Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.
Закон Био – Савара – Лапласа
В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:
- магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
- магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
- магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.
Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа . Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию
Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.
Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl , с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением
где I – сила тока, протекающая по проводнику,
r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,
dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,
k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ 0 /(4π)
Так как является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом
Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения
где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.
Магнитная индукция прямолинейного проводника
Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.
Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения
В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид
где I – ток, протекающий по проводу,
b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.
Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по dα в пределах от 0 до π.
Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид
I – ток, протекающий по проводу,
b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.
Магнитная индукция кольца
Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.
В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.
В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид
Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности
где μ 0 – магнитная постоянная, μ 0 = 4π 10 -7 Гн/м,
I – сила тока в проводнике,
R – радиус окружности, в которое свернут проводник.
Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х , которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.
В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dB X , которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB
Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции
Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности
где μ 0 – магнитная постоянная, μ 0 = 4π 10 -7 Гн/м,
I – сила тока в проводнике,
R – радиус окружности, в которое свернут проводник,
х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.
Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.
Циркуляция вектора магнитной индукции
Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.
Представим некоторый контур l , который перпендикулярный току I . В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением
Так как угол dφ достаточно мал, то векторов dl В определяется, как длина дуги
Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции
Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура
В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:
Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.
Магнитное поле соленоида и тороида
С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.
Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.
Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4 . Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид
Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4 , который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид
где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,
I – ток, протекающий по соленоиду.
Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.
В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R , на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r , центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид
где r – радиус контура магнитной индукции.
Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид
где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,
r – радиус контура магнитной индукции,
R – радиус тороида.
Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.
Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.
Магнитное поле проводника с током.
При прохождении тока по прямолинейному проводнику вокруг него возникает магнитное поле (рис. 38). Магнитные силовые линии этого поля располагаются по концентрическим окружностям, в центре которых находится проводник с током.
Направление магнитного поля вокруг проводника с током всегда находится в строгом соответствии с направлением тока, проходящего по проводнику. Направление магнитных силовых линий можно определить по правилу буравчика. Его формулируют следующим образом. Если поступательное движение буравчика 1 (рис. 39, а) совместить с направлением тока 2 в проводнике 3, то вращение его рукоятки укажет направление силовых линий 4 магнитного поля вокруг проводника. Например, если ток проходит по проводнику в направлении от нас за плоскость листа книги (рис. 39, б), то магнитное поле, возникающее вокруг этого проводника, направлено по часовой стрелке. Если ток по проводнику проходит по направлению от плоскости листа книги к нам, то магнитное поле вокруг проводника направлено против часовой стрелки. Чем больше ток, проходящий по проводнику, тем сильнее возникающее вокруг него магнитное поле. При изменении направления тока магнитное поле также изменяет свое направление.
По мере удаления от проводника магнитные силовые линии располагаются реже. Следовательно, индукция магнитного поля и его напряженность уменьшаются. Напряженность магнитного поля в пространстве, окружающем проводник,
H = I/(2?r) (44)
Максимальная напряженность Н max имеет место на внешней поверхности проводника 1 (рис. 40). Внутри проводника также
возникает магнитное поле, но напряженность его линейно уменьшается по направлению от внешней поверхности к оси (кривая 2). Магнитная индукция поля вокруг и внутри проводника изменяется таким же образом, как и напряженность.
Способы усиления магнитных полей.
Для получения сильных магнитных полей при небольших токах обычно увеличивают число проводников с током и выполняют их в виде ряда витков; такое устройство называют обмоткой, или катушкой.
При проводнике, согнутом в виде витка (рис. 41, а), магнитные поля, образованные всеми участками этого проводника, будут внутри витка иметь одинаковое направление. Поэтому интенсивность магнитного поля внутри витка будет больше, чем вокруг прямолинейного проводника. При объединении витков в катушку магнитные поля, созданные отдельными витками, складываются (рис. 41, б) и их силовые линии соединяются в общий магнитный поток. При этом концентрация силовых линий внутри катушки возрастает, т. е. магнитное поле внутри нее усиливается. Чем больше ток, проходящий через катушку, и чем больше в ней витков, тем сильнее создаваемое катушкой магнитное поле. Магнитное поле снаружи катушки также складывается из магнитных полей отдельных витков, однако магнитные силовые линии располагаются не так густо, вследствие чего интенсивность магнитного поля там не столь велика, как внутри катушки. Магнитное поле катушки, обтекаемой током, имеет такую же форму, как и поле прямолинейного постоянного магнита (см. рис. 35, а): силовые магнитные линии выходят из одного конца катушки и входят В другой ее конец. Поэтому катушка, обтекаемая током, представляет собой искусственный электрический магнит. Обычно для усиления магнитного поля внутрь катушки вставляют стальной сердечник; такое устройство называется электромагнитом.
Электромагниты нашли чрезвычайно широкое применение в технике. Они создают магнитное поле, необходимое для работы электрических машин, а также электродинамические усилия, требуемые. Для работы различных электроизмерительных приборов и электрических аппаратов.
Электромагниты могут иметь разомкнутый или замкнутый магнитопровод (рис. 42). Полярность конца катушки электромагнита можно определить, как и полярность постоянного магнита, при помощи магнитной стрелки. К северному полюсу она поворачивается южным концом. Для определения направления магнитного поля, создаваемого витком или катушкой, можно использовать также правило буравчика. Если совместить направление вращения рукоятки с направлением тока в витке или катушке, то поступательное движение буравчика укажет направление магнитного поля. Полярность электромагнита можно определить и с помощью правой руки. Для этого руку надо положить ладонью на катушку (рис. 43) и совместить четыре пальца с направлением в ней тока, при этом отогнутый большой палец покажет направление магнитного поля.
Вычислим поле, создаваемое током, текущим по тонкому прямолинейному проводу бесконечной длины.
Индукция магнитного поля в произвольной точке А (рис. 6.12), создаваемого элементом проводника dl , будет равна
Рис. 6.12. Магнитное поле прямолинейного проводника
Поля от различных элементов имеют одинаковое направление (по касательной к окружности радиусом R , лежащей в плоскости, ортогональной проводнику). Значит, мы можем складывать (интегрировать) абсолютные величины
|
|
Выразим r и sin через переменную интегрирования l
|
|
Тогда (6.7) переписывается в виде
Таким образом,
Картина силовых линий магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током представлена на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Магнитные силовые линии поля прямолинейного проводника с током:
1 - вид сбоку; 2, 3 - сечение проводника плоскостью, перпендикулярной проводнику
Рис. 6.14. Обозначения направления тока в проводнике
Для обозначения направления тока в проводнике, перпендикулярном плоскости рисунка, будем использовать следующие обозначения (рис. 6.14):
Напомним выражение для напряженности электрического поля тонкой нити, заряженной с линейной плотностью заряда
Сходство выражений очевидно: мы имеем ту же зависимость от расстояния до нити (тока), линейная плотность заряда заменилась на силу тока. Но направления полей различны. Для нити электрическое поле направлено по радиусам. Силовые линии магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током образуют систему концентрических окружностей, охватывающих проводник. Направления силовых линий образуют с направлением тока правовинтовую систему.
На рис. 6.15 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.
Вокруг прямого провода, перпендикулярного пластинке, наблюдаются кольцевые силовые линии, расположенные наиболее густо вблизи провода. При удалении от него поле убывает.
Рис. 6.15. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника
На рис. 6.16 представлены опыты по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг проводов, пересекающих картонную пластинку. Железные опилки, насыпанные на пластинку, выстраиваются вдоль силовых линий магнитного поля.
Рис. 6.16. Распределение силовых линий магнитного поля
вблизи пересечения с пластинкой одного, двух и нескольких проводов
Поднести магнитную стрелку, то она будет стремиться стать перпендикулярно плоскости, проходящей через ось проводника и центр вращения стрелки. Это указывает на то, что на стрелку действуют особые силы, которые называются магнитными силами . Кроме действия на магнитную стрелку, магнитное поле оказывает влияние на движущиеся заряженные частицы и на проводники с током, находящиеся в магнитном поле. В проводниках, движущихся в магнитном поле, или в неподвижных проводниках, находящихся в переменном магнитном поле, возникает индуктивная электродвижущая сила (э. д. с.).
Магнитное поле
В соответствии с вышесказанным мы можем дать следующее определение магнитного поля.
Магнитным полем называется одна из двух сторон электромагнитного поля, возбуждаемая электрическими зарядами движущихся частиц и изменением электрического поля и характеризующаяся силовым воздействием на движущиеся зараженные частицы, а стало быть, и на электрические токи.
Если продеть через картон толстый проводник и пропустить по нему электрический ток, то стальные опилки, насыпанные на картон, расположатся вокруг проводника по концентрическим окружностям, представляющим собой в данном случае так называемые магнитные индукционные линии (рисунок 1). Мы можем передвигать картон вверх или вниз по проводнику, но расположение стальных опилок не изменится. Следовательно, магнитное поле возникает вокруг проводника по всей его длине.
Если на картон поставить маленькие магнитные стрелки, то, меняя направление тока в проводнике, можно увидеть, что магнитные стрелки будут поворачиваться (рисунок 2). Это показывает, что направление магнитных индукционных линий меняется с изменением направления тока в проводнике.
Магнитные индукционные линии вокруг проводника с током обладают следующими свойствами: 1) магнитные индукционные линии прямолинейного проводника имеют форму концентрических окружностей; 2) чем ближе к проводнику, тем гуще располагаются магнитные индукционные линии; 3) магнитная индукция (интенсивность поля) зависит от величины тока в проводнике; 4) направление магнитных индукционных линий зависит от направления тока в проводнике.
Чтобы показать направление тока в проводнике, изображенном в разрезе, принято условное обозначение, которым мы в дальнейшем будем пользоваться. Если мысленно поместить в проводнике стрелку по направлению тока (рисунок 3), то в проводнике, ток в котором направлен от нас, увидим хвост оперения стрелы (крестик); если же ток направлен к нам, увидим острие стрелы (точку).
Рисунок 3. Условное обозначение направления тока в проводниках
Правило буравчика позволяет определить направление магнитных индукционных линий вокруг проводника с током. Если буравчик (штопор) с правой резьбой будет двигаться поступательно по направлению тока, то направление вращения ручки будет совпадать с направлением магнитных индукционных линий вокруг проводника (рисунок 4).
Магнитная стрелка, внесенная в магнитное поле проводника с током, располагается вдоль магнитных индукционных линий. Поэтому для определения ее расположения можно также воспользоваться "правилом буравчика" (рисунок 5). Магнитное поле есть одно из важнейших проявлений электрического тока и не может быть получено независимо и отдельно от тока.
 |   |
| Рисунок 4. Определение направления магнитных индукционных линий вокруг проводника с током по "правилу буравчика" | Рисунок 5. Определение направления отклонений магнитной стрелки, поднесенной к проводнику с током, по "правилу буравчика" |
Магнитная индукция
Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции, который имеет, следовательно, определенную величину и определенное направление в пространстве.
Количественное выражение для магнитной индукции в результате обобщения опытных данных установлено Био и Саваром (рисунок 6). Измеряя по отклонению магнитной стрелки магнитные поля электрических токов различной величины и формы, оба ученых пришли к выводу, что всякий элемент тока создает на некотором расстоянии от себя магнитное поле, магнитная индукция которого ΔB прямо пропорциональна длине Δl этого элемента, величине протекающего тока I , синусу угла α между направлением тока и радиусом-вектором, соединяющим интересующую нас точку поля с данным элементом тока, и обратно пропорциональна квадрату длины этого радиус-вектора r :
где K – коэффициент, зависящий от магнитных свойств среды и от выбранной системы единиц.
В абсолютной практической рационализованной системе единиц МКСА
где µ 0 – магнитная проницаемость вакуума или магнитная постоянная в системе МКСА:
µ 0 = 4 × π × 10 -7 (генри/метр);
генри (гн ) – единица индуктивности; 1 гн = 1 ом × сек .
µ – относительная магнитная проницаемость – безразмерный коэффициент, показывающий, во сколько раз магнитная проницаемость данного материала больше магнитной проницаемости вакуума.
Размерность магнитной индукции можно найти по формуле
Вольт-секунда иначе называется вебером (вб ):
На практике встречается более мелкая единица магнитной индукции – гаусс (гс ):
Закон Био Савара позволяет вычислить магнитную индукцию бесконечно длинного прямолинейного проводника:
где а – расстояние от проводника до точки, где определяется магнитная индукция.
Напряженность магнитного поля
Отношение магнитной индукции к произведению магнитных проницаемостей µ × µ 0 называется напряженностью магнитного поля и обозначается буквой H :
B = H × µ × µ 0 .
Последнее уравнение связывает две магнитные величины: индукцию и напряженность магнитного поля.
Найдем размерность H :
Иногда пользуются другой единицей измерения напряженности магнитного поля – эрстедом (эр ):
1 эр = 79,6 а /м ≈ 80 а /м ≈ 0,8 а /см .
Напряженность магнитного поля H , как и магнитная индукция B , является векторной величиной.
Линия, касательная к каждой точке которой совпадает с направлением вектора магнитной индукции, называется линией магнитной индукции или магнитной индукционной линией .
Магнитный поток
Произведение магнитной индукции на величину площадки, перпендикулярной направлению поля (вектору магнитной индукции), называется потоком вектора магнитной индукции или просто магнитным потоком и обозначается буквой Ф:
Ф = B × S .
Размерность магнитного потока:
то есть магнитный поток измеряется в вольт-секундах или веберах.
Более мелкой единицей магнитного потока является максвелл (мкс ):
1 вб
= 108 мкс
.
1 мкс
= 1 гс
× 1 см
2.
Видео 1. Гипотеза Ампера
Видео 1. Гипотеза Ампера
Видео 2. Магнетизм и электромагнетизм
Пусть
вдоль осиOZ
расположен бесконечно длинный проводник,
по которому течёт ток с силой .
А сила тока это что такое?
,
- заряд, который пересекает поверхностьS
за время
.
Система обладает осевой симметрией.
Если мы введём цилиндрические координатыr
,
,
z
,
то цилиндрическая симметрия означает,
что
и, кроме того,
,
при смещении вдоль осиOZ
,
мы видим то же самое. Таков источник.
Магнитное поле должно быть таким, чтобы
удовлетворялись эти условия
и
.
Это означает вот что: силовые линии
магнитного поля – окружности, лежащие
в плоскости ортогональной проводнику.
Это немедленно позволяет найти магнитное
поле.
П
усть
у нас это проводник.
Вот ортогональная плоскость,
вот окружность радиуса r ,
я возьму тут касательный вектор, вектор, направленный вдоль , касательный вектор к окружности.
Тогда,
,
где
.
В
качестве замкнутого контура выбираем
окружность радиуса r
=
const
.
Пишем тогда
,
сумма длин по всей окружности (а интеграл
это ни что иное, как сумма) – это длина
окружности.,
где
– сила тока в проводнике. Справа стоит
заряд, который пересекает поверхность
за единицу времени. Отсюда мораль:
.
Значит, прямой проводник создаёт
магнитное поле с силовыми линиями в
виде окружностей, охватывающих проводник,
и эта величинаВ
убывает как
при удалении от проводника, ну, и стремится
к бесконечности, если мы приближаемся
к проводнику, когда контур уходит внутрь
проводника.
Э
тот
результат только для случая, когда
контур охватывает ток. Понятно, что
бесконечный проводник нереализуем.
Длина проводника, – наблюдаемая величина,
и никакие наблюдаемые величины не могут
принимать бесконечных значений, не
такой линейки, которая позволила бы
измерить бесконечную длину. Это
нереализуемая вещь, тогда какой толк в
этой формуле? Толк простой. Для любого
проводника, будет справедливо следующее:
достаточно близко к проводнику силовые
линии магнитного поля – вот такие
замкнутые окружности, охватывающие
проводник, и на расстоянии
(R
– радиус кривизны проводника), будет
справедлива эта формула.
Магнитное поле, создаваемое произвольным проводником с током.
Закон Био-Савара.
П
усть
мы имеем произвольный проводник с током,
и нас интересует магнитное поле,
создаваемое куском этого проводника в
данной точке. Как, кстати, в электростатике
находили мы электрическое поле,
создаваемое каким-то распределением
заряда? Распределение разбивали на
малые элементы и вычисляли в каждой
точке поле от каждого элемента (по закону
Кулона) и суммировали. Такая же программа
и здесь. Структура магнитного поля
сложнее, чем электростатическое, кстати,
оно не потенциально, замкнутое магнитное
поле нельзя представить как градиент
скалярной функции, у него другая
структура, но идея та же самая. Разбиваем
проводник на малые элементы. Вот я взял
маленький элемент
,
положение этого элемента определяется
радиус-вектором
,
а точка наблюдения задаётся радиус-вектором
.
Утверждается, что этот элемент проводника
создаст в этой точке индукцию
по такому рецепту:
.
Откуда берётся этот рецепт? Его нашли
в своё время экспериментально, трудно
мне, кстати, представить, как это можно
было экспериментально найти такую
достаточно сложную формулу с векторным
произведением. На самом деле это следствие
четвёртого уравнения Максвелла
.
Тогда поле, создаваемое всем проводником:
,
или, мы можем написать теперь интеграл:
.
Понятно, что вычислять такой интеграл
для произвольного проводника занятие
не очень приятное, но в виде суммы это
нормальная задача для компьютера.
Пример. Магнитное поле кругового витка с током.
П
усть
в плоскостиYZ
располагается проволочный виток радиуса
R,
по которому течёт ток силы .
Нас интересует магнитное поле, которое
создаёт ток. Силовые линии вблизи витка
такие:
Общая картина силовых линий тоже просматривается (рис.7.10 ).
П
о
идее, нас интересовало бы поле
,
но в элементарных функциях указать поле
этого витка нельзя. Найти можно только
на оси симметрии. Мы ищем поле в точках
(х
,0,0).
Направление
вектора
определяется векторным произведением
.
Вектор
имеет две составляющие:
и
.
Когда мы начнём суммировать эти вектора,
то все перпендикулярные составляющие
в сумме дадут ноль.
.
А теперь пишем:
,
=,
а
.
,
и, наконец 1) ,
.
Мы добыли такой результат:
А
теперь, в качестве проверки, поле в
центре витка равна:
.
Поле длинного соленоида.
Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.
М
агнитное
поле от витков складывается, и не трудно
догадаться, что структура силовых линий
поля такая: они внутри идут густо, а
дальше разреженно. То есть для длинного
соленоида снаружи будем считать
=0,
а внутри соленоида
=const
.
Внутри длинного соленоида, ну, в
окрестности. Скажем, его середины,
магнитное поле практически однородно,
а вне соленоида это поле мало. Тогда мы
можем найти это магнитное поле внутри
следующим образом: вот я беру такой
контур (рис.7.13
),
а теперь пишем:
1) 
.
-
это полный заряд. Эту поверхность
протыкают витки
(полный
заряд)=
(число
витков, протыкающих эту поверхность).
Мы
получим такое равенство из нашего
закона:
,
или
.
Поле на большом расстоянии от ограниченного распределения тока.
Магнитный момент
Имеется в виду, что в ограниченной области пространства текут токи, тогда есть простой рецепт для нахождения магнитного поля, которое создаёт это ограниченное распределение. Ну, кстати, под это понятие ограниченное пространство подпадает любой источник, поэтому тут никакого сужения нет.
Если
характерный размер системы
,
то
.
Напомню, что мы решали аналогичную
проблему для электрического поля,
создаваемого ограниченным распределением
заряда, и там появилось понятие дипольного
момента, и моментов более высокого
порядка. Решать эту задачу я здесь не
буду.
П
о
аналогии (как делалось в электростатике)
можно показать, что магнитное поле от
ограниченного распределения на больших
расстояниях подобно электрическому
полю диполя. То есть структура этого
поля такая:
Распределение
характеризуется магнитным моментом
.Магнитный
момент
,
где
– плотность тока или, если учесть, что
мы имеем дело с движущимися заряженными
частицами, то вот эту формулу для сплошно
среды мы можем выразить через заряды
частиц таким образом:
.
Что эта сумма выражает? Повторяю,
распределение тока создаётся тем, что
движутся эти заряженные частицы.
Радиус-векторi
-ой
частицы векторно умножается на скорость
i
-ой
частицы и всё это умножается на заряд
этой i
-ой
частицы.
Такая
конструкция, кстати, у нас в механике
была. Если вместо заряда без множителя
написать массу частицы, то, что это будет
изображать? Момент импульса системы.
Если
мы имеем частицы одного сорта (
,
например, электроны), то тогда мы можем
написать
.
Значит, если ток создаётся частицами
одного сорта, то магнитный момент связан
просто с моментом импульса этой системы
частиц.
Магнитное поле , создаваемое этим магнитным моментом равно:
(8.1
)
Магнитный момент витка с током
П
усть
у нас имеется виток и по нему течёт ток
силы.
Вектор
отличен от нуля в пределах витка. Возьмём
элемент этого витка
,
,
гдеS
– поперечное сечение витка, а
– единичный касательный вектор. Тогда
магнитный момент определён так:
.
А что такое
?
Это вектор, направленный вдоль вектора
нормали к плоскости витка
.
А векторное произведение двух векторов
– это удвоенная площадь треугольника,
построенного на этих векторах. ЕслиdS
– площадь треугольника, построенного
на векторах
и
,
то
.
Тогда мы пишем магнитный момент равняется.
Значит,
(
магнитный
момент витка с током)=(сила
тока)
(площадь
витка)
(нормаль
к витку) 1) .
А теперь мы формулу (8.1 ) применим для витка с током и сопоставим с тем, что мы добыли в прошлый раз, просто для проверки формулы, поскольку формулу эту я слепил по аналогии.
Пусть
мы имеем в начале координат виток
произвольной формы, по которому течёт
ток силы ,
тогда поле в точке на расстоянии х
равно:
(
).
Для круглого витка
,
.
На прошлой лекции мы находили магнитное
поле круглого витка с током, при
эти формулы совпадают.
На больших расстояниях от любого распределения тока магнитное поле находится по формуле (8.1 ), а всё это распределение характеризуется одним вектором, который называется магнитный момент. Кстати, простейший источник магнитного поля это магнитный момент. Для электрического поля простейший источник это монополь, для электрического поля следующий по сложности это электрический диполь, а для магнитного поля всё начинается с этого диполя или магнитного момента. Это, ещё раз обращаю внимание, постольку, поскольку нет этих самых монополей. Был бы монополь, тогда было бы всё также как в электрическом поле. А так у нас простейший источник магнитного поля это магнитный момент, аналог электрического диполя. Наглядный пример магнитного момента – постоянный магнит. Постоянный магнит обладает магнитным моментом, и на большом расстоянии его поле имеет такую структуру:
Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле
Мы
видели, что на заряженную частицу
действует сила, равная
.
Ток в проводнике есть результат движения
заряженных частиц тела, то есть равномерно
размазанного заряда в пространстве
нет, заряд локализован в каждой частице.
Плотность тока
.
Наi
-ую
частицу действует сила
.
В
ыберем
элемент объёма
и просуммируем силы, действующие на все
частицы этого элемента объёма
.
Сила, действующая на все частицы в данном
элементе объёма, определяется как
плотность тока на магнитное поле и на
величину элемента объёма. А теперь
перепишем её в дифференциальном виде:
,
отсюда
– этоплотность
силы
, сила,
действующая на единицу объёма. Тогда
мы получим общую формулу для силы:
.
О
бычно
ток течёт по линейным проводникам, редко
мы сталкиваемся с случаями, когда ток
размазан как-то по объёму. Хотя, между
прочим, Земля имеет магнитное поле, а
от чего это поле? Источник поля это
магнитный момент, это означает, что
Земля обладает магнитным моментом. А
это означает, что тот рецепт для магнитного
момента показывает, что должны быть
какие-то токи внутри Земли, они по
необходимости должны быть замкнутыми,
потому что не может быть стационарного
разомкнутого поля. Откуда эти токи, что
их поддерживает? Я не специалист в земном
магнетизме. Какое-то время назад
определённой модели этих токов ещё не
было. Они могли быть там когда-то
индуцированы и ещё не успели там
затухнуть. На самом деле, ток можно
возбудить в проводнике, и потом он быстро
сам кончается за счёт поглощения энергии,
выделения тепла и прочего. Но, когда мы
имеем дело с такими объёмами как Земля,
то там время затухания этих токов,
однажды каким-то механизмом возбуждённых,
это время затухания может быть очень
длительным и длиться геологические
эпохи. Может быть, так оно и есть. Ну,
скажем, мелкий объект типа Луны имеет
очень слабое магнитное поле, это означает,
что оно затухло там уже, скажем, магнитное
поле Марса тоже значительно слабее поля
Земли, потому что и марс меньше Земли.
Это я к чему? Конечно, есть случаи, когда
токи текут в объёмах, но то, что мы здесь
на Земле имеем это обычно линейные
проводники, поэтому эту формулу сейчас
трансформируем применительно к линейному
проводнику.
П
усть
имеется линейный проводник, ток течёт
с силой.
Выберем элемент проводника
,
объём этого элементаdV
,
,
.
Сила, действующая на элемент проводника
перпендикулярна плоскости треугольника,
построенного на векторах
и
,
то есть направлена перпендикулярно к
проводнику, а полная сила находится
суммированием. Вот, две формулы решают
эту задачу.
Магнитный момент во внешнем поле
Магнитный
момент сам создаёт поле, сейчас мы
собственное его поле не рассматриваем,
а нас интересует, как ведёт себя магнитный
момент, помещённый во внешнее магнитное
поле. На магнитный момент действует
момент силы, равный
.
Момент силы будет направлен перпендикулярно
к доске, и этот момент будет стремиться
развернуть магнитный момент вдоль
силовой линии. Почему стрелка компаса
показывает на северный полюс? Ей, конечно,
нет дела до географического полюса
Земли, стрелка компаса ориентируется
вдоль силовой линии магнитного поля,
которая, в силу случайных причин, кстати,
направлена примерно по меридиану. За
счёт чего? А на неё действует момент.
Когда стрелка, магнитный момент,
совпадающий по направлению с самой
стрелкой, не совпадает с силовой линией,
появляется момент, разворачивающий её
вдоль этой линии. Откуда у стрелки
компаса берётся магнитный момент, это
мы ещё обсудим.
К
роме
того, на магнитный момент действует
сила
,
равная
.
Если магнитный момент направлен вдоль
,
то сила втягивает магнитный момент в
область с большей индукцией. Эти формулы
похожи на то, как действует электрическое
поле на дипольный момент, там тоже
дипольный момент ориентируется вдоль
поля и втягивается в область с большей
напряжённостью. Теперь мы можем
рассмотреть вопрос о магнитном поле в
веществе.
Магнитное поле в веществе
А
томы
могут обладать магнитными моментами.
Магнитные моменты атомов связаны с
моментом импульса электронов. Уже была
получена формула
,
где
– момент импульса частицы создающей
ток. В атоме мы имеем положительное ядро
и электроне
,
вращающийся по орбите, на самом деле, в
своё время мы увидим, что эта картина
не имеет отношения к реальности, так
нельзя представлять электрон, который
вращается, но остаётся то, что электрон
в атоме обладает моментом импульса, и
этому моменту импульса будет отвечать
такой магнитный момент:
.
Наглядно, заряд, вращающийся по окружности,
эквивалентен круговому току, то есть
это элементарный виток с током. Момент
импульса электрона в атоме квантуется,
то есть может принимать только определённые
значения, вот по такому рецепту:
,
,
где вот эта величина
– это постоянная Планка. Момент импульса
электрона в атоме может принимать лишь
определённые значения, мы сейчас не
будем обсуждать, как это получается.
Ну, и вследствие этого магнитный момент
атома может принимать определённые
значения. Эти детали нас сейчас не
волнуют, но, по крайней мере, будем
представлять, что атом может обладать
определённым магнитным моментом, есть
атомы, у которых нет магнитного момента.
Тогда вещество, помещённое во внешнее
поле намагничивается, а это означает,
что оно приобретает определённый
магнитный момент вследствие того, что
магнитные моменты атомов ориентируются
преимущественно вдоль поля.
Элемент
объёма dV
приобретает магнитный момент
,
при чём вектор
имеет смысл плотности магнитного момента
и называется вектором намагничивания.
Имеется класс веществ, называемыхпарамагнетики
,
для которых
,
намагничивается так, что магнитный
момент совпадает с направлением
магнитного поля. Имеютсядиамагнетики
,
которые намагничиваются, так сказать,
«против шерсти», то есть магнитный
момент антипараллелен вектору
,
значит,
.
Это более тонкий термин. То, что вектор
параллелен вектору
понятно, магнитный момент атома
ориентируется вдоль магнитного поля.
Диамагнетизм связан с другим: если атом
не обладает магнитным моментом, то во
внешнем магнитном поле он приобретает
магнитный момент, при чём магнитный
момент антипараллелен
.
Этот очень тонкий эффект связан с тем,
что магнитное поле влияет на плоскости
орбит электронов, то есть оно влияет на
поведение момента импульса. Парамагнетик
втягивается в магнитное поле, диамагнетик
выталкивается. Вот, чтобы это не было
беспредметно, медь – это диамагнетик,
и алюминий – парамагнетик, если взять
магнит то алюминиевая лепёшка будет
притягиваться магнитом, а тогда медная
будет отталкиваться.
Понятно,
что результирующее поле, когда вещество
внесено в магнитное поле, это есть сумма
внешнего поля и поля, создаваемого за
счёт магнитного момента вещества. Теперь
обратимся к уравнению
,
или в дифференциальной форме
.
Теперь такое утверждение:
намагничивание вещества эквивалентно
наведению в нём тока с плотностью
.
Тогда это уравнение мы напишем в виде
.
Проверим
размерность: М
– это магнитный момент в единице объёма
,
размерность
.
Когда вы пишете какую-нибудь формулу,
то размерность всегда полезно проверять,
особенно если формула эта собственной
выводки, то есть вы её не срисовали, не
запомнили, а получили.
Н
амагниченность
характеризуется вектором
,
он так и называется вектор намагниченности,
это плотность магнитного момента или
магнитный момент в единицу времени. Я
говорил, что намагниченность эквивалентна
появлению тока
,
так называемого молекулярного тока, и
это уравнение эквивалентно такому:
,
то есть мы можем считать, что нет
намагниченности, а есть такие токи.
Зададимся таким уравнением:
,
-
это настоящие токи, связанные с конкретными
носителями зарядов, а
это токи, связанные с намагниченностью.
Электрон в атоме это круговой ток,
возьмём область внутри, внутри образца
все эти токи уничтожаются, но наличие
таких круговых токов эквивалентно
одному общему току, который обтекает
этот проводник по поверхности, отсюда
и такая формула. Перепишем это уравнение
в таком виде:
,
.
Этот
тоже отправим влево и обозначим
,
вектор
называетсянапряжённостью
магнитного поля
,
тогда уравнение приобретёт вид
.
(циркуляция
напряжённости магнитного поля по
замкнутому контуру)
= (сила тока
через поверхность этого контура).
Ну,
и, наконец, последнее. Мы имеем такую
формулу:
.
Для многих сред намагниченность зависит
от напряжённости поля,
,
где
–магнитная
восприимчивость
,
это коэффициент, характеризующий
склонность вещества к намагничиванию.
Тогда эта формула перепишется в виде
,
–магнитная
проницаемость
,
и мы получаем такую формулу:
.
Если
,
то это парамагнетики,
- это диамагнетики, ну, и, наконец, имеются
вещества, для которых это
принимает большие значения (порядка
10 3),
- это ферромагнетики (железо, кобальт и
никель). Ферромагнетики замечательны
тем. Что они не только намагничиваются
в магнитном поле, а им свойственно
остаточное намагничивание, если он уже
однажды был намагничен, то, если убрать
внешнее поле, то он останется намагниченным
в отличии от диа- и парамагнетиков.
Постоянный магнит – это и есть
ферромагнетик, который без внешнего
поля намагничен сам по себе. Кстати,
имеются аналоги этого дела в электричестве:
имеются диэлектрики, которые поляризованы
сами по себе без всякого внешнего поля.
При наличии вещества наше фундаментальное
уравнение приобретает такой вид:
,
,
.
А
вот ещёпример
ферромагнетика, бытовой пример магнитного
поля в средах, во-первых, постоянный
магнит, ну, и более тонкая вещь –
магнитофонная лента. Каков принцип
записи на ленту? Магнитофонная лента -
это тонкая лента, покрытая слоем
ферромагнетика, записывающая головка
- это катушка с сердечником, по которой
течёт переменный ток, в зазоре создаётся
переменное магнитное поле, ток отслеживает
звуковой сигнал, колебания с определённой
частотой. Соответственно, в контуре
магнита имеется переменное магнитное
поле, которое меняется вместе с этим
самым током. Ферромагнетик намагничивается
переменным током. Когда эта лента
протягивается по устройству такого
типа, переменное магнитное поле создаёт
переменную э.д.с. и воспроизводится
опять электрический сигнал. Это
ферромагнетики на бытовом уровне.
