Контрольная работа №1 по алгебре в 9 классе

по теме «Функции и их свойства, квадратный трехчлен»

Вариант 1

1. Дана функция f (х) = 17х - 51. При каких значениях аргумента f (х ) =0, f (х ) f (х ) >

х 2 -14х +45; б) 3у 2 +7у- 6.

3. Сократите дробь
.

4

Рис.

Область определения функции g (рис. 1) отрезок [-2; 6]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, область значений функции.

5. Сумма положительных чисел а и b равна 50. При каких значениях а и b

Вариант 2

1. Дана функция g (х ) = -13х + 65. При каких значениях аргумента g (х ) = 0, g (х ) g (х ) > 0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

2. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) х 2 -10х +21; б) 5у 2 + 9у- 2.

3. Сократите дробь
.

4. Область определения функции f (рис. 2) отрезок [-5; 4]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, класть значений функции.

5

Рис.

Сумма положительных чисел с и d равна 70. При каких значениях с и d их произведение будет наибольшим?

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №2 по алгебре в 9 классе

по теме «квадратичная функция и ее график»

Вариант 1

1. Постройте график функции у = х 2 - 6х + 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5; б) значения х , при которых у = -1;

в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у

г) промежуток, на котором функция возрастает.

2. Найдите наименьшее значение функции у = х 2 - 8х + 7.

у = х 2 - 6х - 13, где x [-2; 7].

у = х 2 и прямая у = 5х -16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

.

Вариант 2

1. Постройте график функции у = х 2 - 8х + 13. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 1,5; б) значения х, при которых у = 2;

в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых y

г) промежуток, в котором функция убывает.

2. Найдите наибольшее значение функции у = -х 2 + 6х – 4.

3. Найдите область значений функции у = x 2 - 4х - 7, где х [-1; 5].

4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у =х 2 и прямая у =20-3х . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

5. Найдите значение выражения
.

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №3 по алгебре в 9 классе

по теме «Уравнения и неравенства с одной переменной»

Вариант 1

1. Решите уравнение: а) х 3 - 81х = 0; б)
.

2. Решите неравенство: а) 2х 2 - 13х + 6 х 2 > 9.

а) (х + 8) (х - 4) (х - 7) > 0; б)

х 4 - 19х 2 + 48 = 0.

5. При каких значениях т уравнение 3х 2 + тх + 3 = 0 имеет два корня?

.

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у =
и y = x 2 - 3x +1.

Вариант 2

1. Решите уравнение: а) x 3 - 25x = 0; б)
.

2. Решите неравенство: а) 2х 2 - х - 15 > 0; б) х 2

3. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х + 11) (х + 2) (х - 9) > 0.

4. Решите биквадратное уравнение х 4 - 4х 2 - 45 = 0.

5. При каких значениях п уравнение 2х 2 + пх + 8 = 0 не имеет корней?

6. Найдите область определения функции

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y =
и y =
.

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №4 по алгебре в 9 классе

по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

2 x + y = 7,

х 2 - у = 1.

5. Решите систему уравнений:

2 y - х = 7,

х 2 – ху - у 2 = 20.

Вариант 2

1. Решите систему уравнений

x - 3y = 2,

xy + y = 6.

5. Решите систему уравнений:

y - 3x = l,

х 2 - 2ху + у 2 = 9.

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №5 по алгебре в 9 классе

по теме «Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (а n ), если а 1 = -15 и d = 3.

2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; ....

3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (b n), заданной формулой b n = 3п - 1.

4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (а n ), в которой а 1 = 25,5 и а 9 = 5,5?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

Вариант 2

1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (а n ),, если а 1 = 70 и d = -3.

2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: -21; -18; -15; ....

3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (b n), заданной формулой b n = 4п - 2.

4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (а n ), в которой а 1 = 11,6 и а 15 = 17,2?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №6 по алгебре в 9 классе

по теме «Геометрическая прогрессия»

Вариант 1

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b n), если b 1 = -32 и q =
.

b n), равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов это прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 24; -12; 6; ....

4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (b n), b 2 = 0,04 и b 4 = 0,16.

5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,(27); б) 0,5(6).

Вариант 2

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b n), если b 1 = 0,81 и q = -
.

2. Первый член геометрической прогрессии (b n), равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов это прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: -40; 20; -10; ... .

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b n), с положительными членами, зная, что b 2 = 1,2 и b 4 = 4,8.

5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,(153); б) 0,3(2).

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №7 по алгебре в 9 классе

по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятности»

Вариант 1

1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах.

2. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9?

3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг. Сколькими способами он может осуществить этот выбор?

4. В доме 90 квартир, которые распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира на первом этаже, если таких квартир 6?

5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

6. На четырех карточках записаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится число 3157?

Вариант 2

1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторений цифр?

2. Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать двух для участия в городской олимпиаде. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

3. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Какими способами это можно сделать?

4. Из 30 книг, стоящих на полке, 5 учебников, а остальные художественные произведения. Наугад берут с полки одну книгу. Какова вероятность того, что она не окажется учебником?

5. Из 9 книг и 6 журналов надо выбрать 2 книги и 3 журнала. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

6. На пяти карточках написаны буквы а, в, и, л, с. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно эти карточки положили в ряд и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится слово "слива"?

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Итоговая контрольная работа по алгебре в 9 классе

Вариант 1

1. Упростите выражение:
.

2. Решите систему уравнений:

x - у = 6,

ху = 16.

4. Представьте выражение
в виде степени с основанием а.

5. Постройте график функции у = х 2 - 4. Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.

6. В фермерском хозяйстве под гречиху было отведено два участка. С первого участка собрали 105 ц гречихи, а со второго, площадь которого на 3 га больше, собрали 152 ц. Найдите площадь каждого участка, если известно, что урожайность гречихи на первом участке была на 2 ц с 1 га больше, чем на втором.

5. Постройте график функции у = -х 2 + 1. Укажите, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения.

6. Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт B на 15 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго?

В которой были рассмотрены функции в составе которых имеется квадратный трёхчлен. Задания на нахождение точек максимума (минимума) или на вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции.

Недавно меня попросили рассказать и показать каким образом такие задания можно решить по стандартному алгоритму, то есть через производную. Сразу скажу, что такой подход к решению нерационален, требует больше времени и он «неудобен». Привожу его для вас (чтобы знали).

Рекомендую посмотреть статью « » , также помните, что функций нужно знать наизусть, в теме производной без этого никак нельзя. Также необходимо понимание того, что такое сложная функция, в указанной выше статье имеется видео.

Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции

Сначала определим, при каких х функция имеет смысл (найдём область определения функции). Так как подкоренное выражение есть число неотрицательное, то решаем неравенство:

13 + 6х – х 2 ≥ 0

*Как решается квадратное неравенство подробно можно посмотреть .

Данные корни разбивают ось х на три интервала.

Проверим при каких значениях х неравенство будет верным. Подставим из каждого интервала любое значение х в неравенство:

Значит решением неравенства будут являться все значения х принадлежащие интервалу (включая границы):

* Приближенно полученные выражения равны:

Область определения данной функции найдена.

Вычислим производную функции. Это сложная функция:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, значит:

6 – 2х = 0

х = 3

Полученное значение х входит в область определения и разбивает её на два отрезка. Определим знаки производной на каждом из них (подставим выборочно любые значения в выражение производной), например 2 и 4:

Получили, что в точке х = 3 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума.

Ответ: 3

Комментарий: представленное решение – это полное, математически грамотное решение, то есть такое как должно быть. О чем я? Дело в том, что для составления «полной картины», в первую очередь необходимо найти область определения. Конечно, можно поспорить. Дело в том, можно сразу находить производную, затем её «нули» и далее установить имеет ли функция значение при этом х. Затем определить знаки в «соседних» точках и станет понятно является ли эта точка точкой максимума (или минимума). Да, можно и так.

Кто проанализировал все типы таких примеров из единого банка заданий ЕГЭ по математике, тот справедливо может сказать, что достаточно вообще найти нули производной, полученное (целое) значение х и будет являться искомым. Согласен! Но понимать суть всего процесса решения «от и до» необходимо.

Если в подобном задании на ЕГЭ будет стоять вопрос о вычислении наибольшего (наименьшего) значения, то оно будет в точке х, полученной при решении f ′(х) = 0 , то есть в «нуле функции».

Найдите точку максимума функции у =log 7 (–2 – 12х – х 2 ) + 10.

Вычислим производную функции, используем формулу производной логарифма и производной сложной функции:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:

– 2х –12 = 0

х = – 6

Данное значение обращает подлогарифмическое выражение в положительное:

–2 – 12∙(–6) – (–6) 2 = 34

то есть оно принадлежит области определения функции.

Определим знаки производной в «соседних» точках, например возьмем точки –7 и –5:

Получили, что в точке х = – 6 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума функции.

Ответ: –6

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви направлены вверх.

Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 - 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох (см. приложение 1 , приложение 2 и приложение 3).

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Рассмотрим некоторые свойства квадратного трехчлена.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями квадратного трехчлена ax 2 +bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения: x 1 +x 2 = -b/a,

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q: x 1 +x 2 = -p,

Теорема, обратная теореме Виета , применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 =q, то x 1 и x 2 – корни приведенного

квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac0; x 1 x 2 =c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие:

x 1 +x 2 = -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x 1 +x 2 = -b/a<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и

остаточно выполнения соотношения x 1 x 2 =c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие c a<0, а это значит, что дискриминант D=b 2 -4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке .

2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а, при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1) (а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а) (2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?

19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Тема «Квадратный трехчлен» занимает в курсе алгебры одно из центральных мест. Задания по этой теме - непременный атрибут любого экзамена, и вступительных экзаменов в вуз, в частности.

Главной целью занятий по математике является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения основан на совместной исследовательской деятельности учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на занятиях играет изучение темы «Квадратный трехчлен». Это понятие вообще является одной из основных в школьном курсе математики. Но в реализации этой линии в частности, как? и когда? знакомить учащихся с понятием «квадратный трехчлен», возможны различные подходы и точки зрении.

Впервые о квадратном трехчлене говорится в 7 классе. После этого линия квадратного трехчлена постоянно поддерживается.

Поэтому квадратный трехчлен играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в учебных заведениях. Задачи по этой теме так же непременно включают в варианты вступительных экзаменов в ВУЗы. И хочется отметить важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения.

Тема моей курсовой работы: «Методические особенности изучения квадратного трехчлена на уроках алгебры в 7 - 9 классах».

Цель исследования: Проанализировать степень усвоения квадратного трехчлена на примерах заданий на повторение.

Область исследования - элементарная математика.

Объект исследования - алгебра.

Предмет исследования - квадратичная функция.

Задачи исследования:

Рассмотреть тематическое планирование по разным учебникам.

Проанализировать степень трудности заданий по одному из учебников.

Проанализировать степень усвоения данной темы на примерах заданий на повторение.

Гипотеза: Если на каждом уроке алгебры выполнять с учащимися задания, связанные с квадратным трехчленом, то степень усвоения квадратного трехчлена значительно улучшится.

Квадратныи трехчлен

Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

В различных источниках, понятие «квадратного трехчлена», дается по - разному. В одних, квадратный трехчлен - это многочлен второй степени с одной переменной

ax 2 + bx + c, (1)

где x- переменная; a,b - коэффициенты, с- свободный член, a0. В других, квадратным трехчленом относительно x называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a,b,c - некоторые числа, причем a0. Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного трехчлена. В дальнейшем будем предполагать, что a,b,c - действительные числа.

Значения x, при которых квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль, называются корнями трехчлена. Таким образом, для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение:

ax 2 + bx + c = 0. (2)

Напомним, каким образом находятся корни квадратного уравнения; при этом мы несколько уточним факты, обычно излагаемые в школьном курсе. Для решения квадратного уравнения пользуются приемом «выделение полного квадрата», то есть записывают его в виде (напомним, что a 0):

ax 2 + bx + c = a(x 2 + x) + c = a (x 2 + 2x) + c = a (x 2 + 2x +) + c - = a (x +) 2 -

Таким образом, уравнение ax2 + bx + c=0 можно записать в виде:

Или (перенося дробь в правую часть и поделив на a) в виде:

При этом уравнение (3) равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0, то есть имеет те же корни, что и уравнение ax 2 + bx + c.

В самом деле, если некоторое число x удовлетворяет уравнению

ax 2 + bx + c = 0

то как показывают проведенные выкладки, оно удовлетворяет и уравнению (3) . Но эти выкладки можно провести и в обратном порядке, то есть если число x удовлетворяет уравнению (3), то оно удовлетворяет и уравнению

ax 2 + bx + c = 0.

Иными словами, равенство ax 2 + bx +c = 0 представляет собой неопределенное высказывание, которое для одних значений x (а именно для корней трехчлена) является истинным, а для других - ложным. Эквивалентность уравнений

ax 2 + bx + с = 0 и (3) заключается в том, что эти два неопределенных высказывания одновременно истинны и ложны. Итак, остается решить уравнение (3). Обычно число b 2 - 4ac обозначают через «D» и его называют дискриминантом квадратного трехчлена.

Таким образом, уравнение (3) можно записать так:

(x +) 2 =, где D=b 2 - 4ac (4)

Теперь предлагаются три различных случая - в зависимости от того, каким является число D:

А) Если число D положительно, то положительно и число. Поэтому существуют два числа, квадрат каждого из которых равен: это будут числа и -(где, как всегда, - арифметический корень из положительного числа D). Но согласно (4) x+ как раз есть такое число, квадрат которого равен. Значит, x удовлетворяет уравнению (4) в двух случаях:

1) если x + = (и тогда x =)

2) если x + = (и тогда х =)

Итак, при D>0 уравнение (4), а значит и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X 1 =, X 2 =, Где D=b 2 -4ac (5)

Заметим, что в этом случае оба корня x 1 , x 2 действительны, причем x 1 x 2 (то есть уравнение в самом деле имеет два корня).

Б) если число D равно нулю, то уравнение (4) принимает вид:

Но квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю, и поэтому мы отсюда получаем

x = 0, или x = -.

Итак, при D=0 уравнение (4), а значит и уравнение x 2 + bx + c = 0, имеет только один корень x = -, то есть существует только одно число (а именно -), удовлетворяющее этому уравнению. Однако в целях единообразия считают, что и в этом случае уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня, только они оба совпадают. Иными словами, условно считают, что и при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня:

Заметим, что то же получается и из формул (5), поскольку D = 0. Таким образом, если мы условимся при D = 0 считать корень X = - два раза (или, как еще говорят, уславливаемся считать его двукратным корнем), то формулы (5) для корней сохраняют силы и в этом случае. Мы увидим, что и во многих дальнейших случаях это соглашение (считать при D = 0 корень двукратным) оказывается очень удобным: иначе во многих теоремах приходилось бы делать специальные оговорки, относящиеся к этому случаю. Поэтому в математике всегда принято считать, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два совпадающих корня. Однако отдаем себе ясный отчет в том, что это лишь условное соглашение: при D = 0 из всех действительных чисел только одно (а именно -) удовлетворяет уравнению ax 2 + bx + c = 0.

В) Осталось рассмотреть случай, когда D отрицательно. В этом случаи и число отрицательно. А так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то, значит, в этом случае уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней . Как мы знаем, существует два комплексных числа, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу D. Эти числа являются чисто мнимыми и притом сопряженными. Если мы условимся одно из них (безразлично, какое) обозначать через, то другое будет равно

Тогда числами, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу,будут чисто мнимые числа и - (а других таких чисел не существует). Но согласно (4) x + есть число, квадрат которого равен.

Следовательно, x удовлетворяет уравнению (4), а значит и уравнению

ax 2 + bx + c = 0, в двух случаях:

1)Если x + (и тогда x =);

2)Если x + (и тогда x =).

Таким образом, и в этом случае (то есть при D < 0) уравнение ax 2 + bx +c = 0

Имеет два корня, вычисляемые по формулам (5) и являющиеся комплексно сопряженными числами. Еще раз подчеркну, что это утверждение имеет лишь условный смысл - если мы уславливаемся через обозначать какое-либо одно из комплексных чисел, квадрат которого равен отрицательному числу D. Это, в самом деле, лишь условное соглашение, так как знак «» используется, по определению, для обозначения арифметического корня из положительного действительного числа, а в комплексной области этот знак однозначного смысла не имеет. Тем не менее, уславливаются при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом всегда считать, что обозначает одно из двух чисел, квадрат которого равен D. Тогда формулы (5) для корней сохраняют смысл и при D <0.

Квадратный трехчлен тесно связан с квадратичной функцией.

Функция вида

f (x) = ax 2 + bx + c (6)

где a ?0, b и c - постоянные, а переменная x принадлежит множеству R действительных чисел, называется квадратичной функцией.

Из определения ясно, что квадратичной является и каждая из функций

F(x) = ax 2 + bx, (где b0, с?0),

y = ax 2 + c , (где b=0, c = 0)

УТВЕРЖДЕНИЕ №1

Если a?0, то

ax 2 +bx +c= a x+ (7)

Это тождество легко доказать преобразованием правой части. Немного труднее преобразование левой части путем выделения точного квадрата. Используя это утверждение и равенство (6), можно записать такую схему:

На основании равенства (7) легко доказать следующее утверждение:

УТВЕРЖДЕНИЕ № 2

Квадратичная функция при:

А) a>0 имеет глобальный минимум

y 0 = , при x 0 = -;

Б) a<0 имеет глобальный максимум

y 0 = , при x 0 = -

Ясно, что в каждом из двух случаев соответствующий экстремум является единственным и совпадает с наибольшим или наименьшим значением функции на R. Утверждение № 2 можем толковать и в связи с графиком квадратичной функции: при традиционном расположении координатной системы на плоскость. (-;) при a>0 является самой нижней точкой графика функции, а при a<0 - самой верхней точкой графика.

УТВЕРЖДЕНИЕ №3

Квадратичная функция при:

a) a >0 убывает на промежутке

D 1 = (- ?; -] и возрастает на промежутке

D 2 = [- ; + ?);

б) a<0 возрастает на промежутке D 1 и убывает на промежутке D 2 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Докажем, что при a 0 на интервале D 1 убывает. Дадим произвольные различные значения x 1 и x 2 переменной, и для определенности пусть

Обозначим a (x 1 +) + через f (x 1), а a(x 2 +) 2 +

через f (x 2). Тогда достаточно доказать, что f (x 1) f (x 2).

На основании (8) последовательно находим

-(x 1 +) -(x 2 +) 0, (x 1 +) 2 (x 2 +) 2 ,

a (x 1 +) 2 + a (x 2 +) 2 + ,

то есть f (x 1) f (x 2). Следовательно, на интервале D 1 квадратичная функция убывает.

К этому выводу короче можно прийти следующими рассуждениями:

f (x 2) - f (x 1) = a (x - x) + b (x 2 - x 1) =

(x 2 - x 1) (a (x 2 + x 1) + b) (x 2 - x 1) (a (x 2 - x 1) (a (-) + b) = 0,

откуда, f (x 1) f (x 2).

Аналогичным образом рассматриваем и остальные случаи. При помощи производной функции утверждения 3 можем доказать, используя необходимое и достаточное условие убывания или возрастания функции. Утверждение 2 доказывается с использованием производной функции, точнее, с помощью достаточного условия существования локального экстремума.

УТВЕРЖДЕНИЕ № 4

График квадратичной функции f(x) = ax 2 + bx + c симметричен относительно прямой q 0 , которая проходит через точку А (-; 0) и параллельна оси ординат (или совпадает с ней).

Чтобы доказать это утверждение, даем два произвольных значения x 1 и x 2 переменной, симметричных относительно точки x 0 = -, и, используя равенство (7), находим, что соответствующие значения функции равны. Можем также дать произвольное значение x 3 переменной, получив точку P(x 3 ; f(x 3)) графика функции, и показываем, что точка Q, симметричная точке P относительно прямой q 0 , тоже принадлежит графику.

График квадратичной функции является кривой линией, которая называется параболой. Прямая q 0 и (-;) называются соответственно осью и вершиной параболы. Известно, что ось абсцисс содержит те и только те точки, ординаты которых равны 0. Значит, чтобы установить, при каких значениях аргумента x квадратичная функция принимает значения, равное 0, нужно проверить, имеет ли парабола хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины? 0, то есть когда b 2 -4ac ? 0. Число b 2 - 4ac обозначается через D и называется дискриминантом, как квадратичной функции, так и квадратного уравнения:

ax 2 + bx + c = 0 (9)

Следовательно, если a>0, то:

При D>0 уравнение (9) имеет различные действительные корни x 1 и x 2 ;

При D=0 уравнение (9) имеет один действительный корень;

При D<0 уравнение (9) не имеет действительных корней.

Если a 0, парабола имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины? 0, то есть когда

4ac - b 2 ? 0 или когда D ? 0.

Таким образом, снова получаем тот же вывод.

Из этих рассуждений и утверждений 2 и 3 следует, что при a 0 возможны такие случаи:

А) При D 0 и x 1 x 2 функция принимает значения, равные 0, для значений переменной x 1 и x 2 , положительные значения для каждого

x (- , x 1) (x 2 ; +),

отрицательные значения для каждого x (x 1 ; x 2).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значений переменной x 1 и x 2 = -, положительные значения для каждого x - ; В) При D 0 функция принимает положительное значение для каждого значения переменной. Аналогично, если a 0, то:

А) При D 0 и x 1 x 2 функция принимает значение, равное 0, для значений переменной x 1 и x 2 , отрицательные значения для каждого

x (- ; x 1) (x 2 ; +), положительные значения для каждого

x (- ; x 1) (x 2 ; +), положительные значения для каждого x (x 1 ;x 2).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значения переменной x 1 = x 2 = -, отрицательные значения для каждого x - ;

В) При D 0 функция принимает отрицательные значения для каждого значения переменной.

Можно особо отметить, что если D 0, то для каждого значения переменной знак значения функции совпадает со знаком коэффициента a.

Все эти свойства, содержащиеся в утверждениях 1 - 3, могут быть отражены в схеме, изображенной на рисунке (на каждом из чертежей ось ординат не показана, поэтому, что это обычно не имеет существенного значения при рассмотрении указанных свойств).

Таким образом, тема: «квадратный трехчлен» является основной в курсе алгебры, которая теснейшим образом связана с квадратичной функцией. Изложенный выше материал полезен для дальнейшей работы с квадратными неравенствами (по одному возможному способу при помощи графика квадратичной функции) и до некоторой степени с квадратными уравнениями.