Равновесие тела под действием сил. Условия равновесия тел

Определение

Равновесием тела называют такое состояние, когда любое ускорение тела равняется нулю, то есть все действия на тело сил и моментов сил уравновешены. При этом тело может:

• находиться в состоянии спокойствия;
• двигаться равномерно и прямолинейно;
• равномерно вращаться вокруг оси, которая проходит через центр его тяжести.

Условия равновесия тела

Если тело находится в равновесии, то одновременно выполняются два условия.

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулевому вектору : $\sum_n{{\overrightarrow{F}}_n}=\overrightarrow{0}$
2. Алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum_n{M_n}=0$

Два условия равновесия являются необходимыми, но не являются достаточными. Приведем пример. Рассмотрим равномерно катящееся без проскальзывания колесо по горизонтальной поверхности. Оба условия равновесия выполняются, однако тело движется.

Рассмотрим случай, когда тело не вращается. Для того, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось равнялась нулю, то есть равнодействующая сил. Тогда тело или находится в спокойствии, или двигается равномерно и прямолинейно.

Тело, которое имеет ось вращения, будет находиться в равновесном состоянии, если выполняется правило моментов сил: сумма моментов сил, которые вращают тело по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, которые вращают его против часовой стрелки.

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, нужно прикладывать силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем же плечо силы и соответственно уменьшая значение силы. Примеры тел, которые имеют ось вращения, : рычаг, двери, блоки, коловорот и тому подобное.

Три вида равновесия тел, которые имеют точку опоры

1. стойкое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее ближайшее положение и оставлено в спокойствии, вернется в это положение;
2. неустойчивое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее положение и оставлено в спокойствии, будет еще больше отклоняться от этого положения;
3. безразличное равновесие - если тело, будучи выведенным в соседнее положение и оставлено в спокойствии, останется в новом своем положении.

Равновесие тела с закрепленной осью вращения

1. стойким, если в положении равновесия центр тяжести С занимает самое низкое положение из всех возможных ближних положений, а его потенциальная энергия будет иметь наименьшее значение из всех возможных значений в соседних положениях;
2. неустойчивым, если центр тяжести С занимает наивысший из всех ближних положений, а потенциальная энергия имеет наибольшее значение;
3. безразличным, если центр тяжести тела С во всех ближних возможных положениях находится на одном уровне, а потенциальная энергия при переходе тела, не изменяется.

Задача 1

Тело A массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок B (рисунок 1, а). Какой груз F можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела A? Коэффициент трения f = 0,4; трением на блоке пренебречь.

Определим вес тела ~A: ~G = mg = 8$\cdot $9,81 = 78,5 Н.

Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G и противоположно направленная реакция опоры RA (рис. 1, б).

Если же приложить некоторую силу F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция RA, уравновешивающая силы G и F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F не превысит максимального значения силы трения Rf max, соответствующей предельному значению угла ${\mathbf \varphi }$o(рис. 1, в).

Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max и Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 1, г). Спроецировав эту систему сил на оси x и y, получим два уравнения равновесия:

${\mathbf \Sigma }Fkx = 0, F - Rf max = 0$;

${\mathbf \Sigma }Fky = 0, Rn - G = 0$.

Решаем полученную систему уравнений: F = Rf max, но Rf max = f$\cdot $ Rn, а Rn = G, поэтому F = f$\cdot $ G = 0,4$\cdot $ 78,5 = 31,4 Н; m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.

Ответ: Масса груза т = 3,2 кг

Задача 2

Система тел, изображённая на рис.2, находится в состоянии равновесия. Масса груза тг=6 кг. Угол между векторами $\widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}=60{}^\circ $. $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F$. Найти массу гирь.

Равнодействующая сил ${\overrightarrow{F}}_1и\ {\overrightarrow{F}}_2$ равна по модулю весу груза и противоположна ему по направлению: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=\ -m\overrightarrow{g}$. По теореме косинусов, ${\left|\overrightarrow{R}\right|}^2={\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|{cos \widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}\ }$.

Отсюда ${\left(mg\right)}^2=$; $F=\frac{mg}{\sqrt{2\left(1+{cos 60{}^\circ \ }\right)}}$;

Поскольку блоки подвижные, то $m_г=\frac{2F}{g}=\frac{2m}{\sqrt{2\left(1+\frac{1}{2}\right)}}=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}}=6,93\ кг\ $

Ответ: масса каждой из гирь равна 6,93 кг

Тело находится в состоянии покоя (или движется равномерно и прямолинейно), если векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Говорят, что силы уравновешивают друг друга. Когда мы имеем дело с телом определенной геометрической формы, при вычислении равнодействующей силы можно все силы прикладывать к центру масс тела.

Условие равновесия тел

Чтобы тело, которое не вращается, находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующий на него, была равна нулю.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .

На рисунке выше изображено равновесие твердого тела. Брусок находится в состоянии равновесия под действием трех действующих не него сил. Линии действия сил F 1 → и F 2 → пересекаются в точке O . Точка приложения силы тяжести - центр масс тела C . Данные точки лежат на одной прямой, и при вычислении равнодействующей силы F 1 → , F 2 → и m g → приводятся к точке C .

Условия равенства нулю равнодействующей всех сил недостаточно, если тело может вращаться вокруг некоторой оси.

Плечом силы d называется длина перпендикуляра, проведенного от линии действия силы к точке ее приложения. Момент силы M - произведение плеча силы на ее модуль.

Момент силы стремится повернуть тело вокруг оси. Те моменты, которые поворачивают тело против часовой стрелки, считаются положительными. Единица измерения момента силы в международной системе CИ - 1 Н ь ю т о н м е т р.

Определение. Правило моментов

Если алгебраическая сумма всех моментов, приложенных к телу относительно неподвижной оси вращения, равна нулю, то тело находится в состоянии равновесия.

M 1 + M 2 + . . + M n = 0

Важно!

В общем случае для равновесия тел необходимо выполнение двух условий: равенство нулю равнодействующей силы и соблюдение правила моментов.

В механике есть разные виды равновесия. Так, различают устойчивое и неустойчивое, а также безразличное равновесие.

Типичный пример безразличного равновесия - катящееся колесо (или шар), которое, если остановить его в любой точке, окажется в состоянии равновесия.

Устойчивое равновесие - такое равновесие тела, когда при его малых отклонениях возникают силы или моменты сил, которые стремятся вернуть тело в равновесное состояние.

Неустойчивое равновесие - состояние равновесия, при малом отклонении от которого силы и моменты сил стремятся вывести тело из равновесия еще больше.

На рисунке выше положение шара (1) - безразличное равновесие, (2) - неустойчивое равновесие, (3) - устойчивое равновесие.

Тело с неподвижной осью вращения может находится в любом из описанных положений равновесия. Если ось вращения проходит через центр масс, возникает безразличное равновесие. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс располагается на вертикальной прямой, которая проходит через ось вращения. Когда центр масс находится ниже оси вращения, равновесие является устойчивым. Иначе - наоборот.

Особый случай равновесия - равновесие тела на опоре. При этом упругая сила распределяется по всему основанию тела, а не проходит через одну точку. Тело покоится в равновесии, когда вертикальная линия, проведенная через центр масс, пересекает площадь опоры. Иначе, если линия из центра масс не попадает в контур, образованный линиями, соединяющими точки опоры, тело опрокидывается.

Пример равновесия тела на опоре - знаменитая Пизанская башня. По легенде с нее сбрасывал шары Галилео Галилей, когда проводил свои опыты по изучению свободного падения тел.

Линия, проведенная из центра масс башни пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Лабораторная работа № 6 «Изучение равновесия тел под действием нескольких сил».

Цель работы: установить соотношение между моментами сил, приложенных к плечам рычага при его равновесии. Для этого к одному из плеч рычага подвешивают один или несколько грузов, а к другому прикрепляют динамометр (рис. 179).

С помощью этого динамометра измеряют модуль силы F, которую необходимо приложить для того, чтобы рычаг находился в равновесии. Затем с помощью того же динамометра измеряют модуль веса грузов Р. Длины плеч рычага измеряют с помощью линейки. После этого определяют абсолютные значения моментов М 1 и М 2 сил Р и F:

Вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать, сравнив с единицей

отношение:

Средства измерения:

1) линейка; 2) динамометр.

Материалы: 1) штатив с муфтой; 2) рычаг; 3) набор грузов.

Порядок выполнения работы

1. Установите рычаг на штатив и уравновесьте его в горизонтальном положении с помощью расположенных на его концах передвижных гаек.

2. Подвесьте в некоторой точке одного из плеч рычага груз.

3. Прикрепите к другому плечу рычага динамометр и определите силу, которую необходимо прило

жить к рычагу для того, чтобы он находился в равновесии.

4. Измерьте с помощью линейки длины плеч рычага.

5. С помощью динамометра определите вес груза Р.

6. Найдите абсолютные значения моментов сил Р и F

7. Найденные величины занесите в таблицу:

с единицей и сделайте вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов.

Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.

Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычаг). На него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю меду собой. Абсолютные значения моментов сил F и P определим соответственно:

Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать сравнив с единицей отношение:

Средства измерения: линейка (Δl = ±0,0005 м), динамометр (ΔF = ±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной (0,1±0,002) кг.

Выполнение работы

Вычисления:

Оценим погрешности.

Тема: Изучение равновесия тел под действием нескольких сил.

Цель работы: состоит в проверке утверждения о том, что тело, имеющее закрепленную ось вращения, находится в равновесии, если сумма моментов сил, стремящихся вращать тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, стремящихся вращать его против часовой стрелки.

Оборудование:

• штатив с муфтой;
• рычаг;
• набор грузов;
• динамометр;
• линейка;
• крючок.

Моментом силы называют произведение ее модуля на плечо силы.

Указания к работе

1. Подготовьте таблицу для записи результатов измерений и вычислений:

2. Закрепите муфту на стержне штатива. Вставьте ось в центральное отверстие рычага и заверните её в торцевую часть муфты. Рычаг должен располагаться на высоте около 40 см от поверхности стола (это необходимо для того, чтобы динамометр не упирался в стол). При необходимости уравновесьте рычаг ползунками.

3. Подвесьте к динамометру два груза, определите их суммарный вес Р и занесите результат в таблицу.

4. Подвесьте эти грузы к четвёртому отверстию слева от оси рычага.

5. Прикрепите динамометр ко второму отверстию справа от оси, как показано на рисунке, и, потянув за него вниз, верните рычаг в исходное положение.

6. По показанию динамометра определите величину силы F , которую необходимо было приложить к рычагу, чтобы вернуть его в равновесие.

7. Измерьте линейкой плечи сил, приложенных к рычагу со стороны грузов и динамометра l 1 и l 2 .

8. Повторите опыт 3-4 раза, меняя всякий раз количество грузов, места их подвеса и место прикрепления динамометра. В конце каждого опыта, когда рычаг будет уравновешен, заносите данные о силах и их плечах в таблицу.

9. Вычислите величины моментов сил М 1 и М 2 .

10. Сравните величины моментов сил, приложенных к рычагу против и по часовой стрелке в каждом опыте, и сделайте вывод о справедливости утверждения, которое необходимо было проверить в работе.

При конструировании различных технических устройств, проектировании инженерных сооружений приходится решать задачи о равновесии тел, на которые действуют силы, расположенные в одной плоскости. Для решения такого класса задач наряду с умением определять проекции сил на координатные оси, необходимо также научиться находить моменты сил относительно некоторых точек. Поскольку все силы расположены в одной плоскости, можно ограничиться понятием алгебраического момента силы относительно некоторой точки. Здесь же встречается понятие опарах сил.

Произвольной плоской системой сил называют совокупность сил, расположенных в одной плоскости и действующих в различных направлениях.

Алгебраическим моментом силы относительно некоторой точки называют алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на плечо силы относительно данной точки, взятую с соответствующим знаком. Обозначение имеет вид.

Плечом силы относительно некоторой точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. Другими словами, это длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Знак позволяет сравнивать вращательное действие различных сил по отношению к выбранной точке. Принято ставить знак «плюс», если сила стремиться повернуть тело относительно выбранной точки против хода стрелки часов и знак «минус» – в противном случае.

Приведем примеры определения алгебраических моментов силы относительно точки (рис. 3.1). Алгебраическими моментами сил,и, приложенных в точках 1, 2 и 3 относительно точкиО , будут:

;
;
.

Из определения также следует, что, если линия действия силы проходит через заданную точку, то алгебраический момент силы относительно этой точки равен нулю.

Парой сил называют систему двух равных по величине и противоположно направленных сил, не лежащих на одной прямой. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называют плечом пары. Из определения следует, что сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. При решении задач на равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил удобно пользоваться понятием алгебраического момента пары сил. Алгебраическим моментом пары сил называют величину, равную произведению модуля одной из сил пары на плечо пары, взятую со знаком «плюс», если пара стремится вращать тело против хода стрелки часов, и со знаком «минус» – в противном случае. Выражения для алгебраических моментов пар сил, приведенных на рис. 3.2 имеют вид:

Пары сил, действующие на абсолютно твердое тело, обладают рядом важных свойств:

1) сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки в плоскости действия сил равна алгебраическому моменту этой пары сил (не зависит от выбора точки на плоскости);

2) пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые алгебраические моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое воздействие. Из этого следует, что пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любую область тела, поворачивать как угодно в этой плоскости, менять одновременно модули сил пары и плечо пары так, чтобы величина алгебраического момента пары оставалась неизменной;

3) несколько пар сил, лежащих в одной плоскости, эквивалентны одной паре, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов этих пар.

Перечисленные свойства позволяют изображать пары сил дуговыми стрелками, указывающими направление действия, и задавать при этом численные значения их алгебраических моментов (см. рис. 3.2). Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо), произвольную систему сил можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, равной главному вектору системы сил, и одной пары, векторный момент которой равенглавному моменту системы сил относительно некоторой точки – центра приведения. Напомним, что главным вектором системы сил называют геометрическую сумму сил системы, а главным моментом системы сил относительно некоторой точки – геометрическую сумму моментов сил системы относительно этой точки. Поскольку для системы сил, расположенных в одной плоскости, векторные моменты сил относительно любой точки в этой плоскости являются коллинеарными векторами, то главный момент системы сил равен сумме алгебраических моментов сил относительно этой точки. С другой стороны, главный вектор плоской системы сил перпендикулярен плоскости, в которой расположены силы и, следовательно, имеет только не равные нулю проекции на оси координат, расположенные в плоскости действия сил. Условия равновесия – равенства нулю главного вектора и главного момента – произвольной плоской системы сил поэтому могут быть записаны в виде:

(3.1)

где n –количество сил системы;О – центр приведения (в дальнейшем индексы суммирования будем опускать, предполагая, что суммирование производится по всем силам системы);x иy – оси декартовой системы координат, расположенные в плоскости действия сил системы. Условия (3.1) представляют собой аналитические условия равновесия, записанные в первой (основной) форме. Существуют и другие формы условий равновесия, однако при этом накладываются некоторые ограничения на выбор координатных осей или центра приведения. Например, можно использовать и такие условия:

(3.2)

где A иB – любые точки, лежащие в плоскости действия сил, а осьx – ось, не перпендикулярная отрезку
,

или такие условия:

где A ,B иС – любые точки, не лежащие на одной прямой.

Если в условиях равновесия часть сил неизвестна и из них должна быть найдена, тогда эти условия становятся системой линейных алгебраических уравнений. Разрешимость такой системы изучают в линейной алгебре. Следует отметить, что для получения единственного решения число неизвестных сил должно быть равно числу уравнений, а определитель матрицы левой части системы – не равен нулю. Для получения более простых уравнений, с точки зрения решения системы, в качестве центра приведения целесообразно принимать точку пересечения линий действия наибольшего числа неизвестных сил, а оси координат выбирать так, чтобы бỏльшая часть сил была либо параллельна, либо перпендикулярна этим осям. Естественно, что если в плоской системе сил все силы параллельны, то, выбрав одну из осей, параллельной силам, получим, что сумма проекций всех сил на другую ось, перпендикулярную первой, тождественно равна нулю. Таким образом, из трех уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил остаются только два. Если же линии действия сил пересекаются в одной точке, то, выбрав ее в качестве центра приведения, получим, что сумма алгебраических моментов всех сил относительно этой точки тождественно равна нулю и для решения задачи остается система двух уравнений. Запишем систему (3.1) в виде:

для 1-го случая

(2.4)

где ось x перпендикулярна силам;

для 2-го случая

(2.5)

Во многих задачах, когда вычисление плеча силы относительно точки затруднено, удобно использовать теорему Вариньона: “Если некоторая система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки” . Теперь силу можно разложить по линии ее действия на две составляющие и найти сумму моментов этих составляющих относительно выбранной точки. Так, сила, показанная на рис. 3.3, может быть представлена двумя составляющимии
, причем
, а модули этих составляющих равны, соответственно,
и
. На основании приведенной теоремы момент силыотносительно, например, точкиО находят по формуле

гдеa иb , соответственно, плечи сил
иотносительно этой точки.

Часто встречаются задачи, когда на тело действует нагрузка, равномерно распределенная по какой-либо прямой (рис. 3.4.). Ее задаютинтенсивностью q , имеющей размерность Н/м и выражающей силу, приходящуюся на единицу длины участка, на котором эта нагрузка действует. Равномерно распределенную нагрузку можно заменить равнодействующейQ , равной произведению интенсивности на длину участка и приложенной посредине этого участка, т.е.
. Если, например, необходимо определить значение алгебраического момента равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 3.4.) относительно точкиO , то используют формулу

.

Для проверки правильности решения задачи записывают дополнительное уравнение, выражающее сумму моментов всех сил относительно любой точки, не использованной при решении задачи. После подстановки в это уравнение найденных значений реакций связей сумма должна быть равной нулю. Наличие погрешностей в вычислениях приводит к тому, что в действительности равенство нулю выполняется неточно. Оценить полученный результат можно с помощью вычисления относительной погрешности, которую определяют, например, по формуле

,

где – модуль полученной суммы;
– сумма положительных слагаемых. Относительная погрешность зависит от точности вычислений, но не должна превышать 1–3 %. Если погрешность велика, то необходимо проверить правильность записи уравнений равновесия и вычислений при решении.