Бесконечное пространство или бесконечное время? Описание в явно координатной форме.

О БЕСКОНЕЧНОСТИ, ВСЕЛЕННОЙ И МИРАХ

Теория относительности рассматривает пространство и время как единое образование, так называемое «пространство — время», в котором временная координата играет столь же существенную роль, что и пространственные. Поэтому в самом общем случае мы, с точки зрения теории относительности, можем говорить только о конечности или бесконечности именно этого объединенного «пространства — времени». Но тогда мы вступаем в так называемый четырехмерный мир, обладающий совершенно особыми геометрическими свойствами, самым существенным образом отличающимися от геометрических свойств того трехмерного мира, в котором мы живем.

И бесконечность или конечность четырехмерного «пространства — времени» еще ничего или почти ничего не говорит об интересующей нас пространственной бесконечности Вселенной.

С другой стороны, четырехмерное «пространство — время» теории относительности — это не просто удобный математический аппарат. Оно отражает вполне определенные свойства, зависимости и закономерности реальной Вселенной. И поэтому при решении проблемы бесконечности пространства с точки зрения теории относительности мы вынуждены считаться и со свойствами «пространства — времени». Еще в двадцатых годах текущего столетия А. Фридман показал, что в рамках теории относительности раздельная постановка вопроса о пространственной и временной бесконечности Вселенной возможна не всегда, а только при определенных условиях. Этими условиями являются: однородность, т. е. равномерность распределения материи во Вселенной, и изотропность, т. е. одинаковость свойств по любым направлениям. Только в случае однородности и изотропности единое «пространство — время» расщепляется на «однородное пространство» и универсальное «мировое время».

Но, как мы уже отмечали, реальная Вселенная значительно сложнее однородных и изотропных моделей. А это значит, что четырехмерный мяр теории относительности, соответствующий тому реальному миру, в котором мы живем, в общем случае на «пространство» и «время» не расщепляется. Поэтому если даже с увеличением точности наблюдений мы сможем вычислить среднюю плотность (а значит, и местную кривизну) для нашей Галактики, для скопления галактик, для доступной наблюдениям области Вселенной, — это не будет еще решением вопроса о пространственной протяженности Вселенной в целом.

Интересно, между прочим, отметить, что некоторые области пространства и в самом деле могут оказаться конечными в смысле замкнутости. И не только пространство Метагалактики, но и любой области, в которой имеются достаточно мощные массы, вызывающие сильное искривление, например, пространство квазаров. Но, повторяем, это еще ничего не говорит о конечности или бесконечности Вселенной как целого. К тому же конечность или бесконечность пространства зависит не только от его кривизны, но и от некоторых других свойств.

Таким образом, при современном состоянии общей теории относительности и астрономических наблюдений мы не можем получить достаточно полного ответа па вопрос о пространственной бесконечности Вселенной.

Рассказывают, что знаменитый композитор и пианист Ф. Лист снабдил одно из своих фортепианных произведений такими указаниями для исполнителя: «быстро», «еще быстрее», «быстро, как только возможно», «еще быстрее»...

Эта история невольно приходит на память в связи с изучением вопроса о бесконечности Вселенной. Уже из того, что говорилось выше, совершенно очевидно, что эта проблема предельно сложна.

И все же она еще неизмеримо сложнее...

Объяснить, значит, свести к известному. Подобный прием используется почти в каждом научном исследовании. И когда мы пытаемся решить вопрос о геометрических свойствах Вселенной, мы тоже стремимся свести эти свойства к привычным понятиям.

Свойства Вселенной как бы «примериваются» к существующим в данный момент абстрактным математическим представлениям о бесконечности. Но являются ли эти представления достаточными для описания Вселенной в целом? Беда в том, что они разрабатывались в значительной степени самостоятельно, а иногда совершенно независимо от проблем изучения Вселенной, и уж во всяком случае на основе исследования ограниченной области пространства.

Таким образом, решение вопроса о реальной бесконечности Вселенной превращается, в своего рода лотерею, в которой вероятность выигрыша, т. е. случайного совпадения хотя бы достаточно большого числа свойств реальной Вселенной с одним из формально выведенных эталонов бесконечности, весьма незначительна.

Основу современных физических представлений о Вселенной составляет так называемая специальная теория относительности. Согласно этой теории пространственные и временные отношения между различными окружающими нас реальными объектами не являются абсолютными. Их характер целиком зависит от состояния движения данной системы. Так, в движущейся системе темп течения времени замедляется, а все масштабы длин, т.е. размеры протяженных объектов, сокращаются. И это сокращение тем сильнее, чем выше скорость движения. При приближении к скорости света, которая является максимально возможной скоростью в природе, все линейные масштабы уменьшаются неограниченно.

Но если хотя бы некоторые геометрические свойства пространства зависят от характера движения системы отсчета, т. е. являются относительными, мы вправе поставить вопрос: а не являются ли относительными также понятия конечности и бесконечности? Ведь они самым тесным образом связаны с геометрией.

В последние годы исследованием этой любопытной проблемы занимался известный советский космолог А. Л. Зельмапов. Ему удалось обнаружить факт, на первый взгляд совершенно поразительный. Оказалось, что пространство, которое конечно в неподвижной системе отсчета, в то же самое время может быть бесконечным относительно движущейся системы координат.

Быть может, этот вывод не будет казаться столь удивительным, если мы вспомним о сокращении масштабов в движущихся системах.

Популярное изложение сложных вопросов современной теоретической физики весьма затрудняется тем обстоятельством, что они в большинстве случаев не допускают наглядных объяснений и аналогий. Все же мы попытаемся привести сейчас одну аналогию, но пользуясь ею, постараемся не забывать, что она весьма приблизительна.

Представьте себе, что мимо Земли проносится космический корабль со скоростью, равной, скажем, двум третям скорости света —200 000 км/сек. Тогда, согласно формулам теории относительности, должно наблюдаться сокращение всех.масштабов вдвое. Значит, с точки зрения космонавтов, находящихся на корабле, все отрезки на Земле станут вдвое короче.

А теперь представим себе, что у нас имеется хотя и очень длинная, но все же конечная прямая линия, и мы измеряем ее с помощью некоторой единицы масштаба длины, например, метра. Для наблюдателя, находящегося в космическом корабле, несущемся со скоростью, приближающейся к скорости света, наш эталонный метр будет стягиваться в точку. А так как точек даже на конечной прямой располагается бесчисленное множество, то для наблюдателя в корабле наша прямая сделается бесконечно длинной. Примерно то же самое произойдет и в отношении масштабов площадей и объемов. Следовательно, конечные области пространства могут стать в движущейся системе отсчета бесконечными.

Еще раз повторяем — это отнюдь не доказательство, а лишь, довольно грубая и далеко не полная аналогия. Но она дает некоторое представление о физической сущности интересующего пас явления.

Вспомним теперь, что в движущихся системах не только сокращаются масштабы, по и замедляется течение времени. Из этого следует, что продолжительность существования некоторого объекта, конечная по отношению к неподвижной (статической) системе координат, может оказаться бесконечной Длительной в движущейся системе отсчета.

Таким образом, из работ Зельманова вытекает, что свойства «конечности» и «бесконечности» пространства и времени являются относительными.

Разумеется, все эти на первый взгляд довольно «экстравагантные» результаты нельзя рассматривать как установление неких всеобщих геометрических свойств реальной Вселенной.

Но благодаря им можно сделать чрезвычайно важный вывод. Даже с точки зрения теории относительности понятие бесконечности Вселенной значительно сложнее, чем это представлялось раньше.

Теперь есть все основания ожидать, что если когда-либо будет создана теория более общая, чем теория относительности, то в рамках этой теории вопрос о бесконечности Вселенной окажется еще более сложным.

Одним из основных положений современной физики, ее краеугольным камнем является требование так называемой инвариантности физических утверждений относительно преобразований системы отсчета.

Инвариантный—означает «не изменяющийся». Чтобы лучше представить себе, что это значит, приведем в качестве примера некоторые геометрические инварианты. Так окружности с центрами в начале системы прямоугольных координат являются инвариантами вращении. При любых поворотах координатных осей относительно начала такие окружности переходят сами в себя. Прямые линии, перпендикулярные к оси «OY», являются инвариантами преобразований переноса системы координат вдоль осп «ОХ».

Но в нашем случае речь идет об инвариантности в более широком смысле слова: любое утверждение только тогда имеет физический смысл, когда оно не зависит от выбора системы отсчета. При этом систему отсчета следует понимать не только как систему координат, но и как способ описания. Как бы ни менялся способ описания, физическое содержание изучаемых явлений должно оставаться неизменным, инвариантным.

Нетрудно заметить, что это условие имеет не только чисто физическое, по и принципиальное, философское значение. Оно отражает стремление науки к выяснению реального, истинного хода явлений, а исключению всех искажении, которые могут быть внесены в этот ход самим процессом научного исследования.

Как мы видели, из работ А. Л. Зельманова вытекает, что пи бесконечность в пространстве, ни бесконечность во времени требованию инвариантности не удовлетворяют. Это означает, что те понятия временной и пространственной бесконечности, которыми мы в настоящее время пользуемся, недостаточно полно отражают реальные свойства окружающего нас мира. Поэтому, видимо, сама постановка вопроса о бесконечности Вселенной в целом (в пространстве и во времени) при современном понимании бесконечности лишена физического смысла.

Мы получили еще одно убедительное свидетельство того, что «теоретические» понятия бесконечности, которыми пользовалась до сих пор наука о Вселенной, носят весьма и весьма ограниченный характер. Вообще говоря, об этом можно было догадываться и раньше, поскольку реальный мир всегда значительно сложнее любой «модели» и речь может идти лишь о более или менее точном приближении к реальности. Но в данной случае оцепить, так сказать, на глаз, насколько достигнутое приближение значительно, было особенно трудно.

Сейчас по крайней мере вырисовывается путь, которым надо идти. Видимо, задача заключается прежде всего в том, чтобы развивать само понятие бесконечности (математическое и физическое) па основе изучения реальных свойств Вселенной. Другими словами: «примеривать» не Вселенную к теоретическим представлениям о бесконечности, а наоборот, эти теоретические представления к реальному миру. Только такой метод исследования способен привести науку к существенным успехам в данной области. Никакие абстрактные логические рассуждения и теоретические выводы не могут заменить собой фактов, полученных из наблюдений.

Вероятно, необходимо прежде всего на основе изучения реальных свойств Вселенной выработать инвариантное понятие бесконечности.

Да и, вообще, видимо, не существует такого универсального математического или физического эталона бесконечности, который мог бы отобразить все свойства реальной Вселенной. По мере развития знаний число известных нам типов бесконечности само будет расти беспредельно. Поэтому скорее всего на вопрос о том, бесконечна ли Вселенная, никогда нельзя будет дать простой ответ «да» или «нет».

На первый взгляд может показаться, что в связи с этим изучение проблемы бесконечности Вселенной вообще теряет какой бы то ни было смысл. Однако, во-первых, эта проблема в той или иной форме встает перед наукой на определенных этапах и ее приходится решать, а во-вторых, попытки ее решения приводят к целому ряду попутных плодотворных открытий.

Наконец, необходимо подчеркнуть, что проблема бесконечности Вселенной значительно шире, чем просто вопрос о ее пространственной протяженности. Прежде всего, речь может идти не только о бесконечности «вширь», ко, если так можно выразиться, и «вглубь». Другими словами, необходимо получить ответ на вопрос о том, является ли пространство бесконечно делимым, непрерывным, или в нем существуют некоторые минимальные элементы.

В настоящее время эта проблема уже встала перед физиками. Всерьез обсуждается вопрос о возможности так называемого квантования пространства (а также и времени), т. е. выделения в нем некоторых «элементарных» ячеек, которые являются предельно малыми.

Нельзя также забывать о бесконечном разнообразии свойств Вселенной. Ведь Вселенная — это прежде всего процесс, .характерными особенностями которого являются непрерывное движение и непрестанные переходы материи из одного состояния в другое. Поэтому бесконечность Вселенной — это и бесконечное разнообразие форм движения, видов материи, физических процессов, взаимосвязей и взаимодействий и даже свойств конкретных объектов.

Существует ли бесконечность?

В связи с проблемой бесконечности Вселенной возникает на первый взгляд неожиданный вопрос. Имеет ли само понятие бесконечности реальный смысл? Не является ли оно всего лишь условным математическим построением, которому в реальном мире вообще ничто не соответствует? Подобной точки зрения придерживались некоторые исследователи в прошлом, есть у нее сторонники и в настоящее время.

Но данные науки свидетельствуют о том, что при изучении свойств реального мира мы во всяком случае сталкиваемся с тем, что можно назвать физической, или практической, бесконечностью. Например, мы встречаемся с настолько большими (или настолько малыми) величинами, что, с определенной точки зрения, они ничем не отличаются от бесконечности. Эти величины лежат за тем количественным пределом, за которым любые их дальнейшие изменения уже не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на существо рассматриваемого процесса.

Таким образом, бесконечность бесспорно существует объективно. Более того, как в физике, так и в математике мы сталкиваемся с понятием бесконечности чуть ли не на каждом шагу. Это не случайность. Обе эти науки, в особенности физика, несмотря па кажущуюся абстрактность многих положений, в конечном счете, всегда отталкивается от реальной действительности. Значит, природа, Вселенная в самом деле обладает некоторыми свойствами, которые отражаются в понятии бесконечности.

Совокупность этих свойств и может быть названа реальной бесконечностью Вселенной.

Теория тяготения, созданная Эйнштейном, дала мощный толчок развитию космологии, которая получила целый ряд принципиальной важности результатов, связанных с пониманием пространства-времени и прежде всего с проблемой их бесконечности. Релятивистская космология показала чрезвычайную сложность решения этой проблемы, сделала невозможным наивный подход к ней и поставила вопрос о необходимости глубокого анализа самого понятия «бесконечность».

До появления релятивистской космологии во взгляде на бесконечность господствовал в достаточной степени наивный подход – бесконечность понималась как то, что не имеет конца ни в какую сторону. Это понимание, идущее из глубокой древности, сохранялось неизменным в течение более чем двух тысячелетий. Правда, в математике, начиная со второй половины XIX века, становится всё более ясной сложность и глубина понятия бесконечности. Но среди не математиков продолжало господствовать благодушное отношение к бесконечности, а трудности, с которыми столкнулась математика, рисовались как некие «математические тонкости». Такое наивно-благодушное отношение к проблеме бесконечности, проявлявшееся в мнении о том, что нам известно содержание понятия бесконечность, сохраняется у некоторых философов до последнего времени.

ОТО показала, что пространство неразрывно связано с материей и в общем случае является неэвклидовым. А для неэвклидового – «искривлённого» - пространства не совпадают понятия бесконечности и безграничности, неявно отождествлявшиеся ещё со времён известного рассуждения пифагорейца Архита. Древнегреческий философ Архит приводил следующий наглядный образ такого понимания бесконечности. Если бросить копьё, а затем подойти к месту, где оно упало, и снова бросить копьё, повторяя эту операцию вновь и вновь, то мы нигде не натолкнёмся на границу, которая не позволила бы нам продолжать броски. Отсутствие такого препятствия демонстрирует возможность бесконечного движения в пространстве, считал Архит. Понимание бесконечности пространства как возможности неограниченного прибавления всё новых единиц расстояния дополняется трактовкой бесконечности времени как беспредельного прибавления отрезков длительности. Математическим образом такого понимания бесконечности служит натуральный ряд чисел. Гегель, а вслед за ним Энгельс называли такую чисто количественную бесконечность «дурной» бесконечностью.

В самой действительности мы можем иметь случай, когда трёхмерное пространство положительной кривизны конечно (или, как чаще говорят, закрыто, замкнуто) и вместе с тем безгранично: существо, обитающее в таком пространстве, перемещаясь в нём, не натолкнётся ни на какие границы и, тем не менее, сможет установить его конечность путём определения кривизны.

Релятивистская космология отправляется от основного уравнения тяготения Эйнштейна. Оно решается при некоторых предпосылках, основанных на известных эмпирических данных, и полученные решения («модели вселенной») исследуются и сопоставляются с опытом. Полученные модели могут быть поделены на две большие группы: модели однородной и изотропной вселенной и модели анизотропной неоднородной вселенной. Наиболее разработанной является первая группа.

В 1922 году советский учёный А. А. Фридман выдвинул гипотезу расширяющейся вселенной. Она была настолько необычна, что даже Эйнштейн вначале отрицательно отнёсся к ней. Академик Я.Б. Зельдович заметил, что работа Фридмана даёт более впечатляющий пример предвидения, чем классический пример предсказания Леверье. Ведь Леверье пользовался небесной механикой, которая ещё до его работы была блестяще разработана и подтверждена. А работа Фридмана была первым (и спустя многие десятилетия после выдвижения гипотезы единственным) правильным применением теории относительности к космологии).

Предсказанная Фридманом нестационарность вселенной была доказана установлением красного смещения. В 1929 году американский астроном Хаббл обнаружил, что в спектрах далёких галактик спектральные линии смещены к красному концу. Это означает, что галактики «удаляются» от нас со скоростью, линейно зависящей от расстояния. Разбегание галактик не следует представлять себе как некое обычное движение в неизменяющемся со временем пространстве и искать для этого движения особые динамические причины. Это не движение объектов в неизменном пространстве, а эффект, обусловленный неизвестными нам ранее свойствами самого пространства – нестационарностью его метрики. Объяснение разбегания галактик, даваемое релятивистской космологией, в принципе аналогично объяснению релятивистских эффектов сокращения длины и замедления времени.

В рамках модели Фридмана вопросы о конечности и бесконечности пространства и времени в определённом смысле становятся эмпирически проверяемыми. Нестационарный мир Фридмана может иметь как положительную кривизну (закрытая модель), так и отрицательную кривизну (открытая модель). Он может иметь одну особую временную точку – начало времени (расширяющаяся вселенная), но он может иметь и бесконечно много особых точек. В этом случае ни одна из них не может считаться за начало времени, а их наличие просто означает, что во вселенной периоды расширения, начинающиеся с некоторого момента, когда плотность всех видов материи была бесконечной, сменяются периодами сжатия, когда галактики «сбегаются» - красное смещение сменяется фиолетовым -, плотность вновь принимает бесконечное значение, а затем вновь начинается расширение и т. д. (пульсирующая вселенная).

Конечность времени, о котором говорит модель расширяющейся вселенной, вводя начало отсчёта времени, не есть вывод о безусловной конечности времени вообще, а намёк на подход к границам меры, указание на возможность перехода к качественно новым типам отношений, где может оказаться необходимым радикальный пересмотр известных физических законов и самого понятия времени.

Выбор той или иной модели вселенной зависит от средней плотности вещества и полей во вселенной. Сравнение фактической плотности ρ с (критической плотностью) позволяет произвести выбор указанных вариантов. При ρ > имеем пространство положительной кривизны, то есть замкнутое и конечное (но безграничное) и бесконечно много временных особых точек: вселенная будет пульсировать. При ρ < имеем пространство отрицательной кривизны, то есть открытое и бесконечное и одну особую точку, с которой началось расширение вселенной. Эмпирические данные ведут к решению вопроса в пользу открытой модели, но окончательного приговора пока вынести нельзя.

Некоторые отечественные философы, познакомившись с такого рода данными науки, встали на точку зрения их неприятия. Диалектический материализм, рассуждали они, утверждает бесконечность пространства и времени, и всё, что не согласуется с этим положением, есть проявление идеализма. В советском учебнике по философии середины 60-х годов можно встретить такое утверждение: «Одной из попыток опровергнуть представление о бесконечности мира является идеалистическая теория «расширяющейся вселенной» (как будто бывают научные теории материалистические и идеалистические. – авт.) … Эта реакционная, откровенно фидеистская теория не выдерживает критики…» Приведённое рассуждение – образчик того, как не надо бороться с идеализмом. Почему теория расширяющейся вселенной должна считаться идеалистической, реакционной, откровенно фидеистской? За неё в своё время ухватились идеалисты. Но они, как и церковники, хватаются за любую научную теорию, ломающую устоявшиеся представления, и бороться с ними путём отрицания того, за что они «хватаются», - значит фактически помогать им. Такого рода «критика» - есть свидетельство естественнонаучной неграмотности критика.

Наиболее соответствующей реальному положению дел в решении вопроса о бесконечности пространства-времени представляется позиция, которую отстаивал в своё время эстонский учёный Г. И. Наан. Здесь мы имеем дело с последовательно нетрадиционным путём, так как решительно отрицается наличие некоторого философского эталона бесконечности, с которым надо сравнивать конкретные данные физики, астрономии, математики. Задача философии, согласно Наану, не в том, чтобы дать окончательное решение проблемы бесконечности в дополнение к естествознанию, которое такого решения дать не может, а в том, чтобы подвергнуть исследованию само происхождение наших понятий о бесконечности и указать тот путь, по которому должно идти осмысление всё новых и новых данных науки. Сегодня речь должна идти не об исчерпывающем решении проблемы бесконечности, а о совершенствовании методологических средств её решения. Идя по этому пути, мы будем подходить ко всё более полному выяснению того, что такое бесконечность. Сейчас мы таким понятием не располагаем. И если даже предположить на мгновение, что нам каким-то образом стало известно то конкретное понимание бесконечности, которым будут владеть наши потомки, это мало бы нам помогло. По образному выражению Наана, мы смогли бы воспользоваться этим понятием не в большей мере, чем первобытный дикарь найденным в лесу реактивным самолётом.

Итак, важнейший гносеологический вывод состоит в том, что при решении нашей проблемы нельзя предполагать имеющиеся у нас сегодня понятия конечного и бесконечного не подлежащими сомнению эталонами, с которыми надо лишь сопоставлять меняющиеся научные данные, признавая те, что не противоречат нашим эталонам, и отбрасывая противоречащие. Наоборот, надо, исходя из этих данных, уточнять сами понятия, рассматривая каждую новую ступень в развитии естествознания как ещё один шаг по пути этого углубления и уточнения. Поэтому ясно, что нельзя результаты, полученные релятивистской космологией, рассматривать как дающие уже сегодня окончательное решение проблемы бесконечности пространства-времени.

И ещё одно принципиальное замечание. Данные релятивистской космологии имеют отношение к вопросу о конечности или бесконечности Метагалактики, то есть вселенной. В философии же идёт речь о бесконечности Вселенной, или мира в целом.

Краткое содержание работы

Пространство без бесконечности

А, действительно, если Вселенная не бесконечна…

Может такое быть?

Оказывается, может.

И даже не в том понимании, что она занимает часть пространства. Вселенная может занимать и всё пространство, но это пространство не имеет мест в математике обозначаемых знаком ∞ (бесконечность).

Чтобы понять это, нам предстоит сделать всего три шага.

Сначала изобразим такое пространство в общих контурах, а затем начнём прорисовывать все детали.

Итак, шаг первый.

Одномерное пространство.

В обыденном понимании оно представляется нам чем-то типа числовой прямой.

На прямой отметим начало отсчёта – точку О и от неё в одну сторону со знаком плюс (+), в другую со знаком минус (-), через равные интервалы, называемые единицей измерения, сделаем разметку +1, +2, +3, …,+ ∞ и, соответственно, -1, -2, -3, …, - ∞. То есть и с одной, и с другой стороны стоят знаки ∞ – это одномерное бесконечное пространство.

Здесь задаём наш вопрос: «Может ли существовать одномерное пространство, не содержащее ∞?»

Оказывается, может.

В первоначальной зарисовке будем приводить лишь те примеры, которые нам будут необходимы и достаточны для понимания сути и дальнейшего логического описания следующих шагов. При этом постараемся избегать ввода каких-либо новых определений.

Начертим окружность.

Это тоже одномерное пространство.

Но как не размечайте такое пространство, если за единицу измерения возьмём определённую конечную величину, то знак ∞ нигде в таком пространстве поставить не удастся.

Данная окружность – локальный пример одномерного пространства, не содержащего знака ∞.

Шаг второй.

Двухмерное пространство.

На плоскости проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Разметим их точно также, как и прямую на первом шаге, за точку отсчёта каждой взяв точку пересечения. Таким образом определим двухмерное бесконечное пространство.

Здесь опять задаём наш вопрос: «Может ли существовать двухмерное пространство, не содержащее ∞?»

Оказывается, тоже может.

Возьмите в руки глобус.

Как не размечайте его поверхность, знак ∞ поставить нигде не удастся.

Данная сфера – локальный пример двухмерного пространства, не содержащего ∞.

Переходим к третьему шагу.

Через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых проводим третью прямую, перпендикулярную двум первым. Разметим её точно также, как и на первых двух шагах. Получим трёхмерное бесконечное пространство, точнее способ его отображения – декартову систему координат.

Задаём первоначальный вопрос: «Может ли существовать пространство, не содержащее знака ∞?»

Оказывается, может.

Локального примера, подобного примерам на первых двух шагах, здесь привести не удастся.

Эти локальные примеры были приведены лишь для того, чтобы получить способ отображения такого пространства в декартовой системе координат, который позволит определить способ счёта идеально-определённого пространства – пространства, не содержащего знака ∞, в глобальном понимании.

Перейдём к способу отображения идеально-определённого пространства в декартовой системе координат.

Вернёмся к одномерному пространству.

Как можно отобразить окружность на прямой?

На окружности отметим любую точку и примем её за начало отсчёта, обозначив точно также, как и на прямой – О (с нулевым значением). От точки О отмеряем половину окружности в любую сторону и эту отметку обозначаем точкой М (то есть ОМ – половина окружности в любую сторону). От точки О в одну сторону со знаком (+), в другую со знаком минус (-), точно с такими же одинаковыми ин......