Ее шансы выжить были равны нулю.

Разумеется, математика оперирует исключительно абстрактными понятиями. Самым ярким примером таких абстракций могут служить числа. Возьмём, к примеру, число 2. Абстрактному понятию «два» можно поставить в соответствие и 2 рубля, и 2 килокалории, и 2 яблока, и 2 щелчка мышью, и 2 кванта света, и даже 2 Вселенные.

Среди математических абстракций есть и более отвлечённые понятия, как-то: точка, прямая, бесконечность, ноль... Появившись позже других математических абстракций, ноль до сих пор остаётся самой большой загадкой. С одной стороны, ноль рассматривается в математике как число, поскольку он участвует в математических операциях наряду с остальными числами. С другой стороны, ноль обладает свойствами, не свойственными числам: в частности, он не может выступать в роли делителя (см. рисунок).

В связи с вышесказанным, предлагается чётко разграничить два разных математических понятия: «ноль» и «нуль» , которые в настоящее время повсеместно употребляются как синонимы .

1. Что такое «ноль»?

Чтобы определиться с понятием «ноля», вычленим класс математических задач, приводящих к его появлению.

1.1. Возникновение «ноля»

Единственным источником, или причиной появления «ноля» является задача вычитания числа из самого себя, либо её эквивалент, связанный с использованием так называемых отрицательных чисел, например:

• х - х = 0;
• х + (-х) = 0.

При этом важно иметь в виду, что объекты реального мира, сопоставленные с абстрактным понятием «ноля», никуда не исчезают, они остаются во Вселенной!

Например, если у вас было 2 рубля, и вы заплатили 2 рубля, то эти деньги просто перешли к другому владельцу. Даже если вы сожгли бумажные деньги, то они как физический объект не исчезли, а изменили своё состояние, превратившись в пепел и в энергию. И в первом, и во втором примере «ноль» будет означать отсутствие денег лично у вас, но вовсе не их исчезновение из Вселенной.

1.2. Применение «ноля»

Во-первых, «ноль» применяется в различных математических операциях, как-то:

• 0 + 0 = 0;
• 0 - 0 = 0;
• 0 + x = x;
• 0 - x = -x;
• 0 - (-x) = х;
• 0 · x = 0;
• 0 / x = 0;
• 0 x = 0;
• x 0 = 1;
• 0! = 1;
• √0 = 0;

Во-вторых, «ноль» находит применение для указания пустого разряда в позиционных системах счисления, например:

• 101 10 – в десятичном числе «сто один» 0 обозначает отсутствие разряда десятков;
• 1010 2 – в двоичном числе «десять» левый 0 обозначает отсутствие разряда с весом 4.

Характерно, что во всех приведенных примерах символ «0» используется в качестве цифры. Поэтому предлагается в задачах такого рода для обозначения цифры «0» употреблять термин «но ль», то есть слово с буквой «о », так как она своим внешним видом напоминает цифру «0». В английском варианте это может быть слово “zero”.

2. Что же такое «нуль»?

Определим теперь класс задач, где тот же самый термин выступает совершенно в другой роли, в связи с чем, требует для своего обозначения принципиально иного слова:

• прежде всего, отнесём сюда задачи, в которых «нуль» обозначает предел убывающей числовой последовательности, например, задачу последовательного деления отрезка или числа;
• сюда же следует отнести и задачу деления произвольного числа на «нуль»;
• и, наконец, использование «нуля» для обозначения размера математической точки.

Фактически, все эти задачи сводятся к одной, причём термину «ну ль» здесь соответствует уже ни цифра, ни число, а совершенно иное понятие, синонимом которого может служить термин «ничто », то есть полное отсутствие нечто. В этих задачах нечто последовательно уменьшается до своего бесследного исчезновения из Вселенной!

Именно по этой причине здесь будет уместен термин «нуль», созвучный с итал. nulla «ничто»; лат. nullus «никакой, ни один, несуществующий, пустой»; нем. null «нуль, недействительный, мизер»; англ. null «незначительный, несущественный, несуществующий, пустой».

3. Существует ли «нуль»?

Следует особо отметить, что просто различать термины «ноль» и «нуль» недостаточно.

Надо понимать, что термин «нуль»:

• не является цифрой;
• не является числом;
• не является синонимом термина «ноль»;
• не имеет никаких аналогов во Вселенной и, следовательно, не имеет графического образа;
• не реализуем практически, а математическое применение «ну ля» является грубейшим упрощением действительности. Так использование «нуля» в математике можно сравнить с применением топора для раскалывания атомных ядер в физике.

Самым главным следствием отождествления термина «нуль» с понятием «ничто» является пребывание математики (а с ней и всей науки!) в рамках самой примитивной трёхмерной модели Мироздания и принципиальная невозможность перехода к математическому описанию Высших миров многомерной Вселенной.

Литература

1. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.

Из этой статьи Вы узнаете:

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать "в лицо" неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения есть квадратный трёхчлен , а правая - число . Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты , и не равны . Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю .

Коэффициент по определению не может быть равным нулю , так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты или .

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1) , где ;
2) , где ;
3) , где .

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член , то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение , в котором хотя бы один из коэффициентов или равен нулю .

В этом определении есть очень важное словосочетание "хотя бы один из коэффициентов... равен нулю ". Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю .

Исходя из этого возможны три варианта : или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1)
2)
3)

Решение уравнения

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители , так как в левой части уравнения у членов и есть общий множитель , его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - нуль.

А затем будет работать правило "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл" . Всё очень просто!

Итак, план решения .
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом "произведение равно нулю..."

Уравнения подобного типа я называю "подарок судьбы" . Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю , а левую часть можно разложить на множители .

Решаем уравнение по плану .

1) Разложим левую часть уравнения на множители , для этого вынесем общий множитель , получим такое уравнение .

2) В уравнении мы видим, что слева стоит произведение , а справа нуль . Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл ". При переводе этого правила на язык математики получим два уравнения или .

Мы видим, что уравнение распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено ().

Решим второе уравнение . Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение .

Мы нашли , а нам надо найти . Чтобы избавиться от множителя , надо обе части уравнения разделить на .

Сейчас четырехмесячная Логан развивается как нормальный ребенок ее возраста

У будущей матери Келли Бурвилль во время беременности возникло редкое заболевание, что заставило ее тело бороться против будущего ребенка. Врачи сказали, что существует очень высокий риск, что у ее дочери будет так сильно поврежден мозг, что она не выживет. Даже после того, как ребенок родился, родителям было рекомендовано крестить их дочь, потому что она не должна была прожить дольше чем несколько часов.

В 36 недель беременности врач сказал Келли, что ребенок находится в заднем прилежании, что может привести к осложнениям во время родов, и направил ее на сканирование. Когда специалист начал процедуру, будущие родители поняли, что что-то идет не так, им сказали вернуться в понедельник. «Я спросила, что было не так, но он сказал, что не имеет права сообщить это нам. Это был долгий, ужасный уикенд. Мы не знали, что случилось», - вспоминает Келли.

Родители думали, что их дочь обречена и готовились к похоронам сразу после ее рождения

В следующий понедельник консультант сообщил страшные новости о том, что ребенок пострадал от кровотечение в мозг и предложил прервать беременность. «Наш мир развалился в тот момент. Я посмотрела на Каллума и залилась слезами, - вспоминает Келли. - Мы уже знали, что у нас будет девочка и купили все для нее. О прерывании беременности я даже и не думала. Врач объяснил, что если она и выживет, то не сможет ходить или говорить. Она не была бы в состоянии поесть и не знала бы, кто мы такие. Они сказали, что они не будут ничего делать для нее или как-то ее лечить после того, как она родится. Каллум и я старались не думать об этом, но мы выбрали несколько песен, которые мы хотели слышать на ее похоронах».

Логан не должна была выжить!

Кесарево сечение было запланировано за неделю до срока родов. И вот на свет появилась Логан. «Было удивительно услышать ее крик. Наша девочка была жива!» - вспоминает Келли. У девочки был опасно низкий уровень тромбоцитов, и ей сделали переливание крови. Супруги были помещены в отдельную комнату, чтобы провести немного оставшегося времени со своей дочерью. Логан был поставлен диагноз аллоимунной тромбоцитопении новорожденных, когда организм матери воспринимает своего будущего ребенка, как вредного захватчика. Антитела матери атакуют тромбоциты ребенка, что может привести к кровотечению в мозг, желудок или спинной мозг ребенка. Так произошло и с Логан, но дальнейшее напоминает чудо. Четырехмесячная Логан развивается как обычный ребенок ее возраста. «Она делает все, что вы ожидаете от здорового ребенка, - радуется молодая мама. - Консультант сказал, что дети очень гибкие. Они могут использовать другие неповрежденные части их мозга. Она у меня маленькое чудо!»

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 32. Случай, когда и главный и оба вспомогательных определителя системы уравнений равны нулю

В предыдущих параграфах, изучая систему уравнений

мы рассмотрели два случая:

1) случай, когда коэффициенты при неизвестных х и у не являются соответственно пропорциональными (Δ =/= 0);

2) случай, когда коэффициенты при неизвестных х и у соответственно пропорциональны, а коэффициенты при каком-нибудь неизвестном и свободные члены не являются соответственно пропорциональными (Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ x и Δ y отличен от нуля).

Осталось рассмотреть еще один случай, когда и коэффициенты при неизвестных х и у и свободные члены соответственно пропорциональны, то есть

a 1 = ka 2 , b 1 = kb 2 , c 1 = kc 2

a 2 = k"a 1 , b 2 = k"b 1 , c 2 = k"c 1

Для определенности мы рассмотрим первый из этих двух вариантов. Система уравнений (1) в этом случае имеет вид:

(2)

Очевидно, что каждая пара чисел (x 0 , y 0), удовлетворяющая второму уравнению системы (2), должна удовлетворять и первому уравнению этой системы. Поэтому, для того чтобы решить систему уравнений (2), достаточно решить одно лишь второе уравнение этой системы. Другими словами, достаточно найти все такие пары чисел (x 0 , y 0), которые обращают уравнение

a 2 х + b 2 у = c 2

в числовое равенство.

Предположим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов a 2 и b 2 отличен от нуля. Пусть, например, b 2 =/= 0. Тогда в качестве x 0 можно выбрать любое число t ; y 0 в этом случае найдется из условия a 2 t + b 2 y 0 = c 2 , откуда .

Итак, в рассматриваемом случае система уравнений (2) имеет бесконечное множество решений. Все они задаются формулами

где t - любое число.

Этот результат мы получили в предположении, что хотя бы один из коэффициентов a 2 и b 2 отличен от нуля. А если оба они равны нулю? Тогда система уравнений (2) имеет вид:

Такая система не представляет особого интереса. Если c 1 = c 2 = 0, то решением ее является любая пара чисел (x 0 , y 0). Если же хотя бы одно из чисел c 1 и c 2 отлично от нуля, то система (3) несовместна.

Очевидно, что случай, когда a 2 = b 2 = 0, будет автоматически исключен, если дополнительно потребовать, чтобы среди коэффициентов при неизвестных x и у в системе уравнений (1) был хотя бы один отличный от нуля коэффициент.

Мы доказали следующую теорему.

Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены в системе уравнений (1) соответственно пропорциональны и среди коэффициентов при неизвестных есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля, то система уравнений (1) имеет бесконечное множество решений. Все они получаются как решения одного того уравнения, которое содержит отличный от нуля коэффициент при неизвестном.

Пример. Решить систему уравнений

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены этой системы уравнений соответственно пропорциональны. Поэтому все решения этой системы уравнений можно получить как решения одного лишь первого уравнения

х -2у = 3.

Полагая х = t , находим, чтo у = 1 / 2 (t - 3).

Итак, данная система уравнений имеет бесконечное множество решений:

х = t , у = 1 / 2 (t - 3),

где t - любое число. В частности, при t = 0 получается решение х = 0, у = - 3 / 2 , при t = 5 - решение х = 5, у = 1 и т. д.

Доказанную выше теорему полезно сформулировать и в терминах определителей.

Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы уравнений (1) соответственно пропорциональны, то, как легко получить непосредственно, используя (2),

Δ = Δ x = Δ y = 0.

Можно доказать и обратное утверждение. Если Δ = Δ x = Δ y = 0 и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных системы уравнений (1) отличен от нуля, то коэффициенты при неизвестных и свободные члены такой системы уравнений будут соответственно пропорциональными. На доказательстве этого факта мы останавливаться не будем, хотя в принципе это и можно было бы сделать. Но, приняв его на веру, мы можем теперь доказанную выше теорему сформулировать следующим образом.

Если и главный и оба вспомогательных определителя системы уравнений (1) равны нулю и среди коэффициентов при неизвестных есть хотя бы один отличный от нуля коэффициент, то система уравнений (1) имеет бесконечное множество решений. Все они получаются как решения одного того уравнения, которое содержит отличный от нуля коэффициент при неизвестном.

Упражнения

241. (У с т н о.) Показать, что каждая из данных систем уравнений имеет бесконечное множество решений:

Решить системы уравнений (№ 242-244):

245. Дана система уравнений

а) Сколько решений имеет каждое уравнение этой системы?

б) Сколько решений имеет система?

246. Сколько различных решений имеет однородная система уравнений