Закон распределения функции одного случайного аргумента. Теория вероятностей методичка

В предыдущей главе мы познакомились с методами определения числовых характеристик функций с. в. и показали, что для их отыскания не требуется знать законы распределения этих функций, а достаточно знать законы распределения аргументов. Как было показано, во многих случаях инженерной практики при нахождении числовых характеристик функций с. в. можно обойтись даже без законов распределения аргументов - достаточно знать лишь числовые характеристики этих аргументов.

Однако нередко в инженерных приложениях возникает и задача определения законов распределения функции с. в. Обычно это требуется при определении вероятности попадания этих функций в различные области их возможных значений.

В этом пункте мы будем решать следующую задачу. Имеется непрерывная с. в. Хс плотностью/(х); с. в. Твыражается через с. в. X функциональной зависимостью

Требуется найти закон распределения с. в. Y

Рассмотрим сперва случай, когда функция ср (А) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (а , Ь) всех возможных значений с. в. X Функция распределения G (у) с. в. ^определяется по формуле

Если функция ф (х) монотонно возрастает на всем участке возможных значений с. в. ^(рис. 9.1.1), то событие {Т{Х ф (у)}, где г (у) = х есть функция, обратная функции

Дифференцируя это выражение по величине у, входящей в верхний предел интеграла, получим п. р. случайной величины Y :

Если функция ср (х) на участке (а, Ь) возможных значений с. в. X монотонно убывает (рис. 9.1.2), то событие {Т |/ (у)}. Следовательно,

Рис. 9.1.1

Дифференцируя С (у) по переменной у, входящей в нижний предел, получим п. р. случайной величины Y:

Так как плотность не может быть отрицательной, то формулы (9.1.4) и (9.1.6) можно объединить в одну:

1 В формулах (9.1.3) и (9.1.5) диапазон возможных значений с. в. Сможет быть (- ао, оо), т. е. а = - оо; Ь - оо то возможные значения У- ф (А) определяются из выражения у,- - ф (х;) (/= 1,2,..., п) при этом имеет место равенство

Задача 1. Закон распределения линейной функции одного случайного аргумента. Частным случаем монотонной функции является линейная функция у = ах + Ь, где а, b - неслучайные величины. Пусть Уесть линейная функция непрерывной с. в. Хс плотностью/(х):

Найдем, пользуясь формулой (9.1.7), плотность распределения g (у) случайной величины У. В данном случае обратная функция ф (у) = (у - Ь)/а; ее производная ф" (у) = 1 /а модуль производной 1/|я|. Формула (9.1.7) дает

Пример 1. Случайная величина X распределена по показательному закону

Случайная величина Улинейно выражается через X:

Если с. в. ЛГдискретна и имеет ряд распределения

Решение. В данном случае обратная функция ф (у) = (2 - у)/3. Условие х > 0 в формуле (*) для у переходит в условие у = 2 - Зх

График плотности g (у) показан на рис. 9.1.3.

Пример 2. Найти п. р. линейной функции Y= аХ+ b нормально распределенного аргумента X с характеристиками т х и о*.

Решение. По формуле (9.1.7) имеем

а это есть нормальный закон с характеристиками т у = ат х + b , D y = = а 2 о 2 х; а у = а о х. Таким образом, в результате линейного преобразования нормально распределенной с. в. X получаем с. в. Y, также распределенную по нормальному закону. ?

Пример 3. Непрерывная с. в. X распределена по закону Коши в простейшем (каноническом) виде:

с. в. Тсвязана с ней зависимостью:

Найти плотность распределения с. в. Y.

Решение. Так как функция у = 1 - х 2 монотонна (монотонно убывает) на всем участке (-оо, оо), применим формулу (9.1.7). Решение оформим в виде двух столбцов; в левом будут помешены обозначения функций, принятые в общем решении задачи; в первом - конкретные функции, соответствующие данному примеру.

Пример 4. С. в. X распределена по тому же закону Коши/(х) = = 1/[я (1 + х 2)]; с. в. Тесть величина, обратная X:

Найти ее плотность g (у).

Решение. График функции у = 1/х показан на рис. 9.1.4. Эта функция терпит разрыв второго рода (перескакивает с - оо на + оо) при х = 0; но обратная функция х = 1 /у однозначна, поэтому можно применять ту же формулу (9.1.7), которая выведена для монотонной функции. Решение снова оформим в виде двух столбцов (слева - общий, справа - частный случай):

т. е. обратная величина Y = 1/Х тоже, как и X, имеет распределение Коши. ?

Пример 5. Скорость соударения молекул X распределена по закону Релея с параметром о;

Количество выделяемой энергии Y при соударении молекул определяется по формуле

Найти п. р. с. в. Y.

Решение. При х > О функция (X) монотонна. Решение примера снова располагаем в виде двух столбцов (слева общий случай, справа - частный конкретный случай):

Пример 6. Радиус круга X распределен по закону Релея с параметром а:

Найти закон распределения с. в. Y- площади круга.

Решение. С. в. Y = пХ 2 -функция монотонная при X > 0 у (у) =

= (^/л) 1/2 ; k"OOl=-т=, откуда 2 у}пу

следовательно, с. в. Уимеет показательный закон распределения с па- 1

раметром--. ?

2ко г

Пример 7. Через точку а , лежащую на оси Ор, проводится прямая ab под углом Хк оси Ор (см. рис. 9.1.5). Угол ^распределен равномерно

в интервале + yj. ^ а ^ ти закон распределения с. в. У- абсциссы точки пересечения прямой ab с осью 0%.

Пример 8. Напряжение ^распределено по нормальному закону с параметрами т х, ст х; стабилизируемое напряжение У определяется по формуле

У Решение. С. в. У- смешанная:

где Ф (X) - функция Лапласа. Функция распределения с.в. У имеет вид:

На рис. 9.1.6 показан график G (у). В общем случае, если функция распределения с. в. Хесть F(x), то

Пример 9. Стабилизатор напряжения работает таким образом, что ограничивает напряжение сверху:

Найти функцию распределения с. в. У , если задана функция распределения с. в. X - F(x).

Решение. По аналогии с решением предыдущего примера получаем

Пример 10. Стабилизатор напряжения X работает таким образом, что ограничивает напряжение снизу:

Найти функцию распределения с. в. Y, если задана F(x) - функция распределения с. в. X.

Решение. В соответствии с решением примера 8 получаем

Рассмотрим теперь случай, когда функция у - а, Ь) возможных значений с. в. не монотонна (рис. 9.1.7). В этом случае обратная функция х = |/ (у) неоднозначна.

Число значений обратной функции ц/ (у) зависит от того, какое значение у мы взяли; обозначим эти значения |/i (у), |/2 (у), ..., ф, (у), ... . Событие Y равносильно попаданию с. в. X в один из неперекры- вающихся отрезков, отмеченных жирной линией на рис. 9.1.7, где соответствующая часть кривой у = ф (х) лежит ниже прямой у; в нашем случае эти отрезки будут: от а до i x (у); от ц/ 2 (у) Д° Фз (у), от v|/ 4 (у) до |/ 5 (у) ит. д.; последний отрезок может кончаться точкой Ь, а может и одной из точек у, (у) (это несущественно). Попадания точки Хв эти отрезки - события несовместные; по правилу сложения вероятностей

Учитывая правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его пределы (а именно: производная интеграла по такой переменной равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженному на производную верхнего предела минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженное на производную нижнего предела), получим в нашем случае:

В тех точках, где ср (х), пересекая прямую у, убывает (начало соответствующего участка оси абсцисс, для которого Y производная у" (у) отрицательна; она же входит в сумму (9.1.11) со знаком минус; в тех точках, где ф (х) возрастает, ф" (у) (конец участка) она имеет знак плюс. Производные постоянных а и b равны нулю, поэтому безразлично, фигурируют ли точки а и b в виде начала или конца какого-либо участка. Все члены в формуле (9.1.11) положительны, и она принимает очень простой вид:

где к - число значений обратной функции, соответствующее данному у, ф! (у); ф 2 (у);...; ф^ (у) - значения обратной функции, соответствующие данному у.

Задача 2. Закон распределения модуля случай- нойвеличины. Задача ставится следующим образом: дана непрерывная с. в. Xс плотностью/(х) на участке (- оо, + оо); случайная величина Ксвязана с ней соотношением:

Найти плотность распределения с. в. Y.

Решение. Функция у = |х| не монотонна; ее график показан на рис. 9.1.8. Обратная функция при данном у имеет два значения: ?i (у) = - у; Фг (у) = У- По формуле (9.1.12) получим:

(отрицательной случайная величина Y быть не может). В частности, если плотность/(х) симметрична относительно начала координат, т. е. /(-х) =/(х), формула (9.1.13) даст:

Задача 3. Закон распределения квадрата случайной величины. Пусть непрерывная с. в. X имеет плотность /(х); найти плотность распределения ее квадрата.

Решение. Функция у = х 2 не монотонна (рис. 9.1.9); ф, (у) = -у[у ;

у 2 (у) = 4у-

Формула (9.1.12) дает

В частном случае, когда с. в. X имеет нормальное распределение

с параметрами т х = 0; а х = 1; / (х) = е~ х ^/л/2л, с. в. Уимеет распределение

Кривая этого распределения показана на рис. 9.1.10. ?

Рис. 9.1.9

До сих пор мы рассматривали только случай, когда аргумент функции Y= ф (X) - непрерывная случайная величина. Теперь рассмотрим более простой по существу, но более сложный в записи случай, когда аргумент X - дискретная с. в. с рядом распределения:

Некое «подобие» ряда распределения с. в. Рдаст таблица:

Чтобы сделать из нее ряд распределения, нужно, во-первых, расположить значения, стоящие в верхней строке, в порядке возрастания, а, во-вторых, объединить те из них, которые окажутся равными (в силу неоднозначности обратной функции), и сложить соответствующие вероятности. Полученный таким образом ряд и будет рядом распределения с. в. Y.

Пример 11. Дискретная с. в. X имеет ряд распределения:

Построить ряд распределения ее квадрата

Решение. «Неупорядоченный» ряд распределения имеет вид:

Расположим значения с. в. Y в порядке возрастания, объединим равные и сложим их вероятности; получим ряд распределения с. в. Y

Пример 12. Число ^неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром а. Общий материальный ущерб от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа:

где с > 0 - неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба.

Решение. Ряд распределения X имеет вид:

Так как значения Y возрастают вместе со значениями X и среди них нет совпадающих (обратная функция на участке 0, 1, т, ... однозначна), то ряд распределения Тимеет вид:

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин (X_1,X_2,\ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Требуется определить закон распределения случайной величины Y , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Y=\varphi(X).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Тогда Y=\varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения y_1,y_2,\ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,\ldots,n события \{X=x_k\} и \{Y=y_k=\varphi(x_k)\} тождественны. Следовательно,

P\{Y=y_k\}=P\{X=x_k\}=p_k

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{Y}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Если же среди чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=\varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины X , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=\varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция y=\varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины X . Тогда обратная функция x=\psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Пример 1. Случайная величина X распределена с плотностью

F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

Найти закон распределения случайной величины Y , связанной с величиной X зависимостью Y=X^3 .

Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-\infty;+\infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции \varphi(x)=x^3 есть \psi(y)=\sqrt{y} , ее производная \psi"(y)=\frac{1}{3\sqrt{y^2}} . Следовательно,

G(y)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\sqrt{y^2}/2}\frac{1}{\sqrt{y^2}}

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=\varphi(x) такова, что обратная функция x=\psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x , которые обозначим x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y) , где n - число участков, на которых функция y=\varphi(x) изменяется монотонно. Тогда

G(y)=\sum\limits_{k=1}^{n}f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .

Решение. Обратная функция x=\psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента y соответствуют два значения функции x

\begin{gathered}g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(-\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2\pi{y}}}\,e^{-y/2}.\end{gathered}

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина Y является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=\varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы (X_1;X_2) найти распределение случайной величины Y .

Пусть f(x_1;x_2) - плотность распределения системы случайных величин (X_1;X_2) . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2

Плотность распределения случайной величины Y

G_1(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac{\partial\psi(y;x_1)}{\partial{y}}\right|dx_1.

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина Y является функцией случайного аргумента X с заданным законом распределения

Y=\varphi(X).

Требуется, не находя закона распределения величины Y , определить ее математическое ожидание

M(Y)=M[\varphi(X)].

Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{x_i}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{y_i=\varphi(x_i)}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле

M[\varphi(X)]=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)p_i,

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции \varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=\varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции \varphi(X) , а достаточно знать закон распределения аргумента X .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

M[\varphi(X)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_{xy}.

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2] , где .

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=\varphi(X) дисперсия выражается формулой

D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

где M(\varphi(x))=M[\varphi(X)] - математическое ожидание функции \varphi(X) ; f(x) - плотность распределения величины X .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D+2\sum\limits_{i

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D \mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_{y_1y_2}=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции .

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин X и Y абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

|\mu_{xy}|\leqslant\sqrt{D[X]\cdot D[Y]}=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х и записывают Y=φ(Х). Если Х – дискретная случайная величина и функция Y=φ(Х) – монотонная, то . Если φ(Х) – немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, тогда вероятности возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения следует сложить.

Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью f(x), а y=φ(x) дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная для которой x=ψ(y) то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства

Если функция φ(x) не монотонна на интервале возможных значений Х, то этот интервал следует разбить на интервалы монотонности, найти плотность для каждого интервала, а затем результаты просуммировать.

Математическое ожидание функции Y=φ(Х) вычисляется по формулам:

или
,

а дисперсия –

Пример 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины Y=X 2 , математическое ожидание M(Y), D(Y) и σ(Y).

Решение. Найдем возможные значения Y:

Найдем вероятности возможных значений

Следовательно, закон распределения величины Y имеет вид

Пример 2 . Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x+0,5 в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) плотность распределения функции Y=X 2 ; б) математическое ожидание M(Y); в) дисперсию D(Y).

Решение. а) Так как функция y=x 2 на промежутке (0,1) строго возрастает и имеет обратную
, то

б)

Математическое ожидание можно найти другим способом:

.

3. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y=φ(X)=X 2 (не находя предварительно плотности распределения Y).

4. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x) =0. Найти дисперсию функции Y = φ(Х)=Х2, не находя предварительно плотности распределения Y. Для решения используем формулу

и то, что
.

5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины Y=sin(X).

7. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0,∞). Найти плотность распределения g(у) случайной величины Y, если: а) Y=e -х; б) Y=ln(X); в)Y=X 2 ; г) Y=1/X 2 ; д) Y=Х 3 .

8. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, π/2). Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=sin(X).

9. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (-π/2, π/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины У=cos(X).