Угол между плоскостями, геометрический способ.

«Система координат на плоскости» - Гиппарх. Какова роль темы в курсе математики и смежных дисциплин? Птолемей. Что называется системой координат? Какие виды систем координат вы знаете? Как построить точку с заданными координатами на координатной плоскости? Знакомы ли вы с историей возникновения координат? Как определить координаты точки на координатной плоскости?

«Координаты плоскости» - Ось Ох – абсцисса х. С помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов. Ось Оу – ордината у. При игре в шахматы тоже используется метод координат. Все учащиеся нашего класса с удовольствием рисовали рисунки. Прямоугольной сеткой пользовались также художники эпохи Возрождения.

«Куба» - Территория Кубы - 111 тысяч км?. Некоторые районы заняты растительностью по типу злаковых саванн. Возвышенности и горы занимают около трети территории. Поверхностные воды. Банковский сектор усиливается. Среднегодовая температура составляет 25,5 °C. Острый дефицит валюты. Температура поверхностных вод у берегов зимой составляет 22-24 °, летом - 28-30 °C.

«Векторы на плоскости» - Аналитическая геометрия. Задача 2. В пространстве дана точка и вектор. Рассмотрим текущую точку прямой вектор лежит на плоскости. Исследование уравнения прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам. Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный плоскости. Если исключить параметр t из параметрического уравнения, то получим каноническое уравнение прямой.

«Задачи на плоскости» - Задача № 3. Задача № 4. Составление плана решения задач. Свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Немного теории. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей. Тест «Перпендикулярность». Решение задач по готовым чертежам. Свойство касательной и радиуса, проведенного в точку касания.

«Синус косинус тангенс острого угла» - Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС: ?А=30°, ?В=60°. Тригонометрические тождества. Значения синуса, косинуса и тангенса угла 30° . По теореме Пифагора АВ2= АС2+ ВС2 = 2 АС2 = 2 ВС2, откуда Следовательно, Значения синуса, косинуса и тангенса угла 60°. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС: АС=ВС, ?А=45°, ?В=45°.

Эта статья посвящена углу между плоскостями и его нахождению. Сначала приведено определение угла между двумя плоскостями и дана графическая иллюстрация. После этого разобран принцип нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями методом координат, получена формула, позволяющая вычислять угол между пересекающимися плоскостями по известным координатам нормальных векторов этих плоскостей. В заключении показаны подробные решения характерных задач.

Навигация по странице.

Угол между плоскостями - определение.

Приведем рассуждения, которые позволят постепенно подойти к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть нам даны две пересекающиеся плоскости и . Эти плоскости пересекаются по прямой, которую обозначим буквой c . Построим плоскость , проходящую через точку М прямой c и перпендикулярную к прямой c . При этом плоскость будет пересекать плоскости и . Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и как a , а прямую, по которой пересекаются плоскости и как b . Очевидно, прямые a и b пересекаются в точке М .

Легко показать, что угол между пересекающимися прямыми a и b не зависит от расположения точки М на прямой c , через которую проходит плоскость .

Построим плоскость , перпендикулярную к прямой c и отличную от плоскости . Плоскость пересекают плоскости и по прямым, которые обозначим a 1 и b 1 соответственно.

Из способа построения плоскостей и следует, что прямые a и b перпендикулярны прямой c , и прямые a 1 и b 1 перпендикулярны прямой c . Так как прямые a и a 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , то они параллельны. Аналогично, прямые b и b 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , следовательно, они параллельны. Таким образом, можно выполнить параллельный перенос плоскости на плоскость , при котором прямая a 1 совпадет с прямой a , а прямая b с прямой b 1 . Следовательно, угол между двумя пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Этим доказано, что угол между пересекающимися прямыми a и b , лежащими в пересекающихся плоскостях и , не зависит от выбора точки M , через которую проходит плоскость . Поэтому, логично этот угол принять за угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Теперь можно озвучить определение угла между двумя пересекающимися плоскостями и .

Определение.

Угол между двумя пересекающимися по прямой c плоскостями и – это угол между двумя пересекающимися прямыми a и b , по которым плоскости и пересекаются с плоскостью , перпендикулярной к прямой c .

Определение угла между двумя плоскостями можно дать немного иначе. Если на прямой с , по которой пересекаются плоскости и , отметить точку М и через нее провести прямые а и b , перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях и соответственно, то угол между прямыми а и b представляет собой угол между плоскостями и . Обычно на практике выполняют именно такие построения, чтобы получить угол между плоскостями.

Так как угол между пересекающимися прямыми не превосходит , то из озвученного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися плоскостями выражается действительным числом из интервала . При этом, пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными , если угол между ними равен девяноста градусам. Угол между параллельными плоскостями либо не определяют совсем, либо считают его равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Обычно при нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала приходится выполнять дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу, и после этого связывать этот угол с исходными данными при помощи признаков равенства, признаков подобия, теоремы косинусов или определений синуса, косинуса и тангенса угла. В курсе геометрии средней школы встречаются подобные задачи.

Для примера приведем решение задачи С2 из ЕГЭ по математике за 2012 год (условие намерено изменено, но это не влияет на принцип решения). В ней как раз нужно было найти угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Пример.

Решение.

Для начала сделаем чертеж.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями.

Для начала определим прямую линию, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 . Точка В – это одна из их общих точек. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые DA и D 1 E лежат в одной плоскости АDD 1 , причем они не параллельны, а, значит, пересекаются. С другой стороны, прямая DA лежит в плоскости АВС , а прямая D 1 E – в плоскости BED 1 , следовательно, точка пересечения прямых DA и D 1 E будет общей точкой плоскостей АВС и BED 1 . Итак, продолжим прямые DA и D 1 E до их пересечения, обозначим точку их пересечения буквой F . Тогда BF – прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 .

Осталось построить две прямые, лежащие в плоскостях АВС и BED 1 соответственно, проходящие через одну точку на прямой BF и перпендикулярные прямой BF , - угол между этими прямыми по определению будет равен искомому углу между плоскостями АВС и BED 1 . Сделаем это.

Точка А является проекцией точки Е на плоскость АВС . Проведем прямую, пересекающую под прямым углом прямую ВF в точке М . Тогда прямая АМ является проекцией прямой ЕМ на плоскость АВС , и по теореме о трех перпендикулярах .

Таким образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен .

Синус, косинус или тангенс этого угла (а значит и сам угол) мы можем определить из прямоугольного треугольника АЕМ , если будем знать длины двух его сторон. Из условия легко найти длину АЕ : так как точка Е делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А , а длина стороны АА 1 равна 7 , то АЕ=4 . Найдем еще длину АМ .

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВF с прямым углом А , где АМ является высотой. По условию АВ=2 . Длину стороны АF мы можем найти из подобия прямоугольных треугольников DD 1 F и AEF :

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим . Длину АМ найдем через площадь треугольника АBF : c одной стороны площадь треугольника АВF равна , с другой стороны , откуда .

Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем .

Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен (заметим, что ).

Ответ:

В некоторых случаях для нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями удобно задать Oxyz и воспользоваться методом координат. На нем и остановимся.

Поставим задачу: найти угол между двумя пересекающимися плоскостями и . Обозначим искомый угол как .

Будем считать, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz нам известны координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей и или имеется возможность их найти. Пусть - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Покажем, как найти угол между пересекающимися плоскостями и через координаты нормальных векторов этих плоскостей.

Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и , как c . Через точку М на прямой c проведем плоскость , перпендикулярную к прямой c . Плоскость пересекает плоскости и по прямым a и b соответственно, прямые a и b пересекаются в точке М . По определению угол между пересекающимися плоскостями и равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Отложим от точки М в плоскости нормальные векторы и плоскостей и . При этом вектор лежит на прямой, которая перпендикулярна прямой a , а вектор - на прямой, которая перпендикулярна прямой b . Таким образом, в плоскости вектор - нормальный вектор прямой a , - нормальный вектор прямой b .

В статье нахождение угла между пересекающимися прямыми мы получили формулу, которая позволяет вычислять косинус угла между пересекающимися прямыми по координатам нормальных векторов. Таким образом, косинус угла между прямыми a и b , а, следовательно, и косинус угла между пересекающимися плоскостями и находится по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Тогда вычисляется как .

Решим предыдущий пример методом координат.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ=2 , AD=3 , АА 1 =7 и точка E делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А . Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1 .

Решение.

Так как стороны прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат Oxyz так: начало совместить с вершиной С , а координатные оси Ox , Oy и Oz направить по сторонам CD , CB и CC 1 соответственно.

Угол между плоскостями АВС и BED 1 может быть найден через координаты нормальных векторов этих плоскостей по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей АВС и BED 1 соответственно. Определим координаты нормальных векторов.

1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F середины ребер соответственно A 1 B 1 и A 1 D 1 . Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD 1 .
   Решение [ , 205Kb].
2. Дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 . Найдите угол между плоскостями AB 1 D 1 и ACD 1 .
   Решение [ , 150Kb].
3. Часто при построении чертежа я испытываю дискомфорт, не просматриваются треугольники. На черновике я начинаю "кувыркать" многогранник и подбирать наиболее удачный ракурс. При решении этой задачи так и было...
   В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите синус угла между плоскостями BА 1 С 1 и BАD 1 .
   Решение [ , 165Kb].
4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA 1 взята точка М так, что AM=8 . На ребре BB 1 взята точка K так, что KB 1 =8. Найдите угол между плоскостью D 1 MK и плоскостью CC 1 D 1 .
   Решение [ , 350Kb].
5. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA 1 взята точка М так, что AM=2. На ребре BB 1 взята точка K так, что KB 1 = 2. Найдите угол между плоскостью D 1 MK и плоскостью CC 1 D 1 .
6. В правильной четырехугольной призме АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ: ЕА 1 = 3: 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1 .
   Решение [ , 304Kb], метод координат [ , 180Kb].
7. Основанием прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромб со стороной 2 и углом В, равным 120 0 . Найдите угол, который образует плоскость АВD 1 с основанием призмы, если известно, что расстояние между прямыми АС и B 1 D 1 равно 4.
   Решение [ , 145Kb].
8. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью А 1 ВС и плоскостью основания призмы.
   Чертеж [ , 18,2Kb], решение .
9. В правильной треугольной призме АВСA 1 B 1 C 1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 1. Точка D – середина ребра CC 1 . Найдите угол между плоскостями АВС и АDВ 1 .
   Решение [ , 180Kb].
10. В правильной треугольной призме ABCА 1 В 1 С 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AСВ 1 и А 1 С 1 B.
    Решение [ , 267Kb].
    
11. Основание прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 – треугольник АВС, площадь которого равна 12, АВ = 5. Боковое ребро призмы равно 36. Найдите тангенс угла между плоскостями АВC 1 и ABС.
    Решение [ , 162Kb].
12. Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором СВ=СА=5, ВА=6. Высота призмы равна 24. Точка М – середина ребра АА 1 , точка К – середина ребра ВВ 1 . Найдите угол между плоскостями МКС 1 и плоскостью основания призмы.
    Решение [ , 151Kb].
13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого АВ=6, ВС=6, СС 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостями АСD 1 и А 1 В 1 С 1 .
    Решение [ , 239Kb].
14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1 .
15. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого АВ=6, ВС=6, СС 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостями СDD 1 и BDА 1 .
    Решение [ , 105Kb].
16. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка N – середина ребра CD, AB = 3, BC = 2, BB 1 = 2. Найдите угол между плоскостями AB 1 N и ABC.
    Решение [ , 256Kb].
17. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка M – середина ребра B 1 C 1 , AB = 3, BC = 4, BB 1 = 2. Найдите угол между плоскостями BMD и ABC.
    Решение [ , 188Kb].
18. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , длины ребер которого АВ = 2, AD = AA 1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и CDA 1 .
    Решение [ , 174Kb], метод координат [ , 210Kb].
19. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 АВ=АА 1 =4, AD=3. Найдите тангенс угла, который образует плоскость АСВ 1 с гранью СDD 1 C 1 .
    Решение [ , 168Kb].
20. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра АВ=8, АD=6, СС 1 =5. Найдите угол между плоскостями ВDD 1 и АD 1 B 1 .
    Решение [ , 185Kb].
21. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра AB = 5 , АD = 12 , CC 1 = 15. Найдите угол между плоскостями ABC и A 1 DB.
    Решение [ , 190Kb].
22. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, через вершины A, E и D 1 проведена плоскость. Найдите двугранный угол (в градусах) между этой плоскостью и плоскостью основания призмы.
    Решение [ , 107Kb].
23. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S все ребра равны между собой. Точка М - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью ADM и плоскостью основания.
    Решение [ , 208Kb], другой чертеж
24. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковые ребра вдвое длиннее сторон основания. Точка М - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью ADM и плоскостью основания.
    Решение
25. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM: MS = 2: 1.
    Решение [ , 167Kb]
26. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM: MS = 2: 1.
27. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной . Длины всех боковых ребер равны 3, точка М – середина ребра AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определите величину острого угла (в градусах) между этой плоскостью и плоскостью SAC.
    Решение [