1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:
1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему
{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ . Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Пример 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х 2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.
Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2
рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.
Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая – считайте, что вам повезло!
Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:
- Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?
- Что такое дискриминант и куда его пристроить?
- Что такое теорема Виета и где её можно применить?
Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% - это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.
Итак, приступим!
Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. :)
Пример 1
Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:
a = 1
b = -(a-1)
c = a-2
Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно – b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень ? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае – когда его дискриминант равен нулю .
Так и пишем:
D = 0
Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!
Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:
Можно, конечно, решать это через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a -3) 2 !
Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a -3) 2 , то уравнение будет решаться в уме!
(a - 3) 2 = 0
a - 3 = 0
a = 3
Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае – когда значение параметра «а» равно тройке.)
Ответ: 3
Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.
Пример 2
Вот такая задачка. Начинаем распутывать. Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:
0,5x 2 - 2x + 3a + 1,5 = 0
Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:
Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:
a = 1
b = -4
c = 6 a +3
Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а» ! Который может быть каким угодно – положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным – всяким!
«Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать . Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным !»
Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:
D = (-4) 2 - 4·1·(6 a +3) = 16-24 a -12 = 4-24 a
4-24 a > 0
-24 a > -4
a < 1/6
Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят . Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.
Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:
Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:
Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:
Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28:
А дальше – обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ – для внимательных.
Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:
Итого:
Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:
Чему здесь равен коэффициент при x 2 ? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:
Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:
Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:
4·(16-18a-9) < 28
64–72a+36 < 28
-72a < 28-64+36
-72a < 0
a > 0
Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6 . Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6 . Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.
Ответ:
Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!
Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.
Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.
Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:
Пример 3
Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно! »
Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:
a = 1
b = -6
c = a 2 -4 a
А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:
D ≥ 0
Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а :
D = (-6) 2 – 4·1·(12 + a 2 -4 a ) = 36 - 48 - 4а 2 + 16а = -4а 2 +16а-12.
А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:
Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)
А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука
Принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x 1 – x 2 . Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.
Что ж, считаем корни по общей формуле:
Теперь вспоминаем, что корень квадратный – величина заведомо неотрицательная . Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:
И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение . А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная ! Вперёд и с песнями!)
Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:
Получили единственную критическую точку a = 2 . Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).
Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки – отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию мы рассматриваем только на отрезке . Вне этого отрезка нашей функции f (a ) попросту не существует . Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.
Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.
Ответ: 2.
Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное – не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).
Пример 4
Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?
Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)
Итак, а ≠ 0 .
При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным . То есть, первое наше требование будет D > 0 .
D = 4(a-1) 2 – 4a(a-4) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +16a = 4+8a
Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.
Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) – величина неотрицательная . Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль – функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.
Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:
Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:
Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:
Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:
Неравенство – не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль – величина неотрицательная.
Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a |. Знак неравенства сохраняется :
Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая – когда параметр а , стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.
Итак!
Случай 1 (a>0, |a|=a)
В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:
Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:
Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно – случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются .
Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:
А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a >0 . С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 – это два взаимно исключающих требования.
Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:
Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:
Нас интересует промежуток между корнями . Стало быть,
Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:
Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:
Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.
Случай 2 ( a< 0, | a |=- a )
В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:
Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):
С учётом общего требования a<0 , мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2 .
И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1 ! Решение этого неравенства выглядело вот так:
Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.
Пересекаем:
Вот и второй кусочек ответа готов:
Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число
С нулём. Вот так:
А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему) :
Готово дело. Эти два интервала – это пока ещё только решение неравенства
Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!
Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта ! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества :
Но есть одна проблемка. Мы не знаем , как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа :
Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:
Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:
Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.
Ответ:
Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)
1. Найдите все значения параметра b , при которых уравнение
ax 2 + 3 x +5 = 0
имеет единственный корень.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения
x 2 – (14 a -9) x + 49 a 2 – 63 a + 20 = 0
меньше 9.
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения
x 2 – 4 ax + 5 a = 0
равна 6.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
x 2 + 2( a -2) x + a + 3 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.
Ответы (в беспорядке):