Двумерное уравнение диффузии. Уравнения линий передач

В гл. ХIII, § 2, 6, мы исследовали интегральное уравнение (56) для теплопроводности и диффузии. Из метода его вывода ясно, что это уравнепие применимо и в более общем случае, рассматриваемом в этом пункте. Мы увидим, что в действительности оно имеет еще более общее значение. В самом деле, согласно принципу, изложенному в гл. ХIII, § 2, 3, функции, входящие в это уравнение, можно рассматривать как некоторые вероятности. Поэтому, если состояние некоторой физической системы определяется переменной зависящей от времени статистическим образом, т. е. совершающей некоторого рода броуновское движение, то это движение опять-таки будет описываться интегральным уравнением (51).

Если есть вероятность того, что система в момент времени находится между вероятность того, что система в течение времени переходит из начального положения, лежащего между конечное положение, лежащее между то удовлетворяет линейному интегральному уравнению:

ядро которого вообще говоря, несимметрично.

В случае обыкновенного броуновского движения, при отсутствии внешних сил, ядро симметрично относительно и имеет вид, определенный в гл. ХIII, §2, (56а). Там же указано решение "уравнения (8) в этом случае. Чтобы найти решение в общем случае, целесообразно преобразовать интегральное уравнение (8) в дифференциальное уравнепие следующим способом.

Введем сначала в уравнепие (8) вместо новую переменную представляющую собой смещение системы за время Тогда уравнение (8) примет вид:

где выражение очевидно, равно вероятности того, что система сместится за время из начального положения х на расстояние между и Примем теперь, что очень мало, и разложим левую часть (9) по степеням

с точностью до членов первого порядка, а правую часть по степеням у. Тогда мы получим

где величины имеют значение:

Из определения функции как вероятности непосредственно следует, что Предположим теперь, что существуют предельные значения:

Тогда из (10) получается дифференциальное уравнение для функции

где есть оператор

Это уравнение называется в статистическоё физике дифференциальным уравнением Фоккера-Планка Оно имеет самые разнообразные применения.

Если механическая система испытывает беспорядочные флуктуации иод действием внешних сил, с одной стороны, и вследствие теплового движения молекул - с другой, как это имеет место при обыкновенном броуновском движении, то функция согласно (11) и (12), есть средняя скорость приобретаемая частицами под действием внешних сил. Далее, в этом случае а все при тождественно равны нулю. Таким, образом, (13) переходит в обобщенное уравнение диффузии (6), где есть коэффициент диффузии. Согласно (11) и (12):

т. е. равно среднему квадрату смещения, деленному на соотношение, которое мы уже встречали в гл. XIII, § 2, (23) под названием формулы Эйнштейна.

Если внешние силы отсутствуют, т. е. если функция в (8) симметрична относительно то функция согласно (12), тождественно равна нулю, и (13) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение диффузии гл. XIII, § 1 (22). Поэтому всякая функция, определяемая интегральным уравнением (50) гл. § 2, должна одновременно удовлетворять уравнению (22) гл.

Если же внешние силы не равны нулю, то можно найти стационарное решение и уравнения Фоккера-Планка, соответствующее состоянию, устанавливающемуся через достаточно большой промежуток времени независимо от начального состояния. В этом случае и есть вероятность пребывания системы в промежутке между или относительное число тождественных систем, находящихся в этом интервале, если в начальный момент они были распределены

Уравнение диффузии описывает распространение (растекание) со временем по протяженному телу некоторой субстанции, например, тепла или концентрации. В одномерном случае тело представляется протяженным вдоль оси x .

На рис. 19.2 показан пример распределения вдоль оси x такого параметра как температура T . Из обычного опыта хорошо известно, что в каждый момент времени t температура T на разных участках тела x имеет разные значения, то есть меняется в зависимости от участка и времени. То есть должен существовать закон, по которому изменяется величина этого параметра T как функции от (x , t ). Для температуры этот закон чаще всего задается уравнением диффузии.

Если изменяемый параметр (в общем случае) обозначить как y , время, в течение которого отслеживаются изменения параметра, обозначить как t , а ось, вдоль которой происходят изменения параметра, как x , то уравнение диффузии имеет вид:

и обычно дополняется условиями - значениями переменной y на краях и границах: на левом краю x = 0, на правом краю x = L , на границе - начальные условия (t = 0):

y (x , 0) = f 1 (x ),
y (0, t ) = f 2 (t ),
y (L , t ) = f 3 (t ),
где f 1 (x ), f 2 (t ) и f 3 (t ) - заданные функции.

На рис. 19.3 представлен схематически вид области, для которой определены граничные и начальные условия. Функции f 1 (x ), f 2 (t ), f 3 (t ) и само уравнение диффузии предопределяют поведение функции y (x , t ) внутри этой области, чей полный вид обычно надо определить. Если на схеме дополнительно построить ось y (см. рис. 19.4 ), то визуально на рисунке можно отобразить и сам вид функций. На рисунке четко видно, что в углах схемы значения задаваемых функций должно совпадать.

Коэффициент α имеет смысл коэффициента теплопроводности; f (x , t ) имеет смысл функции, описывающей работу источников и стоков тепла.

Величина y , описывающая распределение температуры, является функцией двух переменных - протяженности тела x и времени t : y (x , t ). Графически функция представляется поверхностью (см. рис. 19.5 ) или набором изолиний (см. рис. 19.6 ), вид которых обычно требуется определить.

Если заменить выражения производных их дискретным аналогом, то в разностном виде уравнение будет выглядеть так:

или, выражая неизвестное через известные величины:

В результате получена расчетная формула, реализуемая на цифровой вычислительной машине. Благодаря этой формуле можно рассчитать значение параметра y в любой точке (x , t ).

Назовем значение y (x , t ) узлом расчета . Тогда схематично расчет выглядит как сетка узлов на поле, составленном из частей тела и отрезков времени (см. рис. 19.7 ). Сама формула расчета одного узла зависит от состояния трех узлов (левого y (x – Δx , t – Δt ), правого y (x + Δx , t – Δt ), собственного y (x , t – Δt )) в предыдущий (t – Δt ) момент времени и напоминает треугольный шаблон. До начала расчета известны состояния всех узлов для t = 0. Применяя формулу последовательно ко всем узлам для следующего момента времени, можно определить температуру во всех узлах следующего временного слоя (t + Δt ). Кроме самого левого и самого правого узлов - их состояние вычислено быть не может, но оно задано краевыми условиями.

Если процедуру повторять, переходя от одной точки тела x к другой, и далее от одного временного слоя к другому, то по данной формуле можно вычислить значение температуры в любой части тела в любой момент времени. Таким образом, расчетом покрывается все поле (L x T) (см. рис. 19.7 ). Последовательное определение неизвестных значений в данном случае возможно, потому что шаблон имеет вид явного выражения - единственное неизвестное в формуле выражено через ранее вычисленные значения.

Заметим, что при больших значениях производных и больших значениях шагов расчет может дать неверные решения. Решения могут оказаться неточными или даже неустойчивыми (качественно неверными) (см. лекцию 10. «Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»).

Условие устойчивости для треугольного шаблона при решении уравнения диффузии: Δx /Δt > α (см. подробнее рис. 19.12 ).

При моделировании возможно применение других разностных формул (шаблонов) (см. рис. 19.8 ). При выборе шаблона необходимо принимать во внимание: явный шаблон или нет, какую он обеспечивает точность и при каких значениях шагов он обеспечивает устойчивость расчета. Так, например, шаблон в виде прямоугольника - неявный: в одной расчетной формуле содержится сразу две неизвестные величины. Поэтому при использовании такого шаблона необходимо решать систему алгебраических уравнений размером (L · T) .

На практике устойчивости, а далее - точности добиваются получением решений с использованием разных шаблонов и разных значений шага. Если значения искомой переменной, вычисленные с шагом h и с шагом h /2, отличаются в узлах с одинаковыми индексами не более чем на 1-5%, то вычисленное значение принимают за приближенное решение задачи. Иначе уменьшают шаг еще в два раза, и процедуру оценки повторяют. (Дополнительно см. лекцию «Умеем ли мы вычислять на компьютере?».)

Свойства уравнения диффузии отражены на рис. 19.9 и заключаются в том, что при возникновении неоднородности в какой-то из частей тела со временем тепло за счет процессов теплообмена перетекает в соседние области. Температуры соседних областей выравниваются, усредняются. Темп процесса зависит от величины коэффициента теплопроводности.

Если принять условие, что задача стационарная, то есть процессы протекают так долго, что все переходные процессы успели закончиться (производная по времени равна 0), то уравнение диффузии приобретает следующий вид (для случая двухмерного пространства - оси x и z ) без источников и стоков:

∂ 2 y /∂x 2 + ∂ 2 y /∂z 2 = 0.

В разностном виде уравнение имеет вид:

(Y i + 1, j – 2 · Y i , j + Y i – 1, j )/Δx 2 + (Y i , j – 1 – 2 · Y i , j + Y i , j + 1)/Δz 2 = 0.

Если принять Δx = Δz , то уравнение примет вид:

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0.

Легко понять, что шаблон расчета уравнения неявный и имеет вид креста (чтобы рассчитать значение температуры в узле сетки, надо знать температуры его соседей слева, справа, сверху и снизу). Если стена дома имеет размеры 2 метра на 2 метра, а шаг Δx = Δz = 20 мм, то всего для расчета температурного режима стены придется решать систему из 10 000 линейных уравнений c 10 000 неизвестных Y i , j :

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0, для i = 1÷100 и j = 1÷100,

к которым следует присоединить 400 штук краевых условий:
Y 0, j = f 1 (j );
Y 101, j = f 2 (j );
Y i , 0 = f 3 (i );
Y i , 101 = f 4 (i ).

Вид решения уравнения показан на рис. 19.6 .

Для описания пассивного транспорта – диффузии ионов в биофизике используется электродиффузионная теория, в соответствии с которой суммарный поток ионов через мембрану при пассивном транспорте определяется 2-мя факторами: неравномерностью их распределения (градиентом концентрации) и воздействием электрического поля (электрическим градиентом). Плотность потока ионов для разбавленных растворов определяется по уравнению Нернста-Планка:

где: Ф - поток вещества, u - подвижность иона, молекулы, R - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/моль*К), Т - температура по шкале К 0 , dC/dx - концентрационный градиент, С - концентрация в молях, Z - величина заряда иона, F - число Фарадея (96500 Кл/моль), dφ /dx - градиент потенциала.

Знаки минус перед градиентами показывают, что градиент концентрации вызывает перенос вещества от мест с большей концентрацией в места с меньшей; а градиент потенциала вызывает перенос положительных зарядов от мест с большим потенциалом к местам с меньшим.

Для описания диффузии незаряженных частиц используют уравнение Фика:

В этом виде уравнение Фика определяет поток незаряженных частиц через единичную площадь в случае, если не существует перегородки (мембраны), которая может затруднять перенос, где:

D D - коэффициент диффузии,- градиент концентрации

Для клеточной мембраны: dx = L - толщина мембраны, dC = С i - С e , где С i и С e -концентрация частиц внутри и снаружи клетки. В уравнение Фика для клетки добавляется коэффициент К (коэффициент распределения), который определяет соотношение концентрации частиц между средой и мембраной и в конечном итоге скорость переноса. Учитывая это, уравнение Фика для клеточной мембраны представляется в виде:

DK / L = Р - называют эффективным коэффициентом проницаемости, тогда Ф = - Р (С e - Сi)

6. Механизм активного транспорта ионов К+ и Na + через мембрану. Основные этапы работы K , Na - АТФ-азы. Энергозатраты противоградиентного переноса (формула).

Ионы Na и К определяют водно-электролитный обмен организма. В норме в живых клетках животных существует асимметрия концентраций этих ионов внутри (i) и снаружи (e) клетки. Концентрация К больше внутри клетки, концентрация Na больше снаружи. Клеточная мембрана одинаково проницаема для обоих ионов. Поэтому для поддержания асимметрии осуществляется противоградиентный перенос при помощи Na, К - АТФ-азы или Na-К насоса, за счёт энергии, освобождающейся при гидролизе АТФ.

АТФ +Н2О = АДФ + Ф н + ∆G, где Ф н – неорганический фосфат.

Основные этапы работы АТФ-азы:

1) Присоединение 3 ионов Na и фосфорилирование фермента внутри клетки.

2) Транслокация №1 –перенос центра связывания ионов Na наружу.

3) Отсоединение 3 ионов Na и замена их на 2 иона К.

4) Отщепление остатков фосфорной кислоты.

5) Транслокация №2 – перенос центра связывания ионов К внутрь клетки.

6) Отсоединение 2 ионов К и присоединение 3 ионов Na, затем фосфорилирование фермента.

Перенос 2 ионов К внутрь клетки и выброс 3 ионов Na наружу приводит в итоге к переносу одного дополнительного положительного заряда из цитоплазмы на поверхность мембраны. Поэтому внутриклеточное содержимое имеет знак (-), а внеклеточное (+). В целом, энергия, которая освобождается при гидролизе АТФ для осуществления активного транспорта Na + и К + , определяется формулой:

где первое слагаемое определяет энергию для противоградиентного переноса двух ионов К второе – энергию для противоградиентного переноса трёх ионов Na, третье – энергию на преодоление сил электрического поля, возникающего на мембране за счёт активного транспорта.

Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле. Рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников тепла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько же тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем - маленький кубик, то, следуя формуле (3.17), можно написать

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если - количество тепла в единице объема, то весь запас тепла в кубе , а скорость потерь равна

(3.20)

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

(3.21)

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохранения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас - дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема , ограниченного поверхностью , закон Гаусса утверждает, что

(3.22)

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразовать как раз к виду , и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены проволочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a представляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кроме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую по замкнутой поверхности, окружающей источник, то всегда получится . Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после интегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы . Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, величина во всех точках сферы должна быть одинакова. Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно это именуют «физической интуицией»).

Фигура 3.6. В области близ точечного источника поток тепла направлен по радиусу наружу.

Когда радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна . Тогда мы получаем

, (3.23)

где - абсолютная величина . Этот интеграл должен быть равен - скорости, с которой источник генерирует тепло. Получается

где, как всегда, обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что пропорционален и меняется обратно квадрату расстояния от источника.

Только что полученный результат применим к потоку тепла вблизи точечного источника тепла. Теперь попытаемся найти уравнения, которые справедливы для теплового потока самого общего вида (придерживаясь единственного условия, что количество тепла должно сохраняться). Нас будет интересовать только то, что происходит в местах вне каких-либо источников или поглотителей тепла.

Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44),

(Помните, что это соотношение приближенное, но для некоторых веществ вроде металлов выдерживается неплохо.) Применимо оно, конечно, только в тех частях тела, где нет ни выделения, ни поглощения тепла. Выше мы вывели другое соотношение (3.21), которое выполняется тогда, когда количество тепла сохраняется. Если мы это уравнение скомбинируем с (3.25), то получим

если - величина постоянная. Напоминаю, что - это количество тепла в единичном объеме, a - лапласиан, т. е. оператор

Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу возникнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что температура материала пропорциональна содержанию тепла в единице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать и - для температуры .

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

где - постоянная. Она равна .

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающего диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

Рассмотрим полую трубку постоянного малого сечения, в каждом сечении которой концентрацию диффундирующего вещества можно считать постоянной. Направим ось Ох вдоль трубки, тогда концентрация вещества в трубке выражается функцией Q(x,t) и может быть описана уравнением:

где Q(x,t) – объёмная концентрация (или плотность) диффундирующего вещества, кг/м 3 ;

f(x,t) – объёмная плотность источника примеси, кг·м -3 ·с -1 .

При условии постоянства коэффициента диффузии D коэффициент а определяется из выражения:

, (2.58)

где D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

C – коэффициент пористости.

, (2.59)

где V – объем пор, внутри которых может происходить диффузия, м 3 ;

V 0 – полный объем, м 3 .

Если среда не пористая, то коэффициент С=1, а коэффициент а 2 =D.

В качестве начальных условий задается распределение плотности диффундирующего вещества вдоль рассматриваемой полой трубки в начальный момент времени:

Граничные условия могут быть заданы в следующей форме :

1) На границах полой трубки концентрация диффундирующего вещества поддерживается постоянной (в частности равной нулю) (граничные условия 1 рода):

2) Граничные плоскости трубки непроницаемы (граничные условия 2 рода):

; (2.63)

. (2.64)

3) Граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону Ньютона для конвективного теплообмена (граничные условия 3 рода):

, (2.65)

, (2.66)

где φ 1 (t), φ 2 (t) – плотность диффундирующего вещества в окружающей среде по оба конца трубки;

α – коэффициент проницаемости на концах.

Поставить краевую задачу для процесса диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты z и от времени t. Записать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке.

Функция Q(x,t), описывающая плотность взвешенных частиц в трубке определяется уравнением:

D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

ν – скорость оседания частиц, м/с.

Граничное условие сформулированному условию записывается в виде:

2.7 Уравнения линий передач

Рассмотрим кабель длиной l , находящийся под током. Кабель имеет следующие параметры, отнесенные к единице длины провода:

– активное сопротивление R, Ом/м;

– индуктивность L, Гн/м;

– емкостное сопротивление C, Ф/м;

– проводимость изоляции G, (Ом·м) -1 .

Напряжение U и ток I в каждый момент времени t в любой точке х могут быть найдены из следующих уравнений:

1) Уравнение телефона:

где Q(x,t)=U(x,t) или Q(x,t)=I(x,t).

2) Уравнение телеграфа (телеграфное уравнение) при условии пренебрежимо малых значений индуктивности и проводимости L=G=0:

. (2.68)

3) Уравнение радио (при малых значениях активного сопротивления и проводимости R=G=0):

, (2.69)

где k 2 =1/(LC).

Во всех уравнениях в качестве выходной распределенной величины могут рассматриваться как напряжение U(x,t), так и ток I(x,t).

Для уравнений телефона и радио, которые содержат вторую производную по времени t, необходимо задание начальных условий в виде самой распределенной величины в начальный момент времени вдоль всей линии, так и ее производной по времени t. Рассмотрим их расчет.

Пусть вдоль линии задано распределение напряжения и тока:

Граничные условия могут задаваться в различных вариантах. Рассмотрим самые распространенные, для одного из конца кабеля (линии), например х=l .

1) На конце включена батарея с постоянной электродвижущей силой Е, В:

2) Конец линии находится под синусоидальным напряжением с частотой ω:

3) Конец линии заземлен:

. (2.76)

4) Конец провода изолирован:

. (2.77)

5) В начале и в конце линии включены приемники с омическим сопротивлением R 0 и R l и самоиндукцией L 0 и L l :

; (2.78)

, (2.79)

где Е – электродвижущая сила батареи, В;

I 0 , I l – сила тока в начале и в конце линии, А.

6) В начале и в конце линии включены разделительные конденсаторы емкостью С 0 и С l :

; (2.80)

, (2.81)

где U l – напряжение на конце линии.

Линия передачи длиной 1000 км находится изначально в установившемся режиме с потенциалом 1200 В на передающем конце (х=0) и 1100 В на приемном конце (х=l =1000). Приемный конец линии внезапно заземляется, а на источнике сохраняется потенциал 1200 В. Сформулировать краевую задачу для потенциала в линии передач, предполагая индуктивность и проводимость изоляции пренебрежимо малыми.

Так как L=G=0, используем телеграфное уравнение вида:

где 0≤х≤ 1000.

Начальные условия (начальное установившееся напряжение) описываются уравнением вида:

,
.

Найти силу тока I(x,t) в проводе длиной l , по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует, а омическим сопротивлением и проводимостью можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при t=0) равен нулю, а начальное напряжение задается формулой: