Четность функции y x. Четность функции

Демонстрационный вариант (VIII).

(Ответы в конце теста)

1. Какое из названных событий произошло раньше других?

1) Ливонская война

2) Смоленская война

3) поход Ермака в Сибирь

4) поход Ивана III на Великий Новгород

2. Кто из князей вошёл в историю под именем первого «собирателя русских земель»?

1) Иван Калита

2) Александр Невский

3) Владимир Мономах

4) Дмитрий Донской

3. Полюдьем в Древней Руси называли

1) собрание мужчин-общинников

2) военное формирование, находящееся на службе у князя

3) сбор князем дани с подвластных земель

4) пошлину, которую выплачивал крестьянин при уходе от своего владельца

4. Что из названного было результатом военной реформы, проведённой Избранной Радой в середине XVI в.?

1) создание стрелецкого войска

2) создание регулярной армии

3) создание гвардейских полков

4) формирование полков иноземного строя

5. Кто из названных лиц был архитектором?

1) Матвей Казаков

2) Симеон Полоцкий

3) Фёдор Волков

4) Михаил Щепкин

6. Политика «просвещённого абсолютизма» связана с царствованием

1) Петра III

2) Анны Иоанновны

3) Екатерины II

4) Алексея Михайловича

7. В результате церковных реформ Никона в XVII в. в России

1) было ликвидировано патриаршество

2) был учреждён Святейший Синод

3) была проведена секуляризация церковных земель

4) возник церковный раскол

8. Прочтите отрывок из Новгородской летописи и укажите, какое событие нашло отражение в этом отрывке.

«И начал тогда князь великий наступать. Гремят мечи булатные о шлемы хиновские. Поганые прикрыли головы свои руками своими. И вот поганые бросились вспять. Ветер рвёт в стягах великого князя Дмитрия Ивановича, поганые спасаются бегством, а русские сыновья широкие поля кликом огородили и золочёными доспехами осветили. Уже встал тур на бой! Тогда князь великий Дмитрий Иванович и брат его, князь Владимир Андреевич, полки поганых вспять повернули и начали их бить и сечь беспощадно, тоску на них наводя...»

1) Ледовое побоище

2) Куликовская битва

3) стояние на реке Угре

4) битва на реке Калке

9. Деятельность каких представителей общественного движения XIX – начала XX вв. началась раньше других?

1) петрашевцы

2) народники

10. М .М.Сперанский подготовил «Свод законов Российской империи» в годы царствования

1) Николая I

2) Александра II

3) Александра III

4) Николая II

11. Какое понятие возникло в связи с процессом демократизации культуры в 1870-х – 1890-х гг.?

1) классицизм

2) романтизм

3) академизм

4) передвижники

12. Какое из перечисленных преобразований относится к внутренней политике Александра II?

1) отмена крепостного права

2) основание военных поселений

3) проведение П.Д. Киселёвым реформы управления государственными крестьянами

4) перевод крестьян на обязательный выкуп

13. В 1812 году в результате пребывания в Тарутино русская армия:

1) получила свежие регулярные части, вооружение

2) разгромила французскую армию на подступах к Смоленску

3) добилась назначения М.И. Кутузова главнокомандующим

4) задержала захват Москвы армией Наполеона

14. Прочтите отрывок из сочинения Н.К. Шильдера и укажите императора, о правлении которого идёт речь

«Настало новое правление, продолжавшееся [почти] 25 лет… Слова Манифеста 1801 года, обещавшие управление по закону и по сердцу Екатерины, однако не сбылись… Действительно, несмотря на новизну провозглашённых после 12 марта идей и правительственных начал, постоянное зло принесло плоды. Явился Аракчеев… Ко всему этому присоединялись ещё тяжёлые воспоминания, связанные с 11 марта, под бременем которых изнемогал император<…> в течение всей остальной своей жизни».

2) Александр I

3) Николай I

4) Александр III

15. Выступление Чехословацкого корпуса, ознаменовавшее начало «фронтового» периода Гражданской войны в России, началось в

3) мае 1918 г.

16. Как назывался орган представительной власти, выборы в который должно было провести Временное правительство?

1) Съезд Советов

2) Учредительное собрание

3) Государственное совещание

4) Государственная Дума

17. При проведении Столыпинской аграрной реформы

1) поощрялся рост хуторов и отрубов

2) принудительно отчуждались помещичьи земли

3) развивалось общинное землевладение

4) вводилось уравнительное землепользование «по трудовым нормам»

18. Что из названного относится к результатам государственной политики в СССР в области культуры в конце 1930-х гг.?

1) расцвет авангардного искусства

2) ликвидация массовой неграмотности

3) отмена государственной цензуры средств массовой информации

4) обеспечение и защита идейного многообразия в области культуры

19. Прочтите отрывок из сообщения газеты «Правда» и укажите, в каком году оно было опубликовано.

«Забойщик шахты "Центральная-Ирмино" тов. Стаханов, в ознаменование 21-й годовщины Международного юношеского дня, поставил новый всесоюзный рекорд производительности труда на отбойном молотке. За 6-часовую смену Стаханов дал 102 тонны угля, что составляет 10 проц. суточной добычи шахты».

20. Операция «Багратион» – это операция советских войск по

1) штурму Кёнигсберга

2) контрнаступлению под Сталинградом

3) освобождению Белоруссии

4) штурму Берлина

21. Прочтите отрывок из высказывания cоветского композитора и укажите его фамилию.

«Мне хотелось создать произведение о наших днях, о нашей жизни, о наших людях, которые становятся героями, которые борются во имя торжества нашего над врагом… Работая над симфонией, я думал о величии нашего народа, о его героизме, о лучших идеалах человечества, о прекрасных качествах человека, о нашей прекрасной природе, о гуманизме, о красоте… Нашей борьбе с фашизмом, нашей грядущей победе над врагом, моему родному городу – Ленинграду – я посвящаю свою 7-ю симфонию».

1) С.С. Прокофьев

2) А.В. Александров

3) А.И. Хачатурян

4) Д.Д. Шостакович

22. Какое из названных событий произошло позже, чем все другие?

1) ввод войск стран ОВД в Чехословакию

2) размещение советских ракет на Кубе

3) начало Корейской войны

4) вступление СССР в войну с Японией

23. Какое событие произошло в период «оттепели» в СССР?

1) подписание Заключительного акта Совещания по безопасности в Европе

2) вывод советских войск из Германии

3) первый визит руководителя СССР в США

4) заключение пакта Молотова – Риббентропа

24. Главной задачей внутренней политики СССР во второй половине 1940-х гг. сталинское руководство считало

1) смягчение цензуры, проведение политики гласности

2) форсированное восстановление тяжёлой промышленности

3) переход от отраслевого к территориальному управлению народным

4) реабилитацию жертв репрессий 1930-х гг.

25. Что было одним из последствий участия советских войск в афганской войне?

1) исключение СССР из ООН

3) усиление противоречий между СССР и многими странами мира

4) переход к политике «разрядки» в международных отношениях

26. Прочтите отрывок из указа Президиума Верховного Совета СССР и укажите, в каком году был издан этот указ.

«Президиум Верховного Совета СССР постановляет:

Установить, что совместные предприятия, создаваемые на территории СССР с участием советских и иностранных организаций, фирм и органов управления, уплачивают налог на прибыль в размере и порядке, определяемом Советом Министров СССР. Налог подлежит перечислению в доход союзного бюджета. Совместные предприятия освобождаются от уплаты налога на прибыль в течение первых двух лет их деятельности».

27. Первые годы проведения рыночных реформ в России (1992-1993 гг.) были отмечены

1) макроэкономической стабилизацией

2) падением объёмов производства

3) ростом доходов государства

4) увеличением доходов большинства населения

28. Расположите имена деятелей культуры в хронологической последовательности их жизни:

1) Аристотель Фиораванти, Симон Ушаков, Василий Баженов, Андрей Рублёв.

2) Андрей Рублёв, Аристотель Фиораванти, Симон Ушаков, Василий Баженов.

3) Андрей Рублёв, Василий Баженов, Симон Ушаков, Аристотель Фиораванти.

4) Василий Баженов, Андрей Рублёв, Аристотель Фиораванти, Симон Ушаков.

29. Какие три из перечисленных ниже имён связаны с военными триумфами России XVIII в.?

1) Г.А. Спиридов

2) М.Д. Скобелев

3) С.И. Дежнёв

4) П.А. Румянцев

5) Ф.Ф. Ушаков

6) М.Б. Шеин

30. Установите соответствие между именами исторических лиц и их деятельностью.

31. Прочтите отрывок из сочинения современного историка и укажите, о какой династии идёт речь.

«Так трагически и бесславно закончилось короткое правление этой династии… на русском престоле. На долю этой династии выпали тяжёлые испытания. Им досталась в наследство разорённая, бедная страна. Системный кризис, охвативший всю страну, усугубляемый голодом первых лет XVII века, показал всю хрупкость власти, которая отошла от методов управления Ивана IV. И без того неэффективная и громоздкая система управления Российским государством начала давать серьёзные сбои. Разбойничьи шайки наводнили страну, на дорогах было небезопасно. После смерти царя страна ушла в пучину смуты и безвременья».

32. Расположите названия органов государственной власти XIX в. в хронологической последовательности их возникновения.

1) Верховная распорядительная комиссия

2) III отделение императорской канцелярии

3) первые министерства

4) Государственный совет

33. Какие три из перечисленных ниже фактов относятся к истории русской культуры первой половины XIX в.?

1) создание Н.М. Карамзиным «Истории государства Российского»

2) создание высших женских курсов

3) основание Александром I Царскосельского лицея

4) первый показ фильмов в России

5) основание К.С. Станиславским и В.И. Немировичем-Данченко Московского художественного общедоступного театра (МХТ)

6) создание М.И. Глинкой оперы «Жизнь за царя»

34. Установите соответствие между именами российских императоров и событиями внешней политики, произошедшими во время их правления.

35. Прочтите отрывок из воспоминаний Великого князя Александра Михайловича и назовите правившего в XIX в. императора, о внутренней политике которого идёт речь. «Наступили дни "чёрной реакции", – уверяли безутешные сторонники либеральных реформ, но биографии новых министров, казалось бы, опровергали это предвзятое мнение. <…> Профессор Вышнеградский – министр финансов – пользовался широкой известностью за свои оригинальные экономические теории. Ему удалось привести в блестящее состояние финансы Империи и немало содействовать повышению промышленности страны <…> Адмирал Шестаков, высланный Александром II за границу за беспощадную критику нашего военного флота, был вызван <Императором> в Петербург и назначен морским министром <…> С.Ю. Витте… обязан был своей головокружительной карьерой дальнозоркости Императора <…> который, назначив его товарищем министра, сразу же признал его талант».

36. Какие три из перечисленных художественных произведений относятся к первой половине XX в.?

1) фильм С.М. Эйзенштейна «Броненосец Потёмкин»

2) роман Ф.М. Достоевского «Бедные люди»

3) картина В.И. Сурикова «Утро стрелецкой казни»

4) роман М.И. Шолохова «Тихий Дон»

5) фильм Э.А. Рязанова «Берегись автомобиля!»

6) картина К.С. Малевича «Чёрный квадрат»

37. Установите соответствие между событиями советской истории и их датами. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

38. Прочтите отрывок из манифеста императора Николая II и напишите название войны, о вступлении России в которую идёт речь.

«Следуя историческим своим заветам, Россия, единая по вере и крови со славянскими народами, никогда не взирала на их судьбу безучастно. С полным единодушием и особой силой пробудились братские чувства русского народа к славянам в последние дни, когда Австро-Венгрия предъявила Сербии заведомо неприемлемые для державного государства требования <...> Ныне предстоит уже не только заступаться за несправедливо обиженную родственную нам страну, но оградить честь, достоинство, целость России и положение её среди великих держав».

39. Какие три из перечисленных событий относятся к внешней политике СССР в 1945–1953 гг.?

1) образование Совета Экономической Взаимопомощи (СЭВ)

2) Карибский кризис

3) разрыв отношений с Югославией

4) образование Организации Варшавского Договора (ОВД)

5) ввод войск в Венгрию

6) образование Германской Демократической Республики (ГДР)

40. Установите соответствие между проводимыми в СССР реформами и годами их проведения.

41. Прочтите отрывок из книги современных историков и напишите фамилию руководителя СССР, о котором идёт речь.
«Набирал кажущуюся силу новый культ личности <…> Первый становится генеральным. [Он] занимает ещё один пост – Председателя Президиума Верховного Совета СССР. По обкомам партии рассылается подписанный Сусловым документ об укреплении авторитета Генерального секретаря ЦК КПСС. Но ничто не помогает: авторитет на бумаге, в речах, в награждениях (Герой Социалистического труда, четырежды Герой Советского Союза), но не у трудящихся».

42. Расположите следующие события второй половины ХХ в. в хронологической последовательности:

1) первые выборы в Государственную Думу РФ

2) устранение «антипартийной группы» Г.М. Маленкова, Л.М. Кагановича, В.М. Молотова

3) принятие Декларации о государственном суверенитете России

4) принятие Конституции «развитого социализма»

Скрыть Показать

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5 .

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

Функция является нечетной функцией , когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

Функция является ни четной , ни нечетной и называется функцией общего вида , когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

f(x)=3x^{3}-7x^{7}

D(f)=(-\infty ; +\infty) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x) .

Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T \neq 0 .

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty)

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A , для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X .

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}} так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1 для любого x .

Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B , для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X .

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) < y(x_{2}) .

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} - обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f"(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
2. x_{0} - будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

1. Ищется производная f"(x) ;
2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О - начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Преобразование графиков.

Словесное описание функции.

Графический способ.

Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.

Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?

Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.

Попытаемся ответить на вопрос: "А существуют ли другие способы задания функции?"

Такой способ есть.

Функцию можно вполне однозначно задать словами.

Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.

Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.

Способ словесного описания - достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.

Если есть закон однозначного соответствия между х и у - значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен - формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .

Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения

Пример. Рассмотрим функцию

Она является четной. Проверим это.

Для любого х выполнены равенства

Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.

Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения

Пример. Рассмотрим функцию

Она является нечетной. Проверим это.

Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).

Для любого х выполнены равенства

Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.

Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.

Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?