аксиоматический метод

от греч. axi?ma - принятое положение) - способ построения теории, основанный на принятых (или доказанных ранее) исходных положениях (аксиомах и постулатах), из которых логическим путем, посредством доказательств выводятся остальные знания. Философскую интерпретацию аксиоматический метод как применение дедукции получил в учении Р. Декарта. В той или иной степени аксиоматический метод был использован в различных науках - в философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), биологии (Дж. Вуджер) и др. Однако основной сферой его применения остаются математика и символическая логика, а также ряд областей физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (аксиомы), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем посредством доказательства. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Этот метод начали использовать при построении геометрии в Древней Греции. Наиболее успешно он реализуется для организации математического знания, где огромный вес в познании принадлежит конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках этот метод занимает подчиненное положение по сравнению с другими когнитивными методами.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически следовали бы все остальные истинные высказывания (теоремы и единичные истинные высказывания). Идеал аксиоматического построения научного знания, начало реализации которого было положено построением геометрии в Древней Греции (VII - IV вв. до н. э.), оказался наиболее подходящим для организации систем математического знания, где огромный вес в познании принадлежит не только эмпирически-абстрагирующей деятельности рассудка, но и конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках аксиоматический метод организации знания занимает подчиненное положение по сравнению с другими формами когнитивной организации. (См. доказательство, дедукция, теория, метод).

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения науч. теории, при к-ром в ее основе лежат нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться логич. путем, посредством доказательства. Назначение А.м. состоит в ограничении произвола при принятии науч. суждений в кач-ве истин данной теории. Построение науки на основе А.м. обычно называется дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А.м., применяются во мн. науках. Но несмотря на попытки систематич. применения А.м. в философии (Спиноза), социологии (Вико), политэкономии (Родбертус-Ягецов), биологии (Вуджер) и др. науках, гл. обл. его приложения остаются математика и символич. логика, а также нек-рые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.). Одним из первых примеров применения А.м. явл. «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.). Б.Н.Махутов

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. - особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.

А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря "Началам" Евклида, появившимся около 330 - 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его "аксиомах и постулатах" все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. "Скрытые" допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.

A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гедель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Геделя теорема).

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения науч. теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путем, посредством доказательств. Построение науки на основе А. м. обычно наз. дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во мн. науках, однако гл. область его приложения - математика, логика, а также нек-рые разделы физики.

Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., к-рая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта - полная формализация языка науки, при к-рой ее суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при нек-рой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) - это нек-рая последовательность формул, каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам - непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Геделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. 20 в - как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Геделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др, включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные ("принципы") и требующие доказательства ("доказываемые"). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат "Начала" Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие "аксиома". Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как "полуаксиоматический") и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики "во всех мирах"; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. и. постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояяя, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /»-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» - все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д. Гильберта-новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в. К концу того же века Дж. Пеано дал аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс -логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.

Отличное определение

Неполное определение ↓

аксиоматический метод

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы и постулата упоминаются уже Аристотелем. У древних греков аксиомой называлось ясно сформулированное положение, настолько самоочевидное, что его не доказывают и кладут в основу других доказательств. Постулат - утверждение о возможности выполнить некоторое построение. Поэтому «Целое больше части» - аксиома, а «Из данной точки данным радиусом можно описать окружность» - постулат. В дальнейшем понятие аксиомы поглотило понятие постулата, поскольку не были осознаны понятия дескриптивности и конструктивности (аксиома описывает, постулат строит). Почти все аксиомы эллинской геометрии были сформулированы настолько четко и удачно, что не вызывали сомнений. Однако одно из положений Евклида, а именно пятый постулат, эквивалентный утверждению «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну», с самого начала вызывало сомнения. Более того, до Евклида эллины исследовали все три возможные гипотезы: 1) нельзя провести ни одной параллельной прямой, 2) можно провести больше одной и 3) можно провести лишь одну параллельную прямую; но Евклид осознанно выбрал одну формулировку, поскольку лишь в таком случае существовал квадрат и понятие подобия фигур. В дальнейшем наличие альтернатив было забыто, и пятый постулат неоднократно пытались доказать. Вплоть до 17 в. А. м. мало развивался. Евклид и Архимед сформулировали аксиомы статики и оптики, а в дальнейшем, в связи с общей тенденцией к комментаторству и канонизации, исследования перелагали, либо, в лучшем случае, анализировали старые системы аксиом. Неудивительно, что новая математика начала с отказа от А. м., и анализ бесконечно малых развивался как неформализованная теория. Была понята сомнительность аксиомы «Целое меньше части», поскольку Николай Кузанский и вслед за ним Галилей показали, что для бесконечных совокупностей целое может быть изоморфно части. Но это открытие было недооценено, потому что слишком хорошо согласовывалось с христианской религией (с концепциями различных ипостасей бесконечного Бога). Далее, неудача Спинозы в попытках вывести геометрическим, чисто рассудочным методом систему этики и метафизики показала неприменимость существующего А. м. к гуманитарным понятиям. Возвращение к А. м. произошло в 19 в. Оно базировалось на двух открытиях - неевклидовой геометрии (переоткрывшей то, что было известно до Евклида, но потом напрочь забыто), и абстрактной алгебре. В неевклидовой геометрии (Г а у с с, Лобачевский, Бойяи) было показано, что одно из отрицаний пятого постулата - а именно то, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной - совместимо с остальными аксиомами геометрии. Таким образом, те аксиомы и постулаты, которые создавались, чтобы описать «единственно истинное» пространство, на самом деле описывают целый класс различных пространств. В абстрактной алгебре появились новые числовые системы, причем сразу целые их семейства (напр., р-адические числа) и переменные структуры типа групп. Свойства переменных структур естественно было описывать при помощи аксиом, но теперь уже никто не настаивал на их самоочевидности, а рассматривали их просто как способ описания класса математических объектов. Напр., полугруппа определяется единственной аксиомой - ассоциативности умножения: а° (Ь о с) = (а о Ь) о С. В самой геометрии наступил черед критического переосмысления классических аксиом. Э. Паш показал, что Евклид не усмотрел еще один постулат, столь же интуитивно очевидный, как и описанные им: «Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересечет и другую». Далее было показано, что один из признаков равенства треугольников нужно принять в качестве аксиомы, иначе теряется строгость доказательств, поскольку из остальных аксиом не следует возможность перемещения фигур. Была отброшена аксиома «Целое меньше части», как не имеющая смысла с точки зрения новой математики, и заменена на несколько положений о соотношении мер фигур. И, наконец, Д. Гильберт сформулировал новую аксиоматику геометрии, базирующуюся на высших достижениях математики 19 в. В эллинские времена и позже понятие числа не описывалось аксиоматически. Только в конце 19 в. Дж. Пеано (Италия) дал аксиоматику натуральных чисел. Аксиоматики Пеано и Гильберта содержат по одному принципу высшего порядка, говорящему не о фиксированных понятиях, а о произвольных понятиях либо совокупностях. Напр., в арифметике - это принцип математической индукции. Без принципов высших порядков однозначное описание стандартных математических структур невозможно. А. м. был использован для спасения теории множеств после нахождения связанных с нею парадоксов. Спасение само по себе производилось не лучшим способом - латанием парадигмы. Те из принципов теории множеств, которые казались не приводящими к парадоксам и обеспечивали необходимые для математики построения, были приняты в качестве аксиом. Но при этом А. м. был обобщен на логику. Д. Гильберт явно сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс - логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. Современный А. м. отличается от традиционного тем, что явно задаются не только аксиомы, но и язык, а в логике - еще и правила вывода описываемой теории либо системы. Пересмотренный и усиленный А. м. стал мощным оружием в таких новых областях знания, как когнитивная наука и математическая лингвистика. Он позволяет низводить семантические проблемы на уровень синтаксических и тем самым помогать их решению. В последние десятилетия по мере развития теории моделей А. м. стал в обязательном порядке дополняться теоретико-модельным. Формулируя аксиоматическую систему, нужно описать и совокупность ее моделей. Минимально необходимым обоснованием системы аксиом служит ее корректность и полнота на заданном классе моделей. Но для применений недостаточно такого формального обоснования - нужно также показать содержательный смысл построенной системы и ее выразительные возможности. Основным математическим ограничением А. м. служит то, что логика высших порядков неформализуема и неполна, а без нее описать стандартные математические структуры нельзя. Поэтому в тех областях, где есть конкретные числовые оценки, А. м. не может быть применен к полному математическому языку. В таких областях возможна лишь неполная и непоследовательная, так называемая частичная либо содержательная, аксиоматизация. Неформализуемость понятий сама по себе, как ни странно, не препятствует применению А. м. к данным понятиям. Все равно при работе в фиксированной обстановке есть смысл переходить к гораздо более эффективным формальным моделям. В данном случае положительной чертой формализмов часто может являться их несоответствие реальной ситуации. Формализмы не могут полностью соответствовать содержанию понятий, но если эти несоответствия спрятаны, то формализмами часто продолжают пользоваться и после того, как обстановка перестала быть подходящей для их применения, и даже в ситуации, с самого начала не подходящей для их использования. Подобные опасности существуют и для частичных формализации. Я Н. Непейвода

Отличное определение

Неполное определение ↓

Муниципальное образовательное учреждение.

Вознесенская средне образовательная школа.

Реферат по математике

на тему «Аксиоматика и аксиоматический метод»

ученика 7 класса Каера Евгения Викторовича.

Руководитель Пузикова Н. В.

с. Вознесенка, 2007 г.

изучение аксиоматического метода и его применений в различных областях знаний.

· Выяснить, что такое аксиоматика.

· Рассмотреть применения аксиоматического метода в геометрии

· Научиться применять аксиоматический метод.

1. Введение. Что такое аксиоматика.

2. Аксиоматический метод - важнейший научный метод.

3. Аксиоматический метод в геометрии.

4. Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.

6. Литература.

1. Введение. Что такое аксиоматика.

Аксиома-это некоторые утверждения о свойствах вещей, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых далее доказываются теоремы и, вообще, строится вся теория.

Аксиоматика – система аксиом той или иной науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. аксиоматика числового поля-9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др.

Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом.

2. Аксиоматический метод – важнейший научный метод

Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство правлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строится на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения и в естествознании.

Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области знаний заключается в следующем:

1. Перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;

2. Указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;

3. С помощью определений вводятся дальнейшие понятия;

4. Исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы.

Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.

Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.

3. Аксиоматический метод в геометрии

При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первые основные понятия, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.

Для примера рассмотрим аксиому параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

4.Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.

Чтобы объяснить подробнее, как применяется аксиоматический метод, приведем пример. Допустим, несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно четыре партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами –по жребию).Чтобы составить расписание турнира, нужно сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:

Аксиома 1. Число игроков нечетно.

Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях .

Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока .

Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.

Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.

Теорема 1.Число игроков не меньше пяти .

Доказательство. Так как нуль- четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в четырех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В,С,Д,Е - игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В,С,Д,Е различны (если бы, например, было В=С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С).Итак, мы нашли уже пятерых игроков: А,В,С,Д,Е. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.

Теорема.2. Число всех выступлений игроков четно .

q- некоторая партия, введем новое понятие - (q,А)- выступление игрока.

Доказательство. Каждая партия дает два выступления игроков (q,А),(q,В),(по аксиоме 3), число всех выступлений 2n, где n число игроков (А 4). Следовательно, число всех выступлений игроков кратно 2, т.е. четно.

Теорема3.Число выигрышей в турнире не превышает число игроков.

Доказательство. Пусть п - число игроков, тогда 2п - число выступлений игроков (А), п - число сыгранных партий(А3). Рассмотрим два случая:

1. Во всех партиях были победитель и проигравший. Тогда число выигрышей будет равно числу партий, т.е. п.

2. Некоторые партии закончились вничью, пусть таких партий будет к. Тогда в оставшихся п - к партиях был выявлен победитель, т.е. число выигрышей не превышает число партий. Теорема доказана.

Прочитав литературу, я узнал, что такое аксиома, что такое аксиоматический метод и, как он применяется в геометрии. Изучив аксиоматический метод я применил его к исследованию шахматного турнира.

Литература.

Энциклопедический словарь юного математика

/Сост. Э- 68 А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.

Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учереждений /Л.С. Атанасян и др. Просвещение, 2004.