Математические модели в экономике лекции. Математическое моделиpование в экономике

МПС Российской федерации

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Челябинский Институт Путей Сообщения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: “Экономико-математическое моделирование"

Тема: “Математические модели в экономике"

Выполнил:

Шифр:

Адрес:

Проверил:

Челябинск 200_ г.

Введение

Составление математической модели

Создание и сохранение отчетов

Анализ найденного решения. Ответы на вопросы

Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса

Решение задачи на компьютере

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Литература

Введение

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.

Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи, стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

4. Разработка или выбор программного обеспечения.

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Сложность процессов в экономике требует от человека, принимающего решения, высокой квалификации и большого опыта. Это, однако, не гарантирует ошибок, дать быстрый ответ на поставленный вопрос, провести экспериментальные исследования, невозможные или требующие больших затрат и времени на реальном объекте, позволяет математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет принять оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах производства такая "незначительная" ошибка может привести к огромным потерям.

Математические методы, применяемые для анализа математической модели и принятия оптимального решения, весьма сложны и их реализация без применения ЭВМ затруднительна. В составе программ Excel и Mathcad имеются средства, позволяющие провести математический анализ и найти оптимальное решение.

Часть № 1 "Исследование математической модели"

Постановка задачи.

На предприятии имеется возможность выпуска продукции 4-х видов. Для выпуска единицы продукции каждого вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого вида).

На основе математического моделирования средствами Excel определить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями . При построении экономических моделей выбудут существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

экономического роста
потребительского выбора
равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — ϶ᴛᴏ логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные ϲʙᴏйства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — ϶ᴛᴏ математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Основные типы моделей

Экстраполяционные модели
Факторные эконометрические модели
Оптимизационные модели
Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
Экспертные оценки
Отметим, что теория игр
Сетевые модели
Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

В настоящие время в анализе хозяйственной деятельности организаций все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.

В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления экономических расчетов, решаются многомерные аналитические задачи, кᴏᴛᴏᴩые не могут быть выполнены традиционными методами. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.

Различают четыре основных вида экономико-математических моделей, используемых при анализе влияния отдельных факторов:

аддитивные модели;
мультипликативные модели;
кратные модели;
смешанные модели.

Аддитивные модели могут быть определены как алгебраическая сумма отдельных показателей. Нужно помнить, такие модели могут быть охарактеризованы с помощью следующей формулы:

Примером аддитивной модели будет баланс товарной продукции.

Мультипликативные модели могут быть определены как произведение отдельных факторов.

Важно заметить, что одним из примеров подобной модели может быть двухфакторная модель, выражающая зависимость между объемом выпуска продукции, количеством единиц используемого оборудования и выработкой продукции в расчете на одну единицу оборудования:

П = К В ,

П — объем выпуска продукции;
К — количество единиц оборудования;
В — выработка продукции на единицу оборудования.

Кратные модели — ϶ᴛᴏ соотношение отдельных факторов. Стоит заметить, что они характеризуются такой формулой:

ОП = x/y

Здесь ОП представляет собой обобщающий экономический показатель, кᴏᴛᴏᴩый находится под влиянием отдельных факторов x и y . Примером кратной модели может служить формула, выражающая зависимость между продолжительностью оборота оборотных активов в днях, средней величиной данных активов за данный период и однодневным объемом продаж:

П = ОА/ОП ,

П — продолжительность оборота;
ОА — средняя величина оборотных активов;
ОП — однодневный объем продаж.

Наконец, смешанные модели — ϶ᴛᴏ сочетание уже рассмотренных нами видов моделей. Вот к примеру, такой моделью может быть описан показатель рентабельности активов, на уровень кᴏᴛᴏᴩого влияют три фактора: чистая прибыль (ЧП), величина внеоборотных активов (ВА), величина оборотных активов (ОА):

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Таким образом, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Важно знать, что большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После ϶ᴛᴏго нужно выбрать способ решения ϶ᴛᴏй модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с данными способами и методами в экономическом анализе могут быть использованы и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Важно заметить, что одним из таких способов (методов) будет интегральный. Стоит заметить, что он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода ϶ᴛᴏт прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, кᴏᴛᴏᴩые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между данными элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в ϲʙᴏей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода крайне важно соблюдение нескольких условий. В первую очередь, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

В случае если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К ϶ᴛᴏму типу задач ᴏᴛʜᴏϲᴙтся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме ϶ᴛᴏго метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Стоит заметить, что он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода состоит по сути в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. По϶ᴛᴏму метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как ϶ᴛᴏ имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения данных показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из данных факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, ɥᴛᴏбы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Исходя из всего выше сказанного, мы приходим к выводу, что общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из кᴏᴛᴏᴩых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по кᴏᴛᴏᴩой определена эта производная. Уместно отметить, что определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . В случае если эта функция будет дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы ϶ᴛᴏй формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих данных факторов — ϶ᴛᴏ главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит по сути в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Будем исходить из предположения того, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

См.далее: Метод линейного программирования

Отметим, что теория массового обслуживания

См.далее: Отметим, что теория массового обслуживания

Отметим, что теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Отметим, что теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда ᴏᴛʜᴏϲᴙтся такие ситуации, кᴏᴛᴏᴩые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр могут быть использованы алгебраические методы, кᴏᴛᴏᴩые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Важно заметить, что одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, будет так называемый анализ чувствительности. Материал опубликован на http://сайт
Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

Для оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации крайне важно заранее предусматривать те изменения, кᴏᴛᴏᴩые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

К примеру, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, кᴏᴛᴏᴩые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель, изменится.

Вот к примеру, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж.
Стоит отметить, что остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, будут при ϶ᴛᴏм неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

См.далее: Метод сетевого планирования

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Стоит заметить, что он содержит в себе рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик ϶ᴛᴏй системы на будущие периоды. В процессе осуществления ϶ᴛᴏго вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров данных функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Стоит заметить, что они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, кᴏᴛᴏᴩые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.

Пользовательское соглашение:
Интеллектуальные права на материал - Математические методы в экономике принадлежат её автору. Данное пособие/книга размещена исключительно для ознакомительных целей без вовлечения в коммерческий оборот. Вся информация (в том числе и "Экономико-математические методы и модели анализа") собрана из открытых источников, либо добавлена пользователями на безвозмездной основе.
Для полноценного использования размещённой информации Администрация проекта сайт настоятельно рекомендует приобрести книгу / пособие Математические методы в экономике в любом онлайн-магазине.

Тег-блок: Математические методы в экономике, 2015. Экономико-математические методы и модели анализа.

(С) Юридический репозиторий сайт 2011-2016

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕБАЛТИЙСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по предмету:

«Экономико-математическиеметоды и моделирование»

Введение

1. Математическоемоделирование в экономике

1.1 Развитие методовмоделирования

1.2 Моделирование какметод научного познания

1.3 Экономико-математическиеметоды и модели

Заключение

Литература

Введение

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более 400 леттому назад. В середине XV в. обоснованием методов моделированиязанимался Леонардо да Винчи: он предпринял попытку вывести общие закономерностиподобия, использовал механическое и геометрическое подобие при анализе ситуацийв рассматриваемых им примерах. Он использовал понятие аналогии и обращалвнимание на необходимость экспериментальной проверки результатов аналогичныхрассуждений, на важность опыта, соотношения опыта и теории, их роли в познании.

Идеи Леонардо да Винчи о механическом подобии в XVII веке развил Галилей, онииспользовались при построении галер в Венеции.

В 1679 г. Мариотт использовал теорию механического подобия втрактате о соударяющихся телах.

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнениясамого понятия подобия были даны в конце XVII века И. Ньютоном в «Математическихначалах натуральной философии».

В 1775–76 гг. И.П. Кулибин использовал статическоеподобие в опытах с моделями моста через Неву пролетом 300 м. Модели былидеревянные, в 1/10 натуральной величины и весом свыше 5 т. Расчеты Кулибинабыли проверены и одобрены Л. Эйлером.

1. Математическое моделирование в экономике

1.1 Развитие методов моделирования

Успехи математики стимулировали использование формализованныхметодов и в нетрадиционных сферах науки и практики. Так, О. Курно (1801–1877)ввел понятие функций спроса и предложения, а еще ранее немецкий экономист И.Г. Тюнен(1783–1850) стал применять математические методы в экономике и предложил теориюразмещения производства, предвосхитив теорию предельной производительности труда.К пионерам использования метода моделирования можно отнести Ф. Кенэ (1694–1774),автора «Экономической таблицы» (зигзаги Кенэ) – одной из первых моделейобщественного воспроизводства, трехсекторной макроэкономической модели простоговоспроизводства.

В 1871 г. Ульямс Стенли Джевонс (1835–1882) опубликовал «Теориюполитической экономии», где изложил теорию предельной полезности. Подполезностью понимается способность удовлетворять потребности человека, лежащаяв основе товаров и цены. Джевонс различал:

– абстрактную полезность, которая лишена конкретной формы;

– полезность вообще как удовольствие, получаемое человеком отпотребления благ;

– предельную полезность – наименьшую полезность среди всего множестваблаг.

Практически одновременно (1874 г.) с работой Джевонсапоявился труд «Элементы чистой политической экономии» Леона Вальраса (1834–1910),в котором он поставил задачу нахождения такой системы цен, при которойсовокупный спрос по всем товарам и рынкам был бы равен совокупному предложению.По Вальрасу ценообразующими факторами являются:

Издержкипроизводства;

Предельнаяполезность блага;

Спроси предложение товара;

Воздействиена цену данного товара всей системы цен по
остальным товарам.

Конец XIX – начало XX века ознаменовались широким использованиемматематики в экономике. В XX в. математические методы моделированияиспользуются столь широко, что почти все работы, удостоенные Нобелевской премиипо экономике, связаны с их применением (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев,П. Самуэльсон, Л. Канторович и др.). Развитие предметных дисциплин вбольшинстве сфер науки и практики обусловлено все более высоким уровнем формализации,интеллектуализации и использования компьютеров. Далеко не полный переченьнаучных дисциплин и их разделов включает: функции и графики функций,дифференциальное и интегральное исчисление, функции многих переменных, аналитическуюгеометрию, линейные пространства, многомерные пространства, линейную алгебру,статистические методы, матричное исчисление, логику, теорию графов, теорию игр,теорию полезности, методы оптимизации, теорию расписаний, исследованиеопераций, теорию массового обслуживания, математическое программирование,динамическое, нелинейное, целочисленное и стохастическое программирование,сетевые методы, метод Монте-Карло (метод статистических испытаний), методытеории надежности, случайные процессы, марковские цепи, теорию моделирования иподобия.

Формализованные упрощенные описания экономических явленийназываются экономическими моделями. Модели используют для обнаружения наиболеесущественных факторов явлений и процессов функционирования экономическихобъектов, для составления прогноза возможных последствий воздействия наэкономические объекты и системы, для различных оценок и использования этихоценок в управлении.

Построение модели осуществляется как реализация следующих этапов:

а) формулирование цели исследования;

б) описание предмета исследования в общепринятых терминах;

в) анализ структуры известных объектов и связей;

г) описание свойств объектов и характера и качества связей;

д) оценивание относительных весов объектов и связейэкспертным методом;

е) построение системы наиболее важных элементов в словесной,графической или символьной форме;

ж) сбор необходимых данных и проверка точности результатов моделирования;

и) анализ структуры модели на предмет адекватности представленияописываемого явления и внесение корректив; анализ обеспеченности исходнойинформации и планирование либо дополнительных исследований для возможной заменыодних данных другими, либо специальных экспериментов для получения недостающихданных.

Математические модели, используемые в экономике, можно разделитьна классы в зависимости от особенностей моделируемых объектов, цели и методовмоделирования.

Макроэкономические модели предназначены для описания экономики какединого целого. Основными характеристиками, используемыми при анализе, являютсяВНП, потребление, инвестиции, занятость, количество денег и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных ифункциональных составляющих экономики или поведение одной из составляющих всреде остальных. Основные объекты приложения моделирования в микроэкономике – этопредложение, спрос, эластичность, издержки, производство, конкуренция,потребительский выбор, ценообразование, теория монополии, теория фирмы и др.

По характеру модели могут быть теоретическими (абстрактными), прикладными,статическими, динамическими, детерминированными, стохастическими, равновесными,оптимизационными, натурными, физическими.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики,исходя из формальных предпосылок с использованием метода дедукции.

Прикладные модели позволяют оценивать параметры функционированияэкономического объекта. Они оперируют числовыми знаниями экономическихпеременных. Чаще всего в этих моделях используют статистические или фактическиенаблюдаемые данные.

Равновесные модели описывают такое состояние экономики как системы,при котором сумма всех действующих на нее сил равна нулю.

Оптимизационные модели оперируют с понятием максимизации полезности,результатом которой является выбор поведения, при котором сохраняется состояниеравновесия на микроуровне.

Статические модели описывают мгновенное состояние экономическогообъекта или явления.

Динамическая модель описывает состояние объекта как функцию времени.

Стохастические модели учитывают случайные воздействия на экономическиехарактеристики и используют аппарат теории вероятностей.

Детерминированные модели предполагают наличие между изучаемымихарактеристиками функциональной связи и, как правило, используют аппаратдифференциальных уравнений.

Натурное моделирование проводится на реально существующих объектах приспециально подобранных условиях, например, эксперимент, проводимый во времяпроизводственного процесса на действующем предприятии, отвечающий при этомзадачам самого производства. Метод натурного исследования возник изпотребностей материального производства тогда, когда еще не существовала наука.Он сосуществует наравне с естественнонаучным экспериментом и в настоящее время,демонстрируя единство теории и практики. Разновидностью натурного моделированияявляется моделирование путем обобщения производственного опыта. Отличие состоитв том, что вместо специально образованного в производственных условияхэксперимента пользуются имеющимся материалом, обрабатывая его в соответствующихкритериальных соотношениях, используя теорию подобия.

Понятие модели всегда требует введения понятия подобия, котороеопределяется как взаимно однозначное соответствие между объектами. Функцияперехода от параметров, характеризующих один из объектов, к параметрам,характеризующим другой объект, известна.

Модель обеспечивает подобие только тех процессов, которыеудовлетворяют критериями подобия.

Теория подобия применяется при:

а) отыскании аналитических зависимостей, соотношений ирешений конкретных задач;

б) обработке результатов экспериментальных исследований втех случаях, когда результаты представлены в виде обобщенных критериальныхзависимостей;

в) создании моделей, воспроизводящих объекты или явления в меньшихмасштабах, или по сложности отличающихся от исходных.

При физическом моделировании исследование проводится наустановках, обладающих физическим подобием, т.е. когда в основном сохраняетсяприрода явления. Например, связи в экономических системах моделируютсяэлектрической цепью/ сетью. Физическое моделирование может быть временным, прикотором исследуются явления, протекающие только во времени;пространственно-временным – когда изучаются нестационарные явления,распределенные во времени и пространстве; пространственным, или объектным – когдаизучаются равновесные состояния, не зависящие от других объектов или времени.

Процессы считают подобными, если существует соответствиесходственных величин рассматриваемых систем: размеров, параметров, положения идр.

Закономерности подобия формулируются в виде двух теорем,устанавливающих соотношения между параметрами подобных явлений, не указываяспособов реализации подобия при построении моделей. Третья, или обратнаятеорема определяет необходимые и достаточные условия подобия явлений, требуяподобия условий однозначности (выделения данного процесса из многообразияпроцессов) и такого подбора параметров, при которых критерии подобия,содержащие начальные и граничные условия, становятся одинаковыми.

Первая теорема

Подобные в том или ином смысле явления имеют одинаковые сочетанияпараметров.

Безразмерные комбинации параметров, численно одинаковые для всехподобных процессов, называются критериями подобия.

Вторая теорема

Всякое полное уравнение процесса, записанное в определеннойсистеме единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е.уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные из участвующих впроцессе параметров.

Зависимость является полной, если учитывать все связи междувходящими в нее величинами. Такая зависимость не может измениться при измененииединиц измерения физических величин.

Третья теорема

Для подобия явлений должны быть соответственно одинаковымиопределяющие критерии подобия и подобны условия однозначности.

Под определяющими параметрами понимают критерии, содержащие тепараметры процессов и системы, которые в данной задаче можно считатьнезависимыми (время, капитал, ресурсы и т.д.); под условиями однозначностипонимается группа параметров, значения которых, заданные в виде функциональныхзависимостей или чисел, выделяют из возможного разнообразия явлений конкретноеявление.

Подобие сложных систем, состоящих из несколько подсистем, подобныв отдельности, обеспечивается подобием всех сходственных элементов являющихсяобщими для подсистем.

Подобие нелинейных систем сохраняется, если выполняются условиясовпадения относительных характеристик сходственных параметров, являющихся нелинейнымиили переменными.

Подобие неоднородных систем. Подход к установлению условий подобиянеоднородных систем такой же, как и подход к нелинейным системам.

Подобие при вероятностном характере изучаемых явлений. Все теоремыусловия подобия, относящиеся к детерминированным системам, оказываютсясправедливыми при условии совпадения плотностей вероятностей сходственных параметров,представленных в виде относительных характеристик. При этом дисперсии иматематические ожидания всех параметров с учетом масштабов должны быть уподобных систем одинаковыми. Дополнительным условием подобия являетсявыполнение требования физической реализуемости сходственной корреляции и междустохастически заданными параметрами, входящими в условие однозначности.

Существует два способа определения критериев подобия:

а) приведение уравнений процесса к безразмерному виду;

б) использование параметров, описывающих процесс, при томчто уравнение процесса неизвестно.

На практике пользуются также еще одним способом относительныхединиц, являющимся модификацией первых двух. При этом все параметры выражаютсяв долях от определенным образом выбранных базисных величин. Наиболеесущественные параметры, выраженные в долях базисных можно рассматривать каккритерии подобия, действующие в конкретных условиях.

Таким образом, экономико-математические модели и методы – это нетолько аппарат для получения экономических закономерностей, но и широкоиспользуемый инструментарий практического решения проблем в управлении,прогнозировании, бизнесе, банковском деле и других разделах экономики.

1.2 Моделирование как метод научного познания

Научное исследование представляет собой процесс выработки новыхзнаний, один из видов познавательной деятельности. Для проведения научныхисследований используются различные методы, одним из которых являетсямоделирование, т.е. исследование какого-либо явления, процесса или системыобъектов путем построения и изучения его моделей. Моделирование означает такжеиспользование моделей для определения или уточнения характеристик ирационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

«Моделирование – одна из основных категорий теории познания; наидее моделирования, по существу, базируется любой метод научного познания кактеоретический, так и экспериментальный». Моделирование стало применяться внаучных исследованиях еще в глубокой древности и постепенно охватывало всеновые и новые области научных знаний: техническое конструирование,строительство, архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец,общественные науки. Следует отметить, что методологии моделирования долгоевремя развивались применительно к конкретным наукам, независимо одна от другой.В этих условиях не было единой системы познаний, терминологии. Затем сталавыявляться роль моделирования как универсального метода научного познания, какважной гносеологической категории. Однако необходимо четко уяснить, чтомоделирование – это метод опосредованного познания с помощью некоторогоинструмента – модели, которая ставится между исследователем и объектомисследования. Моделирование используется либо тогда, когда объект невозможноисследовать непосредственно (ядро Земли, Солнечная система и пр.), либо тогда,когда объекта еще не существует (будущее состояние экономики, будущий спрос,ожидаемое предложение и т.п.), либо, когда исследование требует много времени исредств, либо, наконец, для проверки различного рода гипотез. Моделированиечаще всего является частью общего процесса познания. В настоящее времясуществует много различных определений и классификаций моделей применительно кзадачам разных наук. Примем определение, данное экономистом В.С. Немчиновым,известным, в частности, трудами по разработке моделей планового хозяйства:«Модель есть средство выделения какой-либо объективно действующей системызакономерных связей и отношений, имеющих место в изучаемой реальнойдействительности».

Главным требованием, предъявляемым к моделям, являетсяадекватность реальной действительности, хотя модель и воспроизводит изучаемыйобъект или процесс в упрощенном виде. При построении любой модели передисследователем стоит сложная задача: с одной стороны, упроститьдействительность, отбросив все второстепенное, чтобы сосредоточится насущественных особенностях объекта, с другой стороны, не упрощать до такогоуровня, чтобы ослабить связь модели с реальной действительностью. Американскийматематик Р. Беллман образно охарактеризовал такую задачу, как «западнюпереупрощения и болото переусложнения».

В процессе научного исследования модель может работать в двухнаправлениях: от наблюдений реального мира к теории и обратно; т.е., с однойстороны, построение модели является важной ступенью к созданию теории, с другой– одно из средств экспериментального исследования. В зависимости от выборасредств моделирования выделяют модели материальные и абстрактные (знаковые).Материальные (физические) модели широко используются в технике, архитектуре идругих областях. Они основаны на получении физического образа исследуемогообъекта или процесса. Абстрактные модели не связаны с построением физическихобразов. Они являются некоторым промежуточным звеном между абстрактнымтеоретическим мышлением и реальной действительностью. К абстрактным моделям (ихназывают знаковыми) можно отнести числовые (математические выражения сконкретными числовыми характеристиками), логические (блок-схемы алгоритмоврасчетов на ЭВМ, графики, диаграммы, рисунки). Модели, при построений которыхпреследуется цель определения такого: состояния объекта, которое являетсянаилучшим с точки зрения определенного критерия, называются нормативными.Модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых фактов или прогнозаповедения объекта, называются дескриптивными.

Эффективность применения моделей определяется научнойобоснованностью их предпосылок, умением исследователя выделить существенныехарактеристики объекта моделирования, отобрать исходную информацию,интерпретировать применительно к системе полученные результаты численныхрасчетов.

1.3 Экономико-математические методы и модели

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделированиеосновывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объектапосредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простогои доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделированияявляются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическоепрогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведенияотдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всехуровнях управления.

Описание экономических процессов и явлений в видеэкономико-математических моделей базируется на использовании одного изэкономико-математических методов. Обобщающее название комплекса экономических иматематических дисциплин – экономико-математические методы – ввел в начале 60-хгодов академик В.С. Немчинов. С известной долей условности классификациюэтих методов можно представить следующим образом.

1. Экономико-статистические методы:

· экономическаястатистика;

· математическаястатистика;

· многофакторныйанализ.

2. Эконометрия:

· макроэкономическиемодели;

· теорияпроизводственных функций

· межотраслевыебалансы;

· национальныесчёта;

· анализспроса и потребления;

· глобальноемоделирование.

3. Исследование операций (методы принятия оптимальных решений):

· математическоепрограммирование;

· сетевоеи планирование управления;

· теориямассового обслуживания;

· теорияигр;

· теориярешений;

· методымоделирования экономических процессов в отраслях и на предприятиях.

4. Экономическая кибернетика:

· системныйанализ экономики;

· теорияэкономической информации.

5. Методы экспериментального изучения экономических явлений:

· методымашинной имитации;

· деловыеигры;

· методыреального экономического эксперимента.

В экономико-математических методах применяются различные разделыматематики, математической статистики, математической логики. Большую роль врешении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теорияалгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принеслоощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенногопроизводства, матричного моделирования, определения оптимальных темпов ростакапиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрациипроизводства, задач выбора оптимальных способов производства, определенияоптимальной последовательности запуска в производство, оптимальных вариантовраскроя промышленных материалов и составления смесей, задачи подготовкипроизводства методами сетевого планирования и многих других.

Для решения стандартных проблем характерны четкость цели,возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

Существуют следующие предпосылки использования методовэкономико-математического моделирования.

Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знанияэкономической теории, экономических процессов и явлений, методологии ихкачественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки,владение экономико-математическими методами.

Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательнопроанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующиерешения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и толькотогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

Заключение

Характерной особенностью научно-технического прогресса в развитыхстранах является возрастание роли экономической науки. Экономика выдвигается напервый план именно потому, что она в решающей степени определяет эффективностьи приоритетность направлений научно-технического прогресса раскрывает широкиепути реализации экономически выгодных достижений.

Применение математики в экономической науке, дало толчок вразвитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в частиметодов экономико-математической модели. Пословица говорит: «Семь раз отмерь – Одинраз отрежь». Использование моделей есть время, силы, материальные средства.Кроме того, расчёты по моделям противостоят волевым решениям, посколькупозволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимыеварианты и рекомендовать наиболее удачные.

На всех уровнях управления, во всех отраслях используются методыэкономико-математического моделирования. Выделим условно следующие направленияих практического применения, по которым получен уже большой экономическийэффект.

Первое направление – прогнозирование и перспективное планирование.Прогнозируются темпы и пропорции развития экономики, на их основе определяютсятемпы и факторы роста национального дохода, его распределение на потребление инакопление и т.д. Важным моментом является использованиеэкономико-математических методов не только при составлении планов, но и в делеоперативного руководства по их реализации.

Второе направление – разработка моделей, которые используются какинструмент согласования и оптимизации плановых решений, в частности этомежотраслевые и межрегиональные балансы производства и распределения продукции.По экономическому содержанию и характеру информации выделяют балансыстоимостные и натурально-продуктовые, каждый из которых может быть отчетным иплановым.

Третье направление – использование экономико-математическихмоделей на отраслевом уровне (выполнение расчетов оптимальных планов отрасли,анализ с помощью производственных функций, прогнозирование основныхпроизводственных пропорций развития отрасли). Для решения задачи размещения испециализации предприятия, оптимального прикрепления к поставщикам илипотребителям и др. используются модели оптимизаций двух типов: в одних длязаданного объёма производства продукции требуется найти вариант реализацииплана с наименьшими затратами», в других требуется определить масштабыпроизводства и структуру продукции с целью получения максимального эффекта. Впродолжение расчетов осуществляется переход от статистических моделей кдинамическим и от статистических моделей к динамическим и от моделированияотдельных отраслей к оптимизации многоотраслевых комплексов. Если раньше былипопытки создать единую модель отрасли, то теперь наиболее перспективнымсчитается использование комплексов моделей, взаимоувязанных как по вертикали,так и по горизонтали.

Четвертое направление – экономико-математическое моделированиетекущего и оперативного планирования промышленных, строительных, транспортных идругих объединений, предприятий и фирм. Область практического применениямоделей включает также подразделения сельского хозяйства, торговли, связи,здравоохранения, охрану природы и т.д. В машиностроении используется большоеколичество разнообразных моделей, наиболее «отлаженными» из которых являютсяоптимизационные, позволяющие определить производственные программы и наиболеерациональные варианты использования ресурсов, распределить производственнуюпрограмму во времени и эффективно организовать работу внутризаводскоготранспорта, существенно улучшить загрузку оборудования и разумно организоватьконтроль продукции и др.

Пятое направление – территориальное моделирование, начало которомуположила разработка отчетных межотраслевых балансов некоторых регионов в конце50-х годов.

В качестве шестого направления можно выделитьэкономико-математическое моделирование материально-технического обеспечения,включающее оптимизацию транспортно-экономических связей и уровня запасов.

К седьмому направлению относятся модели функциональных блоковэкономической системы: движение населения, подготовка кадров, формированиеденежных доходов и спроса на потребительские блага и др.

Особенно большую роль приобретают экономико-математические методыпо мере внедрения информационных технологий во всех областях практики.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследованиеопераций. – М: Советское радио, 1972.

2. Грешилов А.А. Какпринять наилучшее решение в реальных условиях. - М.: Радио и связь, 1991.

3. Канторович Л.В. Экономическийрасчёт наилучшего использования ресурсов. – М.: Наука, АН СССР, 1960.

4. Кофман А.,Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. – М.: Прогресс, 1968.

5. Кофман А.,Фор Р. Займёмся исследованием операций. – М.: Мир, 1966.

1. Моделирование как метод научного познания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

2. Особенности применения метода математического моделирования в экономике.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

3. Особенности экономических наблюдений и измерений.

Уже длительное время главным тормозом практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию экономики выдвигают новые требования к системе информации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования.

Методы экономических наблюдений и использования результатов этих наблюдений разрабатываются экономической статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.

В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается динамичностью экономических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений. Вследствие этого экономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает взаимодействие "первичных" и "вторичных" экономических измерителей. Любая модель народного хозяйства опирается на определенную систему экономических измерителей (продукции, ресурсов, элементов и т.д.). В то же время одним из важных результатов народнохозяйственного моделирования является получение новых (вторичных) экономических измерителей - экономически обоснованных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных природных ресурсов, измерителей общественной полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает разрабатывать особую методику корректировки первичных измерителей для хозяйственных моделей.

С точки зрения "интересов" моделирования экономики в настоящее время наиболее актуальными проблемами совершенствования экономических измерителей являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей социально-экономического развития, измерение эффектов обратных связей (влияние хозяйственных и социальных механизмов на эффективность производства).

4. Случайность и неопределенность в экономическом развитии.

Для методологии планирования экономики важное значение имеет понятие неопределенности экономического развития. В исследованиях по экономическому прогнозированию и планированию различают два типа неопределенности: "истинную", обусловленную свойствами экономических процессов, и "информационную", связанную с неполнотой и неточностью имеющейся информации об этих процессах. Истинную неопределенность нельзя смешивать с объективным существованием различных вариантов экономического развития и возможностью сознательного выбора среди них эффективных вариантов. Речь идет о принципиальной невозможности точного выбора единственного (оптимального) варианта.

В развитии экономики неопределенность вызывается двумя основными причинами. Во-первых, ход планируемых и управляемых процессов, а также внешние воздействия на эти процессы не могут быть точно предсказуемы из-за действия случайных факторов и ограниченности человеческого познания в каждый момент. Особенно характерно это для прогнозирования научно-технического прогресса, потребностей общества, экономического поведения. Во-вторых, общего сударственное планирование и управление не только не всеобъемлющи, но и не всесильны, а наличие множества самостоятельных экономических субъектов с особыми интересами не позволяет точно предвидеть результаты их взаимодействий. Неполнота и неточность информации об объективных процессах и экономическом поведении усиливают истинную неопределенность.

На первых этапах исследований по моделированию экономики применялись в основном модели детерминистского типа. В этих моделях все параметры предполагаются точно известными. Однако детерминистские модели неправильно понимать в механическом духе и отождествлять их с моделями, которые лишены всех "степеней выбора" (возможностей выбора) и имеют единственное допустимое решение. Классическим представителем жестко детерминистских моделей является оптимизационная модель народного хозяйства, применяемая для определения наилучшего варианта экономического развития среди множества допустимых вариантов.

В результате накопления опыта использования жестко детерминистских моделей были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающих стохастику и неопределенность. Здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, усовершенствуется методика использования моделей жестко детерминистского типа: проведение многовариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих приспособляемость экономических решений к вероятным и непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают распространение модели, непосредственно отражающие стохастику и неопределенность экономических процессов и использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайных процессов.

5. Проверка адекватности моделей.

Сложность экономических процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.

В естественных науках достаточным условием истинности результатов моделирования и любых других форм познания является совпадение результатов исследования с наблюдаемыми фактами. Категория "практика" совпадает здесь с категорией "действительность". В экономике и других общественных науках понимаемые таким образом принцип "практика - критерий истины" в большей степени применим к простым дескриптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности (анализа прошлого развития, краткосрочного прогнозирования неуправляемых экономических процессов и т.п.).

Однако главная задача экономической науки конструктивна: разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными. Если ориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом решения качественно новых социально-экономических задач.

Специфика верификации нормативных моделей экономики состоит в том, что они, как правило, "конкурируют" с другими, уже нашедшими практическое применение методами планирования и управления. При этом далеко не всегда можно поставить чистый эксперимент по верификации модели, устранив влияние других управляющих воздействий на моделируемый объект.

Ситуация еще более усложняется, когда ставится вопрос о верификации моделей долгосрочного прогнозирования и планирования (как дескриптивных, так и нормативных). Ведь нельзя же 10-15 лет и более пассивно ожидать наступления событий, чтобы проверить правильность предпосылок модели.

Несмотря на отмеченные усложняющие обстоятельства, соответствие модели фактам и тенденциям реальной экономической жизни остается важнейшим критерием, определяющим направления совершенствования моделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью и моделью, сопоставление результатов по модели с результатами, полученными иными методами, помогают выработать пути коррекции моделей.

Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому анализу, в том числе средствами самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации моделей, как доказательство существования решения в модели, проверка истинности статистических гипотез о связях между параметрами и переменными модели, сопоставления размерности величин и т.д., позволяют сузить класс потенциально "правильных" моделей.

Внутрення непротиворечивость предпосылок модели проверяется также путем сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий, а также со следствиями "конкурирующих" моделей.

Оценивая современное состояние проблемы адекватности математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивной комплексной методики верификации моделей, учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов, так и особенности их познания, по-прежнему является одной из наиболее актуальных задач экономико-математических исследований.

6. Классификация экономико-математических моделей.

Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

7. Этапы экономико-математического моделирования.

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью эконномических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. На рис.1 изображены связи между этапами одного цикла экономико-математического моделирования.

Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной инфориации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дефференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

8. Роль прикладных экономико-математических исследований.

Можно выделить по крайней мере четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

1. Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

3. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

4. Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

ВВЕДЕНИЕ

Удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека. Наиболее грандиозные технические проекты XX и начала XXI века без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее. Однако, даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественными и логичным, так как вся математика изначально и многие её разделы в последствий, своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества.

В то же время, справедливость общих положений ещё не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. Поэтому, не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль математических методов и математики вообще, что и вызывает у обучающихся негативное отношение к предмету: существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и даёт вполне приемлемые результаты. Таким структурам относятся отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчётам в рамках задач бухгалтерского учёта, что создаёт и укрепляет иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьёзной математики вообще.

Однако такая точка зрения является излишне упрощённой.

Математическая модель объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

Экономико-математическое моделирование , являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики, вернее сплав экономики, математики и кибернетики.

В составе экономико-математических методов можно выделить следующие научные дисциплины и их раздели:

Экономическая кибернети ка (системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем);

Математическая статистика (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, кластерный анализ, частотный анализ, теория индексов и др.);

Математическая экономика и эконометрика (теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.);

Методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые и программно-целевые методы планировании и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний и др.);

Специфические методы и дисциплины (модели свободной конкуренции, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и др.);

Экспериментальные методы изучения экономики (математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование, деловые игры, методы экспертных оценок и др.).

Экономико-математические модели можно классифицировать по следующим основным признакам

По общему целевому назначению – теоретико-аналитические и прикладные модели ;

По степени агрегирования объектов – микроэкономические и макроэкономические модели ;

По конкретному предназначению – балансовые (требование соответствия наличия ресурсов и их использования), трендовые (развитие моделируемой системы через длительную тенденцию её основных параметров), оптимизационные, имитационные (в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) модели ;

По типу информации, используемой в модели, - аналитические и идентифицируемые (на базе апостериорной, экспериментальной информации) модели ;

По учёту фактора неопределённости – детерминированные и стохастические модели ;

По характеристике математических объектов или аппарата – матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т. п. ;

По типу подхода к изучаемым системам – дескриптивные (описательные) модели (например, балансовые и трендовые) и нормативные модели (например, оптимизационные модели и модели уровня жизни).

Также по используемому инструментарию можно выделить равновесные, статические, динамические, непрерывные и другие модели.

Теоретические модели на базе априорной информации отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны ка единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях олигополии с использованием методов оптимизации и теории игр и т. п.

Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия.

Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарии теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Равновесные модели, присущие рыночной экономике, описывающие поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.

Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели, напротив, включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.

К числу сложной комбинированной экономико-математической модели, например, можно отнести экономико-математическую модель межотраслевого баланса , являющуюся прикладной, макроэкономической, аналитической, дескриптивной, детерминированной, балансовой, матричной моделью, причём выделяют как статические, так и динамические модели межотраслевого баланса.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§ 1. Основные понятия и определения

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся теорией и методами решения многомерных экстремальных задач на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

В общем виде задача математического программирования формулируется следующим образом: найти наименьшее (или наибольшее) значение функции при ограничениях

где и – заданные функции, а– некоторые постоянные числа.

В зависимости от свойств функции и математическое программирование делится на ряд самостоятельных дисциплин. Прежде всего это линейное программирование. К задачамлинейного программирования (ЛП) относятся задачи математического программирования, в которых функции и

Для решения задач линейного программирования существуют универсальные методы, с помощью которых можно решить любую задачу линейного программирования.

Рассмотрим основную задачу линейного программирования.

(1.2)

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.2) найти такое решение, при котором функция (1.1) принимает минимальное значение .

канонической или основной задачей линейного программирования (ЗЛП).

Условия неотрицательности решения системы (1.2), если они не оговорены в формулировке задачи, записываются в виде

Функцию (1.1) называют целевой функцией (ЦФ), а условия (1.2) – ограничениями-равенствами .

Всякое неотрицательное решение системы (1.2) называется допустимым решением или планом задачи.

Совокупность допустимых решений системы (1.2) называется областью допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение системы (1.2), минимизирующее функцию (1.1), называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.

Значение целевой функции (1.1), отвечающее оптимальному решению, называется оптимумом .

Если в задаче линейного программирования необходимо найти максимум функции , то максимизацию этой функции можно заменить минимизацией противоположной функции .

Рассмотрим другую задачу линейного программирования.

Пусть заданы линейная функция

и система линейных уравнений снеизвестными

(1.5)

где ,и– заданные постоянные числа.

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.5) найти такое решение, которое минимизирует функцию (1.4) .

Сформулированная задача называется стандартной или симметричной задачей линейного программирования .

Условия (1.5) называются ограничениями-неравенствами .

Стандартную задачу линейного программирования нетрудно привести к каноническому виду, заменив неравенства в системе (1.5) равенствами с помощью введения новых неотрицательных неизвестных .

§ 2. Простейшие задачи линейного программирования

Задача о наилучшем использования ресурсов .

Для трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Предприятие может израсходовать 32 т сырья, не менее 40 т сырьяи не более 50 т сырья. Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида, а также трудовые и энергетические затраты на производство единицы продукции, и приведены в таблице.

	Запасы (т)	Нормы расхода на единицу продукции (т)
	Запасы (т)



Расходы (руб.)

Определить количества продукции видов ,и, которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.

Для построения математической модели задачи обозначим через количества продукции видов , и соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде

Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях. Записанных в виде равенств и неравенств.

Задача о максимальном доходе производственного предприятия .

При производстве трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Запасы каждого вида сырья составляют 32 т, 40 т и 50 т соответственно. Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида приведены в таблице.

	Запасы (т)	Виды продукции
	Запасы (т)



Прибыль (руб.)

Требуется составить план выпуска продукции , и, при котором прибыль от реализации всей продукций была бы максимальной.

Обозначим через количества единиц продукции видов , и, которую необходимо производить.

Математическая модель данной задачи имеет вид

Таким образом, надлежит найти такой набор неотрицательных чисел , удовлетворяющий полученной системе ограничений-неравенств, который доставляет максимальное значение целевой функции .

Задача о рационе питания .

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток определённое количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.

Пусть имеется три вида продуктов ,и и перечень из необходимых питательных веществ и. Количество питательных веществ, содержащегося в единице продукта, а также стоимости единиц продуктов приведены в таблице.

Питательные вещества	Суточная Потребность 1 человека	Виды продукции
Питательные вещества	Суточная Потребность 1 человека



Стоимость 1 единицы продукта (руб.)

Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.

Обозначим через количества единиц продуктов видов , и.

Математическая модель данной задачи будет иметь вид