После освоения заданий первого раздела занятий по композиции следует обратиться к разделу специальных заданий. Одно из них — задание на составление геометрических фигур под названием .
В этом задании перед учеником стоит задача взять за основу геометрический элемент — модуль, на его основе разработать орнаментальные конструкции и скомбинировать из них циклические композиции.
Название Комбинаторика происходит от латинского слова «combina» , что переводится как «сочетать, соединять» . Чаще этот термин используется в области математики, где применяется в изучении дискретных объектов. К счастью, в художественной сфере с комбинаторикой дело обстоит проще. Комбинаторика в искусстве , в частности, в орнаменте — это метод сочетания, расположения и упорядочивания отдельных изображений.
Несмотря на техническое происхождение, комбинаторика имеет свои непосредственно художественные стороны.
Впервые принципы комбинаторики сформулировали и начали использовать на практике в 1920-х советские конструктивисты, в том числе А. Родченко, В. Татлин, К. Мельников. Метод комбинаторики был применен как один из видов проектирования. Само направление появилось как ответ на запрос нового времени, новых подходов к производству, оформлению и агитации, где искусство становилось непосредственной частью созидательного процесса.
Метод активно применялся для проектирования целого комплекса утилитарных бытовых вещей: одежды, мебели, предметов интерьера, а также для средств визуальной презентации: сцен, выставочных павильонов, стендов и т.д.
Определение комбинаторики звучит довольно просто, но логично – комбинирование новых элементов из набора простых геометрических форм, нахождение соединений, сочетаний при перестановке данных элементов.
Все искусство конструктивизма построено на этом принципе.
Описание задания Комбинаторика.
Первоочередная задача, стоящая перед учеником, найти комбинаторный элемент, из которого будет собираться дальнейшая композиция.
Комбинаторный элемент чаще всего представляет собой геометрическую форму с прямолинейными контурами, так как любые формы с округлыми и криволинейными абрисами обладают меньшими формообразующими способностями нежели формы с прямыми линиями типа квадрат или треугольник.
Далее путем соприкосновения форм, перестановок, поворотов, различных способах стыковки необходимо создать безразрывные, циклические цепи орнаментов. Из них могут собираться также и раппортные полотна, представляющие самостоятельные графические композиции.
Для составления цепочек элементов нужно использовать такие композиционные приемы, которые дают максимальную эстетическую и декоративную выразительность. Сам элемент должен выглядеть как составная часть конструкции, органично помещенный в структуру орнамента.
В нашей мастерской строятся таким образом, чтобы ученик принимал активное участие в творческом процессе. Занимался поиском изобразительных образов, самостоятельно выполнял эскизы, предлагал варианты. Задача педагога — оказывать помощь советами и выбором перспективного направления для реализации эскизов в проект.
Практика показывает, что такой способ намного эффективнее, чем синхронное по-вторение действий за педагогом, где ученик должен механически копировать каждое движение. Такой подход уместен в других художественных дисциплинах, но только не в композиции, так как развивает технику, но оставляет незадействованным важный навык – способность генерировать и придумывать художественные идеи .
На данном этапе прохождения мы используем полезное дополнение к заданию, которое совершенно точно пригодится в художественной деятельности. Ученик, представляя свой проект, должен обосновать выбор комбина-торных элементов и описать графическую концепцию, получаемую в процессе комбинирования. Это помогает сосредоточиться на выполнении задания, осмысленно подходить к своим действиям, а также представлять конечный вид своей работы.
Задания подобного типа нужны для:
- развития интуитивных навыков построения композиции;
- поиска самого оптимального сочетания;
- решения изобразительных задач минимальными средствами.
Задание выполняется на листе форматом А2 графическими материалами, такими как ручки, маркеры, линнеры и рапидографы, можно использовать гуашь или темперу.
Подробную информацию о записи на занятия, стоимости и времени, а также, какие материалы принести с собой на первое занятие, вы можете узнать по телефонам: 8 903 669-80-89 и 8 903 669-49-59 или написать нам на почту [email protected]
Олимпиадные задачи этого раздела относятся к разнообразным оценкам, связанным с размещениями, покрытиями, упаковками и замощениями, различными комбинациями фигур. Здесь используются самые общие свойства, связанные с расположением фигур на плоскости и в пространстве. Отметим лишь следующие:
Теорема Жордана: любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная делит плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю, причём любой путь из точки внутренней области в точку внешней пересекает эту ломаную, а две точки каждой области можно соединить путём, не пересекающим ломаной.
Выпуклое множество – это множество, которое вместе с каждыми двумя точками содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.
Выпуклая оболочка фигуры – это наименьшее выпуклое множество, содержащее эту фигуру; выпуклая оболочка конечного множества – многоугольник (в пространстве – многогранник) с вершинами в некоторых из данных точек.
Вместе с данной фигурой бывает полезно рассмотреть её r-окрестность : множество точек, наименьшее расстояние от которых до точек фигуры меньше чем r .
Две фигуры (в частности, точки) находятся на расстоянии не меньшем 2r , если и только если их r- окрестности не пересекаются.
Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру F, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры F. При этом покрывающие фигуры могут пересекаться.
Упаковка – это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных.
В некоторых задачах фигура разрезается на меньшие части (например, на две одинаковые), или наоборот, из нескольких данных фигур составляется одна большая. Это – задачи на разрезание или замощение . Замощение является одновременно покрытием и упаковкой.
Задачи с решениями
1. Можно ли покрыть равносторонний треугольник двумя равносторонними треугольниками меньшего размера?
Каждый из меньших треугольников может покрыть только одну вершину большего, но вершин три, а треугольников только два.
Ответ: нельзя.
2. Из пяти данных окружностей любые четыре проходят через одну точку. Докажите, что найдётся точка, через которую проходят все пять окружностей.
1-я, 2-я, 4-я и 5-я окружности проходят через точку А;
1-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку В;
2-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку С.
Мы видим, что все три точки А, В и С не могут быть различными, так как они лежат на 4-й и 5-й окружностях, а две окружности имеют не больше двух точек пересечения. Значит, согласно принципу Дирихле, какие-то две из точек А, В и С совпадают.
Пусть, например, совпадают точки А и В. Тогда все окружности проходят через точку А. Доказательство завершено.
3. На какое наименьшее число неперекрывающихся тетраэдров можно разбить куб?
Легко видеть, что куб можно разбить на 5 тетраэдров. На рисунке это тетраэдры АА"В"D", АВ"ВС, АСDD", В"С"D"С и АСD"В".
Докажем теперь, что на меньшее число тетраэдров разбить куб нельзя. Пусть куб с ребром а разбит на несколько тетраэдров. Имеются, по крайней мере, два из них, основания которых лежат на грани АВСD куба. Точно так же имеются по крайней мере 2 тетраэдра с основаниями на грани А"В"С"D".
Эти тетраэдры заведомо отличны от первых двух, так как у тетраэдра не может быть двух параллельных граней. Итак, у нас уже есть 4 тетраэдра. Их общий объем не больше чем 2а 3 /3, то есть меньше объёма куба. Таким образом, на 4 тетраэдра куб разбить нельзя.
4. На окружности отмечено n точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся (n–1)-звенных ломаных с вершинами в этих точках?
Первую точку можно выбрать n способами. Каждую из следующих n–2 точек можно выбрать двумя способами, так как она должна быть соседней с одной из ранее выбранных точек (иначе получится самопересекающаяся ломаная). Поскольку начало и конец при таком подсчёте не различаются, результат нужно разделить на 2. Следовательно, всего имеется
n·2 n–2 /2 = n·2 n–3
Ответ: n·2 n–3 .
5. а) Выбраны шесть цветов, и требуется раскрасить шесть граней куба в разные цвета. Сколькими различными способами можно это сделать? (Различными считаются те раскраски, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.)
б) Сколькими различными способами можно раскрасить грани додекаэдра в двенадцать цветов?
a) Куб можно повернуть так, чтобы грань, окрашенная первым цветом, заняла заданное положение. Для окраски противоположной ей грани есть пять различных вариантов; разные раскраски противоположной грани дают различные раскраски куба.
Среди оставшихся четырёх граней можно выбрать грань, окрашенную данным цветом, и перевести её в данное положение (не меняя при этом положение первых двух граней). Разные раскраски трёх оставшихся граней дают различные раскраски куба. Одну из этих граней можно окрасить тремя способами, одну из оставшихся – двумя. Всего получаем
5 · 3 · 2 = 30
различных раскрасок.
Ответ: 30 способами.
б) Количество всех возможных раскрасок додекаэдра равно 12! = 1 · 2 · ... · 12. Чтобы найти число различных раскрасок, нужно поделить 12! на число самосовмещений додекаэдра. Любую из 12 граней можно перевести в любую другую. Кроме того, есть пять поворотов (включая тождественный), сохраняющих данную грань. Всего получается 60 самосовмещений. Поэтому количество различных раскрасок додекаэдра равно
12! / 60 = 7983360.
Ответ: 7983360 способами.
6. В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что некоторая прямая пересекает все эти многоугольники.
Спроектируем все многоугольники на некоторую прямую. Проекция каждого многоугольника является отрезком, причём по условию любые два отрезка имеют общую точку. Отсюда следует, что все отрезки имеют общую точку (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть данную прямую как числовую ось и взять наименьший из правых концов этих отрезков). Прямая, перпендикулярная к данной и проходящая через отмеченную точку, пересекает все многоугольники.
7. Каждая точка плоскости окрашена в красный или голубой цвет. Докажите, что найдется прямоугольник, все вершины которого окрашены в один и тот же цвет.
Согласно принципу Дирихле, из семи точек не меньше четырёх должны иметь одинаковый цвет. Выберем из семи точек на прямой p четыре точки Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , окрашенные в один цвет, скажем, в красный. Рассмотрим ещё две прямые q и r, параллельные прямой р, и две четверки точек на них (Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4) и (R 1 , R 2 , R 3 , R 4), полученные ортогональным проектированием выбранной четвёрки на эти прямые. Рассмотрим прямоугольники с вершинами в этих точках и в точках Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 . Теперь, если две из точек, например, Q i и Q j – красные, то все точки прямоугольника Р i Q i Q j Р j также красные. Аналогично и для двух красных точек из R 1 , R 2 , R 3 , R 4 .
Если ни один из этих случаев не имеет места, то некоторые три (или более) точек на прямой q и три (или более) точек на прямой r должны быть голубыми. Но эти тройки голубых точек расположены так, что среди них обязательно найдутся по паре точек, лежащих одна под другой и, таким образом, образующие голубой прямоугольник, откуда и следует утверждение задачи.
Замечание: отметим, что этот результат справедлив для любой области на плоскости, заключённой внутри сколь угодно малой окружности.
8. Через фиксированную точку пространства проводим плоскости так, чтобы разделить пространство на возможно большее число частей. Одна плоскость разделит пространство на две части, две пересекающиеся плоскости – на четыре части, три пересекающиеся в некоторой точке плоскости и не имеющие другой общей точки делят пространство на восемь частей.
а) Какое максимальное число частей можно получить при четырех плоскостях?
б) Какое – при n плоскостях?
Вместо всего пространства будем делить шар, через центр которого проводим плоскости. На поверхности шара (на ограничивающей его сфере) возникнут взаимно пересекающиеся большие окружности. Примем одну из них за экватор и все эти окружности спроектируем из центра шара на плоскость, касательную к шару в полюсе. Проекциями наших окружностей (за исключением одной, являющейся экватором и вовсе ни во что не проектирующейся) будут прямые. Следовательно, нужно вычислить максимальное число областей плоскости, разделенной n–1 прямыми. Методом индукции можно получить (смотрите задачу 9 в разделе ), что оно равно
1 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n–1) = 1 + n(n–1)/2.
Так как на сфере имеется вдвое больше областей, чем на её плоской проекции (помним об экваторе, который присутствует на сфере и отсутствует на плоскости проекции), то искомое число будет вдвое больше вычисленного нами выше, следовательно, оно равно 2 + n(n–1).
В частности, при n = 4 искомым числом является 14.
Ответ: а) 14; б) 2+n(n–1).
9. Имеется несколько квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что такими квадратами всегда можно покрыть квадрат площади 1.
Если покрывать квадрат набором квадратов, сторона каждого из которых уменьшена до ближайшего меньшего числа вида 1/2 k , k = 1, 2, ... , то эти квадраты можно разместить без наложений (смотрите рисунок).
Поскольку площадь каждого квадрата уменьшилась менее чем в 4 раза, то сумма их площадей больше 1, так что они заведомо покроют весь квадрат.
10. Необходимо разделить треугольник на 19 треугольников так, чтобы в каждой вершине полученной фигуры (а также в вершинах большого треугольника) сходилось одинаковое число сторон. Число 19 нельзя заменить большим числом, но можно заменить меньшими числами. Какими же?
Чтобы разделить треугольник на некоторое число треугольников так, чтобы в каждой вершине образованной фигуры сходилось одинаковое число сторон, воспользуемся правильными многогранниками, грани которых являются треугольниками. Это могут быть следующие многогранники: правильные тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, и только они.
Если внутри тетраэдра мы выберем точку, лежащую близко от центра одной из граней, и из этой точки спроектируем рёбра тетраэдра на плоскость, то получим первую фигуру, изображенную на следующем рисунке.
Она состоит из трех треугольников, соответствующих граням тетраэдра; четвертая грань при проектировании перешла в большой треугольник ABC. В каждой вершине фигуры сходятся три стороны, так как в каждой вершине тетраэдра сходятся три ребра.
Подобным же образом, при помощи центральной проекции, получим из правильного октаэдра вторую фигуру на рисунке, состоящую из семи треугольников, в каждой вершине которой сходится четыре стороны, а из правильного икосаэдра – третью фигуру, состоящую из 19 треугольников, в каждой вершине которой сходится пять сторон.
Не существует фигуры, отвечающей условиям задачи и отличающейся от изображенных трёх, так как ей соответствовал бы правильный многогранник, отличающийся от трёх упомянутых выше, а такого не существует.
Итак, возможное число треугольников, меньшее 19 – это 4 и 7.
Задачи без решений
1. На столе лежат 15 журналов, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 7 журналов так, чтобы оставшиеся покрывали не менее 8/15 площади стола.
2. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько имеется различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
3. В выпуклом n-угольнике (n > 3) проведены все диагонали, причём никакие три из них не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.
4. Докажите, что нельзя покрыть всю плоскость сетью треугольников так, чтобы в каждой вершине сходилось пять треугольников.
5. На плоскости проведено n прямых (n > 2), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Докажите, что число окрашенных областей не превосходит n(n+1)/3.
На рис. 6.1 изображены простые геометрические тела, из которых должна состоять экзаменационная композиция. Кроме уже знакомых вам тел здесь представлены плашки и палочки. Плашки — дополнительные плоские квадратные, круглые и шестиугольные элементы, высота которых равна одной восьмой ребра куба. Палочки — линейные элементы композиции, длина которых равна ребру куба. Кроме того в композиции могут быть использованы тела одних пропорций, но разных размеров. Это так называемые композиции с масштабированием (поскольку на листе в таком случае присутствуют одинаковые тела, но как бы взятые в разном масштабе). Рассмотрите композиции, выполненные абитуриентами в последние годы (рис. 6.2-6.20).
Форма экзаменационной композиции, ее размер, размещение на листе, степень и характер взаимодействия геометрических тел уже давно сложились. Все эти позиции в той или иной степени отражены в экзаменационном задании. Конечно, следует сразу оговориться, что речь пойдет о том экзаменационном задании, которое существует на сегодняшний день — оно, возможно, будет изменено на тот момент, когда вы будете читать этот раздел пособия. Однако будем надеяться, что суть задания будет сохранена, и вы сможете воспользоваться нашими советами и рекомендациями.
Прежде всего, перечислим те критерии, по которым будут оценивать ваши композиции:
Соответствие выполненного рисунка заданию;
Композиционная идея в целом, гармоничность композиционного решения и сложность композиции;
Композиция листа;
Грамотное изображение отдельных элементов композиции, правильность перспективы и врезок;
В своей работе выберите сами близкую вам тему. Это может быть массивная устойчивость или легкое, устремленное в некую условную даль или ввысь движение. Движение может быть закольцовано или погашено, остановлено. Масса может быть плотной или разряженной. Композиция может строиться на метрических, равномерных закономерностях или же, наоборот — на простом или сложном ритме. В ней может присутствовать равномерное распространение массы или резкие, выделенные акценты. Перечисленные свойства могут комбинироваться (кроме тех, конечно, которые исключают друг друга в одной работе). Следует помнить, что ощущение сложности композиции возникает от восприятия сложной гармонии некоего нетривиального замысла, а не только от сложности врезок и уж точно не от нагромождения множества тел.
Правильная — обязательное условие хорошей композиции. Вы, наверное, уже заметили, что когда ваша композиция состоит всего из нескольких геометрических тел, сохранить правильную перспективу на листе достаточно сложно. Даже если в основе работы практически идеально построенный куб, прибавление каждого нового тела ведет к постепенному нарастанию искажений.
Отследить их и поправить достаточно сложно, особенно в первых композициях, когда опыт и практические навыки еще невелики. Именно поэтому для верного определения раскрытия всех граней и направления всех линий на листе используют различные способы упорядочения всех этих взаимосвязанных позиций, приведения их в единую систему. Одна из таких систем подробно описана в следующем задании. Это так называемая сетка — пространственная структура, определяющая раскрытие граней геометрических тел и направление линий по всему листу.
В процессе подготовки к экзамену «сетка» поможет вам собрать воедино все многообразие задач, связанных с процессом построения композиции, и разом, легко решить их. Безусловно, «сетка» — вещь полезная, но и в ней, конечно, есть свои плюсы и минусы.
С одной стороны, изображая композиции на основе «сетки», вы, конечно, тратите некоторое (порой довольно значительное) время на подготовительный этап ( самой «сетки»), тем самым уменьшая время работы над собственно композицией.
С другой стороны, «сетка» может значительно сократить время на решение чисто технических задач, связанных с определением направлений горизонтальных прямых и раскрытием различных поверхностей. Конечно, определенный навык позволит вам свести к минимуму временные затраты на «сетку», но если в «сетке» будет допущена ошибка (что в стрессовых условиях экзамена вполне вероятно), то заметить эту ошибку вы сможете, только нарисовав первое геометрическое тело.
Что делать в таком случае — исправлять сетку или отказаться от нее вовсе, чтобы наверстать упущенное время? Очевидно лишь то, что начинать работу над экзаменационной композицией с «сетки» следует, только если к экзамену вы научились делать «сетку» быстро и качественно, доведя этот процесс почти до автоматизма, и легко строите композицию на ее основе.
Еще один вопрос, который часто волнует абитуриента — вопрос о врезках: какие врезки стоит делать, насколько сложными они должны быть, и даже стоит ли их делать вообще? Начнем с того, что врезки в экзаменационной композиции можно и не делать — в экзаменационном задании использование врезок лишь рекомендовано и не является обязательным условием, однако следует понимать, что композиция без врезок значительно уступает в сложности и художественной выразительности. Не забывайте, что вашу композицию будут оценивать в ряду других, а следовательно, делая композицию без врезок, вы заведомо снижаете конкурентоспособность собственной (заботы. Конечно, год от года уровень экзаменационной композиции растет, и это диктует включение в композицию сложных врезок, которые делают экзаменационную работу выразительнее и интереснее. Однако их выполнение требует дополнительного времени, которое в условиях экзамена ограничено. В этой ситуации все зависит от вашего опыта — если вы усердно готовились к экзамену по композиции, скорее всего у вас уже есть свои любимые врезки, которые могут быть достаточно сложными, но, обрисованные много раз, они изображаются легко и, следовательно, быстро. Но не стоит увлекаться сложными врезками, переусложнить работу — помните, что даже композиция, выполненная с применением простых врезок, может быть достаточно сложной и выразительной. Важно также сказать о том, насколько геометрические тела должны врезаться друг в друга. Порой в композициях геометрические тела врезаны так незначительно, что создается ощущение, будто они не врезаны друг в друга, а лишь едва соприкасаются. Такие композиции, как правило, вызывают ощущение нестабильности, неустойчивости и незавершенности. У зрителя появляется непреодолимое желание сделать такую композицию плотнее, глубже врезать друг в друга геометрические тела. Анализируя такую работу, трудно говорить о ней как о композиции — группе гармонично соподчиненных объемов. В других композициях тела так глубоко врезаны друг в друга, что уже непонятно — какие же это тела? Такая композиция, как правило, похожа на сложную массу с торчащими из нее частями геометрических тел и не создает у зрителя ощущения гармонии. Тела в ней перестают существовать как самостоятельные объекты, превращаясь в геометрическую смесь. Если не рассматривать такие крайние случаи (когда геометрические тела почти не врезаются друг в друга или когда они превращаются в единую плотную массу), для создания композиции средней плотности следует придерживаться следующего правила: геометрическое тело должно врезаться в другое (или другие) геометрические тела не более чем наполовину, лучше — на одну треть. Кроме того, желательно, чтобы зритель всегда мог определить основные размеры геометрического тела по его видимой части. Иными словами, если в какое-либо тело врезается , на рисунке должна остаться видимой его вершина, значительная часть боковой поверхности и окружности основания. Если в какое-либо тело врезается , то видимыми должны остаться части боковой поверхности цилиндра и окружностей его оснований. Особо следует сказать о врезках кубов и четырехгранников — в композиции эти геометрические тела составляют фон или, своего рода, каркас для расположения и врезки других, более сложных в построении геометрических тел. Поэтому допускаются врезки, когда видимые части кубов и четырехгранников составляют менее половины их объемов.
КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Раздел математики, объединяющий задач, в к-рых исследуются экстремальные свойства комбинаторного характера для систем фигур. Эти задачи связаны, в первую очередь, с оптимальным в нек-ром смысле расположением выпуклых множеств. Примером одной из старейших задач такого рода может служить задача о 13 шарах: каково максимальное равных материальных шаров, к-рые можно приложить к равному всем им шару в евклидовом пространстве? И. Кеплер (J. Kepler, 1611) указал число 12, но строгое этой задачи было дано в сер. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden) и К. Шютте (К. Schutte).
Термин "К. г.", по-видимому, впервые появился в 1955 (см. ). Обычно с этим годом связывают возникновение К. г. как направления в математике, хотя к ней можно отнести и боЛее ранние результаты (см., напр., ). Для К. г. характерна наглядность ее задач. В К. г. широко используются комбинаторные соображения и сочетания приемов из различных областей математики (топологии, функционального анализа, геометрии в целом, теории графов и др.).
Одной из центральных групп задач К. г. являются задачи о разбиении фигур на части, напр. Ворсука проблема.
Большую группу задач К. г. составляют. задачи о покрытиях,
в к-рых исследуется возможность покрытия заданного множества фигурами специального вида (см., напр., Хадвигера гипотезу
о покрытии выпуклого тела минимальным числом меньших гомотетичных ему тел с коэффициентом гомотетии k,
0
К. г. родственна дискретной геометрии, см., напр., определенным образом связанную с гипотезой Хадвигера и задачами освещения Эрдёша задачу о нахождении максимального числа точек евклидова пространства R n , любые три из к-рых образуют с углами, нe превосходящими p/2.
К. г. тесно примыкает к теории выпуклых множеств. См., напр., Хелли теорему, к-рая описывает пересечения нек-рых семейств выпуклых множеств в зависимости от пересечения их подсемейств.
Лит. : Нadwiger Н., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandrоff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, В., 1935; Xадвигер Г., Дебруннер Г., Комбинаторная плоскости, пер. с нем., М., 1965; Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; Нadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Яглом И. М., О комбинаторной геометрии, М., 1971; Болтянский В. Г., Солтан П. С, Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.
КОМБИНАТОРНАЯ - конечное Sвместе с отношением замыкания определенным для всех подмножеств Аиз S(т. е. влечет и но не обязательно = удовлетворяющим условиям: 1) для пустого множества 2)для каждого элемента 3) если и и если но то (свойство замены). Замкнутые множества, или плоскости образуют геометрическую решетку. Подмножество независимо, если для всех все максимальные независимые множества, или базисы, имеют одинаковую . Обычным образом определяются К. г. и сужение К. г. на подмножество А. Мощность базисов сужения К. г. на Аназ. рангом (А)множества А. Ранг удовлетворяет условию:
Множество для к-рого r(А)<|А|, наз. зависимым; минимальные зависимые множества К. г. наз. циклами. Опуская условия 1) и 2) в определении К. г., получают определение предгеометрии, или матроида. Рассматриваются также бесконечные К. г., при этом требуется конечность базисов.
Пример К. г.- подмножество Sвекторного пространства Vс отношением
определенным для всех где sр(A) - , натянутая на Ав V.
Одной из основных проблем в теории К. г. является так наз. критическая проблема. Для К. г., заданной множеством Sв проективном пространстве размерности пнад полем Галуа, эта проблема состоит в том, чтобы найти наименьшее положительное k (критическую экспоненту), для к-рого существует семейство гиперплоскостей H 1 , ..., H k , различающих S(семейство гиперплоскостей различает множество S, если для всякого tОSсуществует хотя бы одна , не содержащая t).
Лит. : Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 р. 509-33; Сrаро Н. Н., Rota G. С, On the foundations of combinatorial theory: combinatorial geometries, Camb.- L., 1970; Tutte W. Т., Introduction to the theory of matroids, N. Y., 1971; Уилсон Р., Введение в теорию графов, пер. с англ., М., 1977; Рыбников К. А., Введение в комбинаторный анализ, М., 1972.
А. М. Рееякин.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:
В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия
Часть математики, первоначальным предметом к рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем… … Математическая энциклопедия
N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия
Множества X любое семейство подмножеств этого множества, объединение к рого есть X. 1) Под П. топологического пространства, равномерного пространства и вообще какого либо множества, наделенного тем или иным строением, понимают произвольное П.… … Математическая энциклопедия
Гипотеза Борсука опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что Любое тело диаметра d в n мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. Гипотеза была выдвинута… … Википедия
Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия
Случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия
Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия
Теорема Хелли классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Предположим, что есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства, такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех… … Википедия
- (парадокс 18 точек) одна из задач вычислительной геометрии. Поместим на отрезок точку с номером 1. Затем добавим ещё одну с номером 2 таким образом, чтобы они оказались в разных половинах отрезка. Третью точку добавим таким образом, чтобы все три … Википедия
Книги
- Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии , Фоменко А., Мищенко А., Соловьев Ю.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов…
К комбинации геометрических тел следует отнести расположенные рядом друг с другом или сочленённые между собой различные геометрические объекты (плоскости, призмы, конусы, цилиндры и т. д.), за исключением опорной поверхности.
Рассмотрим построение тени, падающей от выступающей части предмета на поверхность того же предмета. На рис. 5.14 задана призматическая поверхность в прямоугольной изометрии, которую можно рассматривать, как комбинацию из двух сочленённых между собой призм. Построение тени призмы на плоскость x Oy было показано ранее (рис. 5.7).
В данном примере показано ещё построение тени на плоскость четырёхугольника BEE 1 B 1 . Точка, принадлежащая тени бокового ребра, является тенью искомой точкиK .
Значит, для определения положения точки K надо провести обратный луч (его направление противоположно лучам света) из точкиK 0 параллельноr до пересечения с ребромEE 1 . Соединив точкиB иK , получим границу собственной тени на плоскости четырёхугольникаBEE 1 B 1 .
В результате выполненных построений границей собственной тени является ломаная линия ABKEMCC 1 M 1 E 1 B 1 A 1 , а падающей тени - многоугольникA 1 A 0 K 0 E 0 M 0 C 0 C 1 M 1 E 1 B 1 A 1 .
Н
а
рис. 5.15 задан конус в прямоугольной
изометрии, направление световых лучейr
и их вторичных
проекцийr
1
,
а также задана плоскостьP
xOy
,
на которую должна падать тень от конуса.
Чтобы построить падающую и собственную тень от конуса, сначала находим тень C 0 от точкиC на плоскостьx Oy . Затем через точкуC 0 проводим касательныеC 0 D иC 0 B к контуру основания конуса. Отмечаем точкиE иF . ОтрезокEF определяет линию перегиба падающей тени.
Как видно, тень
от
точкиC
на плоскостьP
находится на линии
пересечения горизонтально-проецирующей
плоскости, в которую заключается световой
луч, и плоскости
P
.
Соединив
точкиE
иF
с точкой
,
получим контур части тени, падающей на
плоскость
P
. Границы
собственной тени конуса определяются
образующимиCD
иCB
.
На рис. 5.16 рассмотрен пример построения тени, падающей от горизонтально-проецирующе-го стержня AB на конус. По ортогональным проекциям стержняAB и конуса построим их изображения в прямоугольной изометрии. Затем определяем падающую и собственную тени конуса при заданном направлении светового лучаr и его вторичной проекции r 1 . Потом строим тень отAB на плоскость х Oy . Световые лучи, проходящие через AB , образуют горизонтально-проецирущую плоскостьΣ , которая пересекает коническую поверхность по гиперболеEMKT .
Гиперболу можно построить, используя вторичные проекции точек, принадлежащих гиперболе. Например, взяв на следе Σ 1 точкуM 1 (вторичная проекция), проведём через неё линиюOD (проекция образующейCD ). Соединим точкуC с точкойD и на образующейCD отметим точкуM , принадлежащую гиперболе (см. рис. 4.8), причём точкаK , лежащая на границе собственной тени конуса, определена с помощью обратного лучаK 0 K .
На рис. 5.17 представлено построение тени от фигуры, состоящей из двух сочленённых поверхностей – цилиндра и конуса.
Сначала можно построить собственную и падающую тени от конуса по заданному направлению светового луча r и его вторичной проекции r 1 , а затем - собственную и падающую тени от цилиндра (см. построение).
Необходимо отметить, что границы собственных теней конуса и цилиндра на линии их общего основания не совпадают.
___________________________________________
С О Д Е Р Ж А Н И Е
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ………………………………………...………3
В В Е Д Е Н И Е………………………………………………………………...4
1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ……………………………………………...………...6
1.1. Основные понятия и определения…………………………………..……6
1.1.1. Геометрические фигуры. ………………………………………….6
1.1.2. Элементы и особенности метода проекций………………………6
1.2. Системы проецирования………………………………………..….……...7
1.2.1. Центральная система проецирования…………………….……….7
1.2.2. Параллельная система проецирования……………………………8
1.2.3. Свойства изображений……………………………………………..8
1.2.4. Свойства параллельных проекций………………………………...9
1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры…………………..……12
1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа…………………………..12
2.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР…...…14
2.1. Проекции точки…………………………………………………………..14
2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки…………………...14
2.1.2. Замена плоскостей проекций…………………………….……….16
2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки……………………18
2.2. Проекции прямых линий………………………………………………...22
2.2.1. Прямые общего положения………………………………………22
2.2.2. Прямые уровня……………………………………….……………23
2.2.3. Проецирующие прямые…………………………………………..24
2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой
общего положения……………………………………………………….25
2.2.5. Взаимное положение прямых…………………………………….26
2.3. Проекции кривых линий………………………………………………....29
2.3.1. Плоские кривые линии……………………………………………29
2.3.2. Пространственные кривые линии……………………………..…31
2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже……….…..34
2.4.1. Задание поверхности с помощью определителя………….……..34
2.4.2. Каркас поверхности………………………………………….……36
2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя…….………..36
2.4.4. Очерк поверхности………………………………………..………37
2.4.5. Проекции плоскостей……………………………………………..38
2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве…….….39
2.4.7. Примеры на инцидентность………………………………………43
2.4.8. Параллельность прямой и плоскости… ………………………….45
2.4.9. Параллельные плоскости…………………………………….…...45
2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей
проекций………………………………………………………….………46
2.4.11. Классификация поверхностей…………………………………..48
2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники………………...48
2.4.13. Поверхности вращения………………………………………….52
3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.………………………………………...…….60
3.1. Пересечение геометрических объектов, когда оба
геометрических объекта проецирующие………….………………………...60
3.1.1. Построение линии пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей ……………………………………………..60
3.1.2. Виды линий пересечения прямого кругового цилиндра
с плоскостями…………………………………………………………….60
3.1.3. Определение проекций линии пересечения двух круговых
цилиндров………………………………………………………………..62
3.2. Пересечение геометрических объектов, когда один из
геометрических объектов проецирующий, а другой непроецирующий…..62
3.2.1. Построение линии пересечения двух плоскостей …………...…62
3.2.2. Линии пересечения конической поверхности с плоскостями….63
3.2.3. Построение проекций и натуральной величины линии
пересечения конической поверхности с плоскостью …………………63
3.2.4. Построение проекций и натуральной величины линии пересечения сферы с плоскостью …………………………………………….….64
3.2.5. Построение проекций линии пересечения конуса и призмы…..65
3.3. Пересечение геометрических объектов, когда оба
геометрических объекта – непроецирующие…….…………………………65
3.3.1. Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей...65
3.3.2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего
положения………………………………………………………………..66
3.3.3. Построение проекций линии пересечения двух кривых
поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей…..67
3.3.4. Пересечение соосных поверхностей вращения…………………68
3.3.5. Построение проекций линий пересечения поверхностей
вращения с помощью вспомогательных сфер (концентрических)…..69
3.4. Пересечение линии с поверхностью………………………..…………..71
3.4.1. Пересечение линии с поверхностью, когда оба
геометрических объекта проецирующие………………………………71
3.4.2. Пересечение линии с поверхностью, когда один из
пересекающихся геометрических объектов проецирующий,
а другой – непроецирующий……………………………………………71
3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба
геометрических объекта непроецирующие……………………………72
3.5. Перпендикулярные геометрические объекты………………………….76
3.5.1. Перпендикулярные прямые………………………………………76
3.5.2. Перпендикулярные прямая и плоскость…………………………76
3.5.3. Перпендикулярные плоскости……………………………………77
4. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ…………………….…………...78
4.1. Образование и виды аксонометрических проекций…………………...78
4.2. Прямоугольные аксонометрические проекции………………………...79
4.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция………………………79
4.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция……………………….81
4.2.3. Пространственные геометрические объекты в
прямоугольной аксонометрии…………………………………………..82
4.3. Косоугольные аксонометрические проекции…………………………..83
4.3.1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция…………83
4.3.2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция……...83
4.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция………….83
5. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИИ…………………….………………………...84
5.1. Основные понятия теории теней…………………………….…………..84
5.2. Тени в аксонометрии при центральном освещении……………………85
5.3. Тени в аксонометрии при параллельном освещении……….………….86
5.3.1. Тени от точки, прямой и плоской фигуры………………………86
5.3.2. Построение теней многогранников………………………………88
