Свойства движения общего вида. Основная теорема движений

Введение.

Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.

В алгебре рассматриваются различные функции. Функция f каждому числу х из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f(x) – значение функции f в точке х. В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями.

Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. Благодаря геометрическим преобразованиям, многие разрозненные факты геометрии укладываются в стройную теорию.

В реферате, в основном, речь пойдёт о преобразованиях пространства. Будут рассмотрены все движения, подобия, круговые и аффинные преобразования пространства, а также аффинные и проективные преобразования плоскости. Для каждого преобразования будут рассмотрены его свойства и примеры применения к решению геометрических задач.

Для начала обратимся к некоторым основным понятиям, которые будут необходимы нам для работы с преобразованиями. Остановимся на двух терминах: расстояние и преобразование. Итак, что мы будем понимать под этими словами:

Определение. Расстоянием между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.

Определение. Преобразованием множества будем называть взаимно однозначное отображение этого множества на себя.

Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.

Часть I. Движения пространства.

Общие свойства движений.

Определение. Преобразование пространства называется движением , если оно сохраняет расстояния между точками.

Свойства движений.

Преобразование, обратное к движению, – движение.
Композиция движений – движение.
При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость – в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.
Образом плоского угла при движении является плоский угол той же величины.
Движение сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Движение сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения движения.

Пусть точки А, Х и В лежат на одной прямой, причём точка Х лежит между А и В. Тогда АХ+ХВ=АВ. Пусть точки А´, Х´, В´ – образы точек А, Х, В при движении. Тогда А´Х´+Х´В´=А´В´ (из определения движения). А отсюда следует, что точки A´, X´, B´ лежат на одной прямой, причём Х´ лежит между А´ и В´.
Из доказанного утверждения сразу следует, что при движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Для плоскости доказательство можно провести так. Пусть a, b – две пересекающиеся прямые нашей плоскости α, a´, b´ – их образы. Очевидно, a´ и b´ пересекаются. Пусть α´ – плоскость, содержащая прямые a´, b´. Докажем, что α´ – образ плоскости α. Пусть М – произвольная точка плоскости α, не лежащая на прямых a и b. Проведём через M прямую c, пересекающую прямые a и b в различных точках. Образом этой прямой является прямая с´, пересекающая прямые a´, b´ в различных точках. Значит, и М´, образ точки М, лежит в плоскости α´. Итак, образ любой точки плоскости α лежит в плоскости α´. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости α´ лежит в плоскости α. Отсюда α´ – образ плоскости α.

Теперь уже несложно доказать утверждение и для полуплоскости. Надо лишь дополнить полуплоскость до плоскости, рассмотреть прямую а, ограничивающую полуплоскость, и её образ а´, а затем доказать от противного, что образы любых двух точек полуплоскости лежат по одну сторону от а´.

Следует из свойства 3.
Следует из свойства 4 и определения угла между прямыми (прямой и плоскостью, двумя плоскостями) в пространстве.
Предположим противное, т.е. пусть образы наших параллельных прямых (прямой и плоскости, плоскостей) пересекаются (в случае параллельных прямых ещё надо показать, что их образы не могут быть скрещивающимися прямыми, но это сразу следует из того, что плоскость, содержащая эти прямые, перейдёт в плоскость). Тогда рассмотрим их общую точку. У неё будет два прообраза, что невозможно по определению преобразования.

Определение. Фигура Ф называется равной фигуре Ф´, если существует движение, переводящее Ф в Ф´.

Виды движений.

3.1. Тождественное преобразование.

Определение. Тождественным преобразованием Е пространства называется преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

Очевидно, тождественное преобразование является движением.

3.2. Параллельный перенос.

Определение. Пусть в пространстве задан вектор . Параллельным переносом пространства на вектор называется преобразование, при котором каждая точка М отображается в такую точку М´, что .

Теорема 3.2. Параллельный перенос – движение.

Доказательство. Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства:

Свойство переноса. Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.

Центральная симметрия.

Определение. Симметрией относительно точки О (центральной симметрией ) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии .

Теорема 3.4. Центральная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда .

Свойство центральной симметрии. Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.

Теорема о задании движения.

Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.

Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия S α переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 .

Теперь, если В 1 совпала с В´, С 1 – с С´, D 1 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В 1 не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B 1 и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В 1 и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия S β переводит тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 в тетраэдр A´B´C 2 D 2 .

Теперь, если С 2 совпала с С´, а D 2 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С 2 не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С 2 и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С 2 и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия S γ переводит тетраэдр A´B´C 2 D 2 в тетраэдр A´B´C´D 3 .

Теперь, если D 3 совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D 3 и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D 3 и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия S δ переводит тетраэдр A´B´C´D 3 в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.

При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.

Гомотетия пространства.

Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию.

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что .

Свойства гомотетии.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения гомотетии.

3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ).

4. Доказывается от противного.

Следует из свойства 1.

Свойства подобия.

Теорема 2.1. Подобие пространства можно представить композицией гомотетии и движения f:

Доказательство. Произведём гомотетию с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения.

Заметим, что, выбрав за f движение , мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .

Свойства подобия.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следствия из теоремы 2.1.

3. Следует из определения подобия.

4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже.

Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М.

Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела.

Теорема 2.2. (о задании подобия пространства) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что , то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.

Доказательство. То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование – движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.

Задача 1.

Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны.

Решение.

Для правильного треугольника утверждение очевидно.

Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции.

Задача 2.

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Решение.

Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно.

Сжатие к прямой.

Определение. Сжатием к прямой ℓ с коэффициентом k () называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что и , где .

Теорема 2.1. Сжатие к прямой – аффинное преобразование.

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей).

Теорема 2.2. Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку.

Доказательство. Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.

Теорема 2.3. Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия.

Доказательство. Следует из теоремы 2.2.

Теорема 2.4. Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием.

Доказательство. Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие.

3. Аффинные преобразования пространства.

Определение. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.

Свойства.

При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).

Доказательства свойств.

Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
Для плоскостей доказывается от противного, для прямых – через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости.

Теорема 3.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Доказательство. Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов).

Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´.

Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства аффинного преобразования.

Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.

Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в О´ , а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.

Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´, , , ). Отсюда

Поэтому имеем равенства (*):

Стоит ещё заметить, что , т.к. векторы , , линейно независимы.

Этот определитель называется определителем аффинного преобразования .

Теорема 3.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.

Доказательство. Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:

Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система

с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.

Теорема 3.3. Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .

Доказательство. Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:

Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:

где V 0 – объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.

Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:

где – объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах.

Отсюда получаем: . Далее , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).

Задача.

Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда.

Решение.

Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12.

Ответ: 1:12.

Родство пространства.

Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством ), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства . Соответственные при родстве элементы называются родственными .

Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства .

Свойства родства.

Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
(Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.

Доказательства свойств.

1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).

2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.

3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.

Определение. Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом . Частным случаем эллипсоида является сфера.

Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:

Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.

Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.

Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.

Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:

Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.

Часть IV. Проективные преобразования.

1. Проективные преобразования плоскости.

Определение. Проективная плоскость – обычная (евклидова)плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами . При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.

Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным .

Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.

Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.

При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными .

Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).

Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции :

Центральное проектирование – проективное преобразование.
Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.
Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.

Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.

Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.

Аналогично .

Поделив одно равенство на другое, получим .

Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .

Отсюда , т.е. .

Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.

Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.

Доказательство.

Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.

Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X 1 X 2 (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y 1 Y 2 (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х 1 , Х 2 следует, что прямая Х 1 Х 2 – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y 1 ´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y 2 ´ такую, что Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y 1 ´ и Y 2 ´ следует, что прямая Y 1 ´Y 2 ´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С 0 ´ прямой С´D´.

Докажем, что С 0 совпадает с С´. Из того, что Х 2 при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y 2 ´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С 0 и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D 0 – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.

Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1.

Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись п

Лекция 10 . Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур.

Литература. § 41.

Теорема 1. Движения плоскости образуют группу преобразований.

Доказательство. Нам достаточно проверить, что произведение любых двух движений является движением, и обратное преобразование к движению также представляет собой движение плоскости. Рассмотрим два произвольных движения g и h . Тогда для любых двух точек A и B плоскости справедливы соотношения: и. Так как и, то произведение сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

Пусть f - произвольное движение плоскости. Рассмотрим две точки A и B и обозначим через A" и B" их образы при обратном преобразовании: Тогда. Так как f движение плоскости, то: . Поэтому. Преобразование обратное к движению также является движением. Теорема доказана.

Параллельный перенос и вращение являются частными видами движений. Можно доказать, что множества всех параллельных переносов, а также множество всех вращений с фиксированным центром, образуют подгруппы в группе движений плоскости . Не трудно показать, что множество всех движений, переводящих фигуру F в себя, образует подгруппу в группе движений. Если такое движение отлично от тождественного, то оно называется симметрией фигуры F , а указанная подгруппа - группой её симметрий . Доказательство этих утверждений проведите самостоятельно.

Выясним, какие множества служат образами прямых, отрезков, лучей, углов и окружностей при движении.

Свойство 1. Пусть f - движение плоскости, A", B" и C"- образы точек А,В и С при движении f. Тогда точки A", B" и C" лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А,В и С коллинеарны.

Доказательство. Как известно из школьного курса геометрии, три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда для одной из них, например B , выполнено условие: . В этом случае точка В лежит между A и С (рис. 130, а). Предположим, что, A, B и С - коллинеарны и В лежит между A и C . Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то:

". Поэтому точки A ", B " и C " коллинеарные.

Пусть точки A, В и С не лежат на одной прямой. Тогда они расположены в вершинах треугольника (рис. 130, б). Поэтому расстояния между ними удовлетворяют неравенствам: . В силу того, что f сохраняет расстояния между точками, то: . Поэтому точки А", B" и C" также лежат в вершинах треугольника. Таким образом, если точки А", B" и C" коллинеарны, то их прообразы не могут лежать в вершинах треугольника. Свойство доказано.

При движении коллинеарные точки преобразуются в коллинеарные, а точки, не лежащие на одной прямой, в точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. При движении образом прямой является прямая линия.

Доказательство . Пусть l - прямая линия, A и B две её произвольные точки, некоторое движение, . Обозначим через l" прямую А"В" . В соответствии со свойством 1, точки, принадлежащие прямой АВ , преобразуются в точки, которые лежат на прямой А"В" . Поэтому. Покажем, что прообраз любой точки C" прямой l" лежит на прямой l . Тем самым будет доказано, что. Пусть. При доказательстве теоремы 1 мы проверили, что преобразование также является движением. Так как, a точки А", В" и C" - коллинеарные, то A, В и С также лежат на одной прямой. Свойство доказано.

Для того, чтобы найти образы отрезков, лучей и углов при движении, нам следует воспользоваться свойствами простого отношения точек прямой. Напомним это понятие. Пусть А, В и С различные точки, принадлежащие одной прямой. Число  называется их простым отношением ( = (AB,C)), если. При этом, точки A и В называются базисными, a точка С делящей. Точка С в том и только в том случае лежит на отрезке АВ , когда. Точка С в том и только в том случае лежит на луче прямой AB с началом в точке B , не содержащем A , когда. И, наконец, точка С лежит на луче прямой AB с началом в точке A , не содержащем точку В , тогда и только тогда, когда (рис. 131).

Свойство 3. При движении сохраняется простое отношение точек.

Доказательство. Пусть точка С принадлежит отрезку АВ . Тогда. Так как в силу своего определения простое отношение задается отношением векторов и, то в данном случае оно равно отношению длин отрезков: . Рассмотрим произвольное движение f , обозначим через A", B" и C " образы точек A , В и С при этом движении. Точка С принадлежит отрезку АВ , поэтому лежит между этими точками, следовательно. Так как движение сохраняет расстояния между точками, то. Отсюда вытекает, что точка С  лежит между A  и В  , и

Предположим теперь, что точка В лежит между A и С (см. рис 131). Тогда, и, как следует из определения простого отношения, . В силу того, что f - движение, . Поэтому точка B" лежит между A" и C" и Для рассматриваемого случая свойство доказано. Аналогично проводится доказательство для точек А , В и C , при условии, что точка A лежит между С и B . Доказательство проведите самостоятельно.

Свойство 4. При движении отрезок преобразуется в равный ему отрезок .

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок. Пусть f некоторое движение, . Точка С в том и только в том случае принадлежит отрезку, когда эти точки коллинеарные и. Обозначим через C" образ точки С при движении f . Из свойств 1 и 3 следует, что точки и коллинеарные и. Поэтому точка С" принадлежит отрезку. Таким образом, . Легко видеть, что прообраз любой точки C" отрезка также принадлежит. Действительно, обратное преобразование также является движением, отсюда следует, что лежит на отрезке. Поэтому. Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то отрезки и равны друг другу. Свойство доказано.

Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Доказательство. Доказательство этого свойства аналогично предыдущему. Рассмотрим луч l с началом в точке A . Обозначим через В точку луча l , отличную от A . Пусть f - произвольное движение, . Пусть луч с началом в точке, проходящий через. Если С некоторая точка луча l , то она либо лежит на отрезке, либо на его продолжении. Если, то в соответствии со свойством 4, её образ лежит на отрезке. Пусть С принадлежит продолжению отрезка. Тогда. Так как при движении сохраняется простое отношение точек, то. Отсюда следует, что точка C" принадлежит продолжению отрезка луча. Таким образом, . Для доказательства утверждения осталось проверить, что прообраз любой точки C" луча l" принадлежит лучу l . Рассуждения проведите самостоятельно, воспользуйтесь при этом, что обратное преобразование также является движением.

Как известно из школьного курса геометрии, под углом понимаются два луча, имеющие общее начало.

Свойство 6. При движении угол преобразуется в равный ему угол.

Доказательство. Рассмотрим лучи m и n , имеющие общее начало в точке A . При движении f они преобразуются в лучи m" и n" с началом в точке. Поэтому угол преобразуется в угол. Выберем на лучах m и n точки В и C : . Обозначим через B" и C" их образы при движении f . Тогда (рис. 131). Так как то треугольник АВС равен треугольнику А"В"С" . Поэтому  ABC =  A"B"C" . Свойство доказано.

Выясним, что представляет собой при движении образ окружности.

Свойство 7 . Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Доказательство. Пусть f произвольное движение, образ центра О при этом движении окружности  , радиус которой равен. Обозначим через  " окружность с центром в точке O" радиуса r . Возьмем точку C , принадлежащую  . Пусть. Так как, то точка C" принадлежит окружности  ". Обратно, пусть C" - произвольная точка окружности  ", ее прообраз при движении. Так как обратное преобразование является движением, то, т.е. точка С принадлежит окружности  . Таким образом, ". Свойство доказано.

Ведем необходимое нам понятие репера.

Определение 2 . Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек.

В дальнейшем аффинный репер R будем обозначать следующим образом, где и - соответственно его первая, вторая и третья точки. Часто слово "аффинный" будем опускать, понимая под репером аффинный репер. Если точки репера удовлетворяют условию: , а угол - прямой, то репер будем называть ортонормированным.

Свяжем с каждым репером аффинную систему координат. Если нам дан репер, то поставим ему в соответствие систему: , где (рис. 133, a). И наоборот, каждой аффинной системе координат поставим соответствие репер, удовлетворяющий указанным условиям. Очевидно, что ортонормированному реперу соответствует прямоугольная декартовая система координат (рис. 133, б), а прямоугольной декартовой системе координат соответствует ортонормированный репер. В дальнейшем под координатами точки относительно репера будем понимать её координаты в соответствующей системе координат.

Легко видеть, что справедливо еще одно свойство движения.

Свойство 7 . При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Утверждение непосредственно следует из свойств 4 и 6 движения.

Справедливо следующее основное свойство, из которого следует, что любое движение полностью определяется с помощью двух ортонормированных реперов.

Теорема 2 (основное свойство движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и. Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R": .

Доказательство. Покажем, что такое движение существует. Рассмотрим две прямоугольные декартовые системы координат, соответствующие данным ортонормированным реперам. Первая система образована точкой и векторами: и вторая. Как было принято в первой части курса геометрии, координаты точек в этих системах будем снабжать индексами 1 и 2: . Поставим в соответствие каждой точке M плоскости с координатами x и y относительно первой системы точку M" с теми же координатами x и y относительно второй системы координат. Ясно, что такое соответствие g является взаимно однозначным отображением плоскости на себя. Покажем, что g - движение точек плоскости. Рассмотрим произвольные точки M и N , координаты которых в первой системе равны: , .Так как система координат прямоугольная декартовая, то расстояние между данными точками вычисляется по формуле: Если M " и N" образы M и N при преобразовании g , то эти точки имеют те же координаты относительно второй системы: , . Вторая система координат также прямоугольная декартовая. Поэтому: Таким образом, g движение точек плоскости. Так как при этом преобразовании сохраняются координаты точек, то (i =1,2,3). Существование движения, переводящего репер R в R" доказано.

Докажем его единственность. Предположим, что существуют два движения f и g , переводящие репер R в R ": , такие, что для некоторой точки M плоскости. Так как f движение плоскости, то. С другой стороны, g также движение, поэтому: . Следовательно, точка равноудалена от точек и, т.е. принадлежит серединному перпендикуляру от

резка (рис. 134). Аналогично показывается, что и также лежат на этом перпендикуляре. Мы пришли к противоречию, так как из определения 2 следует, что точки и репера R" не могут принадлежать одной прямой. Предположение о существовании двух различных движений, переводящих репер R в R" , - ложно. Теорема доказана.

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R", то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно репера R соответствует точка M"= f(M) с теми же координатами x и у относительно репера R".

Действительно, при доказательстве теоремы 1 мы построили движении g, удовлетворяющее указанному свойству. Так как существует единственное движение, переводящее репер R в R", то движения f и g совпадают. Введём следующее определение.

Определение 3. Под флагом плоскости будем понимать точку, луч с началом в этой точке и полуплоскость, граница которой содержит этот луч.

Обозначать флаг будем следующим образом: , где М точка, l луч, a полуплоскость флага. Каждому флагу однозначно соответствует ортонормированный репер, где М - точка флага, лежит на его луче, a принадлежит полуплоскости флага (рис 135). Ясно, что каждому флагу соответствует ортонормированный репер и наоборот, каждому такому реперу по указанному правилу однозначно соответствует флаг.

Теорема 3 . Пусть даны два флага и. Тогда существует единственное движение g, переводящее флаг F во флаг F": , .

Доказательство. Рассмотрим ортонормированные реперы R и R" , соответствующие флагам F и F" . Координаты x и у точки M , точек луча l и полуплоскости флага F в репере R соответственно удовлетворяют условиям: , и. Таким же условиям подчиняются координаты точки M ", точек луча l" и полуплоскости " флага F" в репере R" . Из теоремы 2 и её следствия вытекает, что существует единственное движение g , переводящее R в R ", при котором сохраняются координаты точек относительно этих реперов. Отсюда следует, что существует единственное движение, переводящее флаг F во флаг F" . Теорема доказана.

Ведем следующее определение.

Определение 4. Две фигуры плоскости назовем геометрически равными (или просто равными) если существует движение плоскости, переводящее первую фигуру во вторую.

Ясно, что равные фигуры обладают такими свойствами, которые не меняются (инвариантны) при преобразованиях из группы движений. Введенное определение полностью согласуется с понятием равенства геометрических фигур, изложенным в большинстве школьных курсов геометрии.

Замечание. Зачастую геометрически равные фигуры называются конгруэнтными

В элементарной геометрии основополагающее значение имеет понятие равенства треугольников, признаки которого используются при доказательстве большого числа планиметрических и стереометрических теорем. Применяя основное свойство движений, покажем, что два треугольника равны в том и только в том случае, когда выполнен первый признак равенства треугольников.

Теорема 4. Два треугольника равны между собой в том и только в том случае, когда равны их соответственные стороны и углы между ними.

Доказательство. Из определения равенства геометрических фигур непосредственно следует, что два равных треугольника переводятся друг в друга некоторым движением точек плоскости. Это же движение переводит друг в друга все соответствующие элементы треугольников. Поэтому соответственные стороны и углы равных треугольников равны между собой.

Обратно. Пусть даны два треугольника АВС и А"B"C" , стороны и углы которых удовлетворяют условию: , . Докажем, что существует такое движение g плоскости, при котором: . Присоединим к треугольнику АВС флаг, таким образом, чтобы точка флага совпадала с вершиной A , луч l содержал вершину B , a вершина С принадлежала полуплоскости. Аналогичным образом присоединим флаг к треугольнику A"B"C" (рис. 136). Пусть R и R" - ортонормированные реперы, соответствующие флагам F и F" . Тогда координаты вершин первого треугольника относительно репера R имеют вид: , где, - ориентированный угол BAC треугольника АВС . Так как по условию, и, то в репере R  вершины А", В" и C" второго треугольника имеют те же координаты. Из теоремы 3 и вытекает, что существует движение g , переводящее репер R в R" , при котором, при котором, как следует из следствия к теореме 2, сохраняются координаты точек. Поэтому. Теорема доказана.

Можно также показать, что для любых двух равных многоугольников справедливо утверждение: два многоугольника равны в том и только в том случае, когда равны их соответствующие стороны и углы .

Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды - осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

Тема: Движение

Урок: Движение. Свойства движения

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок .

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M 1 и N 1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 , и наоборот, в каждую точку Q 1 отрезка M 1 N 1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р 1 " плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M 1 N 1 , MР = M 1 Р 1 ", РN = Р 1 "N 1 . Из этих равенств следует, что M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MР + РN = MN = M 1 N 1 , то есть, точка Р 1 " принадлежит отрезку M 1 N 1 и совпадает с точкой P 1 , в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 > M 1 N 1 . То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 . Вторая часть теоремы (касательно точки Q 1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О 1 , а точки А и В - соответственно в точки А 1 и В 1 .

Рассмотрим треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 . По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А 1 , О 1 и В 1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин АО = А 1 О 1 , ОВ = О 1 В 1 и АВ = А 1 В 1 . Таким образом, АОВ = А 1 О 1 В 1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О 1 .

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения - параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М 1 той же плоскости, чтобы (Рис. 3).

Докажем, что параллельный перенос является движением .

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М 1 , а точка N - в точку N 1 . При этом выполнены условия параллельного переноса: и . Рассмотрим четырехугольник

ММ 1 N 1 N. У него две противоположные стороны (MM 1 и NN 1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M 1 N 1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол - в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. - М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7-11 кл. общеобр. учрежд. - М.: Просвещение, 1995.

1. Российский общеобразовательный портал ().

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Движения сохраняют расстояния и потому сохраняют все геометрические свойства фигур, поскольку они определяются расстояниями. В этом пункте мы получим наиболее общие свойства движений, приводя доказательства в тех случаях, когда они не очевидны.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, - в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит соответственно точки в точки Тогда выполняются равенства

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из них, например, точка В лежит между двумя другими. В этом случае и из равенств (1) следует, что . А это равенство означает, что точка В лежит между точками А и С. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого и обратимости движения (способом от противного).

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Пусть концам отрезка АВ движение f сопоставляет точки А и В. Возьмем любую точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойства 1, можно установить, что ее образ - точка лежит на отрезке АВ между точками А и В. Далее, каждая точка

Y отрезка А В является образом некоторой точки Y отрезка АВ. А именно, той точки Y, которая удалена от точки А на расстояние A Y. Следовательно, отрезок АВ движением переводится в отрезок АВ.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Эти утверждения докажите самостоятельно. Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник, полуплоскость - в полуплоскость, плоскость - в плоскость, параллельные плоскости - в параллельные плоскости.

Треугольник ABC заполняется отрезками, соединяющими вершину А с точками X противоположной стороны ВС (рис. 26.1). Движение сопоставит отрезку ВС некоторый отрезок В С и точке А - точку А, не лежащую на прямой ВС. Каждому отрезку АХ это движение сопоставит отрезок АХ, где точка X лежит на ВС. Все эти отрезки АХ заполнят треугольник АВС.

В него и переходит треугольник

Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на границе полуплоскости

(рис. 26.2). Поэтому полуплоскость перейдет при движении в полуплоскость.

Аналогично, плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 26.3). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то при движении расстояния между фигурами не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движениях параллельные плоскости перейдут в параллельные.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом полупространства - полупространство, образом пространства - все пространство.

Тетраэдр ABCD представляет собой объединение отрезков, соединяющих точку D со всевозможными точками X треугольника ABC (рис. 26.4). При движении отрезки отображаются на отрезки, а потому тетраэдр перейдет в тетраэдр.

Полупространство можно представить как объединение расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство.

Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров. Поэтому при движении пространство отображается на все пространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

При движении полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый

угол и двугранный угол соответственно - в невыпуклый и двугранный угол.

Пусть лучи а и b, исходящие из точки О, отобразились на лучи а и b, исходящие из точки О. Возьмем треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b (рис. 26.5). Он отобразится на равный треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b. Значит, углы между лучами а, b и а, b равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются.

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых, а значит - прямой и плоскости. Вспомнив определения угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, получим, что величины этих углов сохраняются.

Свойство 7. Движения сохраняют площади поверхностей и объемы тел.

Действительно, поскольку движение сохраняет перпендикулярность, то движение высоты (треугольников, тетраэдров, призм и т. п.) переводит в высоты (образы этих треугольников, тетраэдров, призм и т. п.). При этом длины этих высот будут сохраняться. Поэтому площади треугольников и объемы тетраэдров при движениях сохраняются. А значит, сохранятся и площади многоугольников, и объемы многогранников. Площади же криволинейных поверхностей и объемы тел, ограниченных такими поверхностями, получаются предельными переходами от площадей многогранных поверхностей и объемов многогранных тел. Поэтому и они при движениях сохраняются.

Свойство 1. Пусть f - движение точек плоскости, A", B" и C"- образы точек А, В и С при движении f. Тогда точки A", B" и C" лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А, В и С коллинеарные.

Cвойство 4. При движении преобразуется в равный ему отрезок Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Свойство 7. Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек. Свойство 7. При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Теорема (Основная теорема движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и. Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R": .

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R", то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно R соответствует точка M"= f(M) с теми же координатами x и у относительно R".